[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação do terceiro grau
Sim, na verdade a fórmula de cardano vem daí Mas em vez de ficar decorando uma fórmula gigante, você pode fatorar o polinômio Dá pra fazer o mesmo com equações de grau quatro, mas aí a fatoração é diferente []'s João Date: Wed, 24 Jul 2013 23:57:15 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação do terceiro grau From: vanderma...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Muito obrigado! Bela solução a sua! Posso utilizar em qualquer equação cúbica? Em 24 de julho de 2013 16:56, João Maldonado escreveu: Corrigindo (erro de digitação) y =((5/2)(3 - raiz(7/3))^(1/3) From: joao_maldona...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação do terceiro grau Date: Wed, 24 Jul 2013 16:23:30 -0300 Depois de chegar em z³ - 5z + 5=0, note que x³ + y³ + z³ - 3xyz = (x+y+z)((x² + y² + z² - xy - xz + yz) Podemos rearranjar dessa forma z³ + z(-3xy) + (x³ + y³) = (z + (x+y))(z² -z(x+y) + x² + y² -xy) x³ + y³ = 5 3xy = 5, x³y³ = 125/27 SOMA E PRODUTO: m² -5m + 125/27 = 0 x = ((5/2)(3 + raiz(7/3))^(1/3) y=x =((5/2)(3 + raiz(7/3))^(1/3) Dessa forma uma das raízes é -y-x e a outra se acha por bascara delta = (x+y)² - 4(x² + y² - xy) = -3(x-y)² z = ((x+y) +- (x-y) raiz3 i)/2 Date: Wed, 24 Jul 2013 14:49:22 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação do terceiro grau From: vanderma...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Obrigado! Essa é a fórmula de Cardano, não é? E as raízes imaginárias, não podem ser obtidas? Em 24 de julho de 2013 13:57, Marcos Martinelli escreveu: Primeiro, faça a seguinte mudança de variáveis: x = z - 1. Substituindo na equação do terceiro grau, teremos: (z^3 - 3z^2 +3z -1) + 3(z^2 - 2z + 1) - 2(z - 1) + 1 = 0 -> z^3 - 5z + 5 = 0 (*). Para descobrir a raiz irracional, podemos fazer uma nova mudança de variáveis. Queremos encontrar p e q reais tais que z = raiz_cúbica (p + raiz(q)) + raiz_cúbica (p - raiz(q)). Substituindo em (*), teremos: [Importante notar que: z^3 = 2p + 3raiz(p^2-q)z] 2p + 3raiz(p^2-q)z -5z + 5 = 0. Se escolhermos p = - 5/2 e q = (25 * 7 / (36 * 3)), vamos ter a equação anterior satisfeita. Portanto, a raiz irracional procurada é: raiz_cúbica (- 5/2 + 5/6 * raiz(7/3)) + raiz_cúbica (- 5/2 - 5/6 * raiz(7/3)) - 1. Em 24 de julho de 2013 12:57, Vanderlei Nemitz escreveu: Como determinar as três raízes, sendo uma delas irracional e duas imaginárias, da equação: x^3 + 3x^2 - 2x + 1 = 0 Grato, Vanderlei -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação do terceiro grau
