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2014-08-16 23:11 GMT-03:00 Gabriel Tostes gtos...@icloud.com: xyq=x^2+y^2+1 q=x/y + y/x +1/xy. Como q é inteiro positivo. 1/xy também. Porque 1/xy tem que ser inteiro positivo? A soma de dois racionais não inteiros (por exemplo, 5/3 e 1/3) pode ser inteira! E isso não considera (por exemplo) os casos (já discutidos nessas mensagens) x = 2, y = 5, em que 1/xy = 1/10. X=y=1 q=1+1+1=3 alguém mandou essa? Acho q é o jeito mais fácil Pode acabar chegando na resposta certa, mas certamente o raciocínio está errado. -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
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É verdade Bernardo Freitas , da pra ver que funciona com os números de fibonacci, a saber: (F2n-1)^2+(F2n+1)^2+1=3(F2n-1)(F2n+1), onde F2n-1 é um número de Fibonacci, por exemplo quando n=3 *teríamos (F5)^2+(F7)^2+1=3(F5)(F7), assim 1,1,2,3,5,8,13,21,34,..., 8^2+21^2+1=3.8.21 * *( Que legal!! como se prova isso?)* *Douglas Oliveira* Em 15 de agosto de 2014 22:33, Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com escreveu: 2014-08-15 22:01 GMT-03:00 Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com: Eu acho que continua errado... 2014-08-15 11:20 GMT-03:00 Pedro José petroc...@gmail.com: x, y Ɛ Z+ e xy | x^2 + y^2 +1 == x | x^2 + y^2 +1 (i) x | x^2 e (i) == x | y^2 + 1 (Combinação Z linear de x^2 + y^2 +1 e x^2) == Ǝ k Ɛ Z | kx = y^2 + 1 (ii) (ii) e por simetria da proposta == Ǝ m Ɛ Z | my = x^2 + 1 == y =( x^2 + 1)/m (iii) (ii) e (iii) == kx = (x^4 + 2x^2 +2)/m^2 == m^2k x = x^4 + 2x^2 +2 (iv) (ii) kx = y^2 + 1 (iii) y = (x^2 + 1)/m Donde y^2 = (x^4 + 2x^2 + 1)/m^2 Donde kx = (x^4 + 2x^2 + 1)/m^2 + 1 = (x^4 + 2x^2 + (1 + m^2))/m^2 (e não +2) O resto talvez funcione mais ou menos igual... mas dá mais trabalho... m^2k Ɛ Z (v), pois +, * e potênciação são fechadas em Z. (iv) e (v) == x | x^4 + 2x^2 +2 (vi) x | x^4 + 2x^2 (vii) (vi) e (vii) == x | 2 ( Z combinação linear de x^4 + 2x^2 e x^4 + 2x^2 +1) (k*m*m)*x = (x^4 + 2x^2 + (1 + m*m)) = x | 1 + m^2 Com um pouco de trabalho, você acha também a solução x = 2, y = 5: 10 | 4 + 25 + 1 = 30. E o quociente continua igual a 3 (como gostaríamos de demonstrar...) Bom, com um pouco mais de paciência... você acha a solução x = 5, y = 13. E daí você chuta que a próxima solução é x = 13, y = 34, porque números de Fibonacci são legais... e dá certo: 34*13 = 442, 13*13 + 34*34 + 1 = 1326 = 3 * 442. Mágica? Eu acho que há infinitas soluções. Deixo vocês provarem isso. Agora resta ver que são apenas estas soluções! Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
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xyq=x^2+y^2+1 q=x/y + y/x +1/xy. Como q é inteiro positivo. 1/xy também. X=y=1 q=1+1+1=3 alguém mandou essa? Acho q é o jeito mais fácil Enviada do meu iPad Em 16/08/2014, às 16:22, Douglas Oliveira de Lima profdouglaso.del...@gmail.com escreveu: É verdade Bernardo Freitas , da pra ver que funciona com os números de fibonacci, a saber: (F2n-1)^2+(F2n+1)^2+1=3(F2n-1)(F2n+1), onde F2n-1 é um número de Fibonacci, por exemplo quando n=3 terÃamos (F5)^2+(F7)^2+1=3(F5)(F7), assim 1,1,2,3,5,8,13,21,34,..., 8^2+21^2+1=3.8.21 ( Que legal!! como se prova isso?) Douglas Oliveira   Em 15 de agosto de 2014 22:33, Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com escreveu: 2014-08-15 22:01 GMT-03:00 Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com: Eu acho que continua errado... 2014-08-15 11:20 GMT-03:00 Pedro José petroc...@gmail.com: x, y Æ Z+ e xy | x^2 + y^2 +1 == x | x^2 + y^2 +1 (i) x | x^2 e (i) == x | y^2 + 1 (Combinação Z linear de x^2 + y^2 +1 e x^2) == ÆŽ k Æ Z | kx = y^2 + 1 (ii) (ii) e por simetria da proposta == Ǝ m Æ Z | my = x^2 + 1 == y =( x^2 + 1)/m (iii) (ii) e (iii) == kx = (x^4 + 2x^2 +2)/m^2 == m^2k x = x^4 + 2x^2 +2 (iv) (ii) kx = y^2 + 1 (iii) y = (x^2 + 1)/m Donde y^2 = (x^4 + 2x^2 + 1)/m^2 Donde kx = (x^4 + 2x^2 + 1)/m^2 + 1 = (x^4 + 2x^2 + (1 + m^2))/m^2 (e não +2) O resto talvez funcione mais ou menos igual... mas dá mais trabalho... m^2k Æ Z (v), pois +, * e potênciação são fechadas em Z. (iv) e (v) == x | x^4 + 2x^2 +2 (vi) x | x^4 + 2x^2 (vii) (vi) e (vii) == x | 2 ( Z combinação linear de x^4 + 2x^2 e x^4 + 2x^2 +1) (k*m*m)*x = (x^4 + 2x^2 + (1 + m*m)) = x | 1 + m^2 Com um pouco de trabalho, você acha também a solução x = 2, y = 5: 10 | 4 + 25 + 1 = 30. E o quociente continua igual a 3 (como gostarÃamos de demonstrar...) Bom, com um pouco mais de paciência... você acha a solução x = 5, y = 13. E daà você chuta que a próxima solução é x = 13, y = 34, porque números de Fibonacci são legais... e dá certo: 34*13 = 442, 13*13 + 34*34 + 1 = 1326 = 3 * 442. Mágica? Eu acho que há infinitas soluções. Deixo vocês provarem isso. Agora resta ver que são apenas estas soluções! Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e  acredita-se estar livre de perigo. = Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
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Eu acho que continua errado... 2014-08-15 11:20 GMT-03:00 Pedro José petroc...@gmail.com: x, y Ɛ Z