Muito obrigado! Bela solução a sua! Posso utilizar em qualquer equação cúbica? Em 24 de julho de 2013 16:56, João Maldonado escreveu: > Corrigindo (erro de digitação) > y =((5/2)(3 - raiz(7/3))^(1/3) > -- > From: joao_maldona...@hotmail.com > To: obm-l@mat.puc-rio.br > Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação do terceiro > grau > Date: Wed, 24 Jul 2013 16:23:30 -0300 > > > Depois de chegar em z³ - 5z + 5=0, note que > x³ + y³ + z³ - 3xyz = (x+y+z)((x² + y² + z² - xy - xz + yz) > Podemos rearranjar dessa forma > z³ + z(-3xy) + (x³ + y³) = (z + (x+y))(z² -z(x+y) + x² + y² -xy) > x³ + y³ = 5 > 3xy = 5, x³y³ = 125/27 > SOMA E PRODUTO: m² -5m + 125/27 = 0 > x = ((5/2)(3 + raiz(7/3))^(1/3) > y=x =((5/2)(3 + raiz(7/3))^(1/3) > > Dessa forma uma das raízes é -y-x e a outra se acha por bascara > delta = (x+y)² - 4(x² + y² - xy) = -3(x-y)² > z = ((x+y) +- (x-y) raiz3 i)/2 > > ---------------------- > Date: Wed, 24 Jul 2013 14:49:22 -0300 > Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação do terceiro grau > From: vanderma...@gmail.com > To: obm-l@mat.puc-rio.br > > Obrigado! Essa é a fórmula de Cardano, não é? E as raízes imaginárias, não > podem ser obtidas? > > > Em 24 de julho de 2013 13:57, Marcos Martinelli > escreveu: > > Primeiro, faça a seguinte mudança de variáveis: x = z - 1. Substituindo na > equação do terceiro grau, teremos: > > (z^3 - 3z^2 +3z -1) + 3(z^2 - 2z + 1) - 2(z - 1) + 1 = 0 -> z^3 - 5z + 5 = > 0 (*). > > Para descobrir a raiz irracional, podemos fazer uma nova mudança de > variáveis. Queremos encontrar p e q reais tais que z = raiz_cúbica (p + > raiz(q)) + raiz_cúbica (p - raiz(q)). Substituindo em (*), teremos: > > [Importante notar que: z^3 = 2p + 3raiz(p^2-q)z] > > 2p + 3raiz(p^2-q)z -5z + 5 = 0. Se escolhermos p = - 5/2 e q = (25 * 7 / > (36 * 3)), vamos ter a equação anterior satisfeita. > > Portanto, a raiz irracional procurada é: raiz_cúbica (- 5/2 + 5/6 * > raiz(7/3)) + raiz_cúbica (- 5/2 - 5/6 * raiz(7/3)) - 1. > > > Em 24 de julho de 2013 12:57, Vanderlei Nemitz > escreveu: > > Como determinar as três raízes, sendo uma delas irracional e duas > imaginárias, da equação: > > x^3 + 3x^2 - 2x + 1 = 0 > > Grato, > > Vanderlei > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação do terceiro grau
Corrigindo (erro de digitação) y =((5/2)(3 - raiz(7/3))^(1/3) From: joao_maldona...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação do terceiro grau Date: Wed, 24 Jul 2013 16:23:30 -0300 Depois de chegar em z³ - 5z + 5=0, note que x³ + y³ + z³ - 3xyz = (x+y+z)((x² + y² + z² - xy - xz + yz) Podemos rearranjar dessa forma z³ + z(-3xy) + (x³ + y³) = (z + (x+y))(z² -z(x+y) + x² + y² -xy) x³ + y³ = 5 3xy = 5, x³y³ = 125/27 SOMA E PRODUTO: m² -5m + 125/27 = 0 x = ((5/2)(3 + raiz(7/3))^(1/3) y=x =((5/2)(3 + raiz(7/3))^(1/3) Dessa forma uma das raízes é -y-x e a outra se acha por bascara delta = (x+y)² - 4(x² + y² - xy) = -3(x-y)² z = ((x+y) +- (x-y) raiz3 i)/2 Date: Wed, 24 Jul 2013 14:49:22 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação do terceiro grau From: vanderma...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Obrigado! Essa é a fórmula de Cardano, não é? E as raízes imaginárias, não podem ser obtidas? Em 24 de julho de 2013 13:57, Marcos Martinelli escreveu: Primeiro, faça a seguinte mudança de variáveis: x = z - 1. Substituindo na equação do terceiro grau, teremos: (z^3 - 3z^2 +3z -1) + 3(z^2 - 2z + 1) - 2(z - 1) + 1 = 0 -> z^3 - 5z + 5 = 0 (*). Para descobrir a raiz irracional, podemos fazer uma nova mudança de variáveis. Queremos encontrar p e q reais tais que z = raiz_cúbica (p + raiz(q)) + raiz_cúbica (p - raiz(q)). Substituindo em (*), teremos: [Importante notar que: z^3 = 2p + 3raiz(p^2-q)z] 2p + 3raiz(p^2-q)z -5z + 5 = 0. Se escolhermos p = - 5/2 e q = (25 * 7 / (36 * 3)), vamos ter a equação anterior satisfeita. Portanto, a raiz irracional procurada é: raiz_cúbica (- 5/2 + 5/6 * raiz(7/3)) + raiz_cúbica (- 5/2 - 5/6 * raiz(7/3)) - 1. Em 24 de julho de 2013 12:57, Vanderlei Nemitz escreveu: Como determinar as três raízes, sendo uma delas irracional e duas imaginárias, da equação: x^3 + 3x^2 - 2x + 1 = 0 Grato, Vanderlei -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação do terceiro grau
Depois de chegar em z³ - 5z + 5=0, note que x³ + y³ + z³ - 3xyz = (x+y+z)((x² + y² + z² - xy - xz + yz) Podemos rearranjar dessa forma z³ + z(-3xy) + (x³ + y³) = (z + (x+y))(z² -z(x+y) + x² + y² -xy) x³ + y³ = 5 3xy = 5, x³y³ = 125/27 SOMA E PRODUTO: m² -5m + 125/27 = 0 x = ((5/2)(3 + raiz(7/3))^(1/3) y=x =((5/2)(3 + raiz(7/3))^(1/3) Dessa forma uma das raízes é -y-x e a outra se acha por bascara delta = (x+y)² - 4(x² + y² - xy) = -3(x-y)² z = ((x+y) +- (x-y) raiz3 i)/2 Date: Wed, 24 Jul 2013 14:49:22 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação do terceiro grau From: vanderma...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Obrigado! Essa é a fórmula de Cardano, não é? E as raízes imaginárias, não podem ser obtidas? Em 24 de julho de 2013 13:57, Marcos Martinelli escreveu: Primeiro, faça a seguinte mudança de variáveis: x = z - 1. Substituindo na equação do terceiro grau, teremos: (z^3 - 3z^2 +3z -1) + 3(z^2 - 2z + 1) - 2(z - 1) + 1 = 0 -> z^3 - 5z + 5 = 0 (*). Para descobrir a raiz irracional, podemos fazer uma nova mudança de variáveis. Queremos encontrar p e q reais tais que z = raiz_cúbica (p + raiz(q)) + raiz_cúbica (p - raiz(q)). Substituindo em (*), teremos: [Importante notar que: z^3 = 2p + 3raiz(p^2-q)z] 2p + 3raiz(p^2-q)z -5z + 5 = 0. Se escolhermos p = - 5/2 e q = (25 * 7 / (36 * 3)), vamos ter a equação anterior satisfeita. Portanto, a raiz irracional procurada é: raiz_cúbica (- 5/2 + 5/6 * raiz(7/3)) + raiz_cúbica (- 5/2 - 5/6 * raiz(7/3)) - 1. Em 24 de julho de 2013 12:57, Vanderlei Nemitz escreveu: Como determinar as três raízes, sendo uma delas irracional e duas imaginárias, da equação: x^3 + 3x^2 - 2x + 1 = 0 Grato, Vanderlei -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação do terceiro grau
Tendo encontrado uma das raízes de z^3 - 5z + 5 = 0, você pode tentar forçar a fatoração. Mas creio que não será uma equação do segundo grau das mais bonitas. Em 24 de julho de 2013 14:49, Vanderlei Nemitz escreveu: > Obrigado! Essa é a fórmula de Cardano, não é? E as raízes imaginárias, não > podem ser obtidas? > > > Em 24 de julho de 2013 13:57, Marcos Martinelli > escreveu: > > Primeiro, faça a seguinte mudança de variáveis: x = z - 1. Substituindo na >> equação do terceiro grau, teremos: >> >> (z^3 - 3z^2 +3z -1) + 3(z^2 - 2z + 1) - 2(z - 1) + 1 = 0 -> z^3 - 5z + 5 >> = 0 (*). >> >> Para descobrir a raiz irracional, podemos fazer uma nova mudança de >> variáveis. Queremos encontrar p e q reais tais que z = raiz_cúbica (p + >> raiz(q)) + raiz_cúbica (p - raiz(q)). Substituindo em (*), teremos: >> >> [Importante notar que: z^3 = 2p + 3raiz(p^2-q)z] >> >> 2p + 3raiz(p^2-q)z -5z + 5 = 0. Se escolhermos p = - 5/2 e q = (25 * 7 / >> (36 * 3)), vamos ter a equação anterior satisfeita. >> >> Portanto, a raiz irracional procurada é: raiz_cúbica (- 5/2 + 5/6 * >> raiz(7/3)) + raiz_cúbica (- 5/2 - 5/6 * raiz(7/3)) - 1. >> >> >> Em 24 de julho de 2013 12:57, Vanderlei Nemitz >> escreveu: >> >>> Como determinar as três raízes, sendo uma delas irracional e duas >>> imaginárias, da equação: >>> >>> x^3 + 3x^2 - 2x + 1 = 0 >>> >>> Grato, >>> >>> Vanderlei >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação do terceiro grau
Obrigado! Essa é a fórmula de Cardano, não é? E as raízes imaginárias, não podem ser obtidas? Em 24 de julho de 2013 13:57, Marcos Martinelli escreveu: > Primeiro, faça a seguinte mudança de variáveis: x = z - 1. Substituindo na > equação do terceiro grau, teremos: > > (z^3 - 3z^2 +3z -1) + 3(z^2 - 2z + 1) - 2(z - 1) + 1 = 0 -> z^3 - 5z + 5 = > 0 (*). > > Para descobrir a raiz irracional, podemos fazer uma nova mudança de > variáveis. Queremos encontrar p e q reais tais que z = raiz_cúbica (p + > raiz(q)) + raiz_cúbica (p - raiz(q)). Substituindo em (*), teremos: > > [Importante notar que: z^3 = 2p + 3raiz(p^2-q)z] > > 2p + 3raiz(p^2-q)z -5z + 5 = 0. Se escolhermos p = - 5/2 e q = (25 * 7 / > (36 * 3)), vamos ter a equação anterior satisfeita. > > Portanto, a raiz irracional procurada é: raiz_cúbica (- 5/2 + 5/6 * > raiz(7/3)) + raiz_cúbica (- 5/2 - 5/6 * raiz(7/3)) - 1. > > > Em 24 de julho de 2013 12:57, Vanderlei Nemitz > escreveu: > >> Como determinar as três raízes, sendo uma delas irracional e duas >> imaginárias, da equação: >> >> x^3 + 3x^2 - 2x + 1 = 0 >> >> Grato, >> >> Vanderlei >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re:[obm-l] equação do terceiro grau
se vc sabe uma vc reduz a equaçao para uma de 2o grau. On 5/15/07, Tio Cabri st <[EMAIL PROTECTED]> wrote: Obvio que eu confio mais em vocês do que no meu programa Mathematica, porém das 3 raízes aí de baixo a única que bateu foi cos(pi/9), alguém poderia colocar essa questão num programa parecido Maple por exemplo ou Matlab ou confirmar esse erro do Mathematicaou meu é claro. Obrigado Tio Cabri - Original Message - *From:* claudio.buffara <[EMAIL PROTECTED]> *To:* obm-l *Sent:* Tuesday, May 15, 2007 1:58 PM *Subject:* [obm-l] Re:[obm-l] equação do terceiro grau *De:* [EMAIL PROTECTED] *Para:* obm-l@mat.puc-rio.br *Cópia:* *Data:* Mon, 14 May 2007 19:25:33 -0300 (BRT) *Assunto:* [obm-l] equação do terceiro grau > Resolver a equação 8x^3 - 6x - 1 = 0 > Seja f(x) = 8x^3 - 6x - 1 f(-1) = -3 < 0 f(-1/2) = 1 > 0 ==> tem uma raiz entre -1 e -1/2 f(0) = -1 < 0 ==> tem uma raiz entre -1/2 e 0 f(1) = 1 > 0 ==> tem uma raiz entre 0 e 1 Ou seja, f tem 3 raízes reais, todas de módulo < 1. Logo, podemos expressá-las na forma x = cos(t). Sabemos que cos(3t) é um polinômio de 3o. grau em cos(t). Especificamente, cos(3t) = cos(2t+t) = cos(2t)cos(t) - sen(2t)sen(t) = (2*cos^2(t) - 1)*cos(t) - 2*sen^2(t)*cos(t) = 2*cos^3(t) - cos(t) - 2*cos(t) + 2*cos^3(t) = 4*cos^3(t) - 3*cos(t) (que sorte...) x = cos(t) é raiz da equação ==> 8*cos^3(t) - 6*cos(t) - 1 = 0 ==> 2*cos(3t) = 1 ==> cos(3t) = 1/2. Se quisermos t no intervalo [0,2pi), teremos: 3t = pi/3 ou 5pi/3 ou 7pi/3 ou 11pi/3 ou 13pi/3 ou 17pi/3 ==> t = pi/9 ou 5pi/9 ou 7pi/9 ou 11pi/9 ou 13pi/9 ou 17pi/9 ==> cos(t) = cos(pi/9) ou cos(5pi/9) ou cos(7pi/9) (pois cos(11pi/9) = cos(7pi/9), cos(13pi/9) = cos(5pi/9) e cos(17pi/9) = cos(pi/9)) Logo, as raízes da equação são: cos(pi/9), cos(5pi/9) e cos(7pi/9). []s, Claudio.
[obm-l] Re: [obm-l] Re:[obm-l] equação do terceiro grau
Obvio que eu confio mais em vocês do que no meu programa Mathematica, porém das 3 raízes aí de baixo a única que bateu foi cos(pi/9), alguém poderia colocar essa questão num programa parecido Maple por exemplo ou Matlab ou confirmar esse erro do Mathematicaou meu é claro. Obrigado Tio Cabri - Original Message - From: claudio.buffara To: obm-l Sent: Tuesday, May 15, 2007 1:58 PM Subject: [obm-l] Re:[obm-l] equação do terceiro grau De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Mon, 14 May 2007 19:25:33 -0300 (BRT) Assunto: [obm-l] equação do terceiro grau > Resolver a equação 8x^3 - 6x - 1 = 0 > Seja f(x) = 8x^3 - 6x - 1 f(-1) = -3 < 0 f(-1/2) = 1 > 0 ==> tem uma raiz entre -1 e -1/2 f(0) = -1 < 0 ==> tem uma raiz entre -1/2 e 0 f(1) = 1 > 0 ==> tem uma raiz entre 0 e 1 Ou seja, f tem 3 raízes reais, todas de módulo < 1. Logo, podemos expressá-las na forma x = cos(t). Sabemos que cos(3t) é um polinômio de 3o. grau em cos(t). Especificamente, cos(3t) = cos(2t+t) = cos(2t)cos(t) - sen(2t)sen(t) = (2*cos^2(t) - 1)*cos(t) - 2*sen^2(t)*cos(t) = 2*cos^3(t) - cos(t) - 2*cos(t) + 2*cos^3(t) = 4*cos^3(t) - 3*cos(t) (que sorte...) x = cos(t) é raiz da equação ==> 8*cos^3(t) - 6*cos(t) - 1 = 0 ==> 2*cos(3t) = 1 ==> cos(3t) = 1/2. Se quisermos t no intervalo [0,2pi), teremos: 3t = pi/3 ou 5pi/3 ou 7pi/3 ou 11pi/3 ou 13pi/3 ou 17pi/3 ==> t = pi/9 ou 5pi/9 ou 7pi/9 ou 11pi/9 ou 13pi/9 ou 17pi/9 ==> cos(t) = cos(pi/9) ou cos(5pi/9) ou cos(7pi/9) (pois cos(11pi/9) = cos(7pi/9), cos(13pi/9) = cos(5pi/9) e cos(17pi/9) = cos(pi/9)) Logo, as raízes da equação são: cos(pi/9), cos(5pi/9) e cos(7pi/9). []s, Claudio.
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação do terceiro grau
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 [Saturday 31 January 2004 15:48: <[EMAIL PROTECTED]>] > Caro Fábio, > > Agora, sim, ao meu ver, a solução está perfeita! > > O caso que você aborda em (III), inclusive, satisfaz à equação citada > anteriormente por mim (t = 1), sendo (x ; a ; b) = (-t ; 2t ; t) = (-1 ; 2 > ; 1). > > Gostaria de perguntar a você, em tempo, o porquê de a condição imposta pelo > UTF (algum dentre x, x+a, x+b ser zero) aplicar-se ao problema. Perdoe-me, > não conheço profundamente esse teorema. > [...] O UTF, na realidade, diz que se n>2, então a^n + b^n = c^n não tem solução com a, b, c inteiros positivos. Não é muito difícil ver que se n é par, a, b, c podem ser inteiros não-nulos quaisquer sem que haja soluções. Se n for ímpar, passe os termos da equação de um lado para o outro, trocando os sinais de a, b, c até que os três sejam positivos. Então há duas possibilidades de equação: I) a^n + b^n + c^n = 0 II) a^n + b^n = c^n As duas equações não possuem soluções não-nulas (a equação I é obvia; a II, pelo UTF). Bastou, portanto, reescrever o polinômio dado na forma a^3 + b^3 = c^3 para resolver o problema. No caso particular n=3, não é necessário apelar para o paper do Wiles; existem várias demonstrações elementares deste caso. []s, - -- Fábio "ctg \pi" Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFAG/tpalOQFrvzGQoRAqPQAJ43vAWusP8OkK8haSO3uUZrQP7KAQCgnPEF hDxxGuSWCVP9q5ROiJ1BxcA= =yvIZ -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação do terceiro grau
Caro Fábio, Agora, sim, ao meu ver, a solução está perfeita! O caso que você aborda em (III), inclusive, satisfaz à equação citada anteriormente por mim (t = 1), sendo (x ; a ; b) = (-t ; 2t ; t) = (-1 ; 2 ; 1). Gostaria de perguntar a você, em tempo, o porquê de a condição imposta pelo UTF (algum dentre x, x+a, x+b ser zero) aplicar-se ao problema. Perdoe-me, não conheço profundamente esse teorema. []s, Rafael - Original Message - From: "Fábio Dias Moreira" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Saturday, January 31, 2004 1:34 PM Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação do terceiro grau > Tá bom, vou tentar de novo: > > A equação dada é x^3 + (x+a)^3 = (x+b)^3. Pelo UTF, algum dentre x, x+a ou x+b > tem que ser 0. > > I) x = 0 > > Impossível, pois x pertence a Z*. > > II) x+a = 0 <=> x = -a > > Então -a^3 = (b-a)^3 <=> -a = b-a <=> b = 0. Há infinitas soluções da forma > (x, a, b) = (-t, t, 0), t em Z*. > > III) x+b = 0 <=> x = -b > > Então -b^3 + (a-b)^3 = 0 <=> a-b = b <=> a = 2b. Logo há infinitas soluções da > forma (x, a, b) = (-t, 2t, t), t em Z*. > > Acho que *agora* eu enumerei todas as soluções inteiras com x não-nulo. > > []s, > > - -- > Fábio Dias Moreira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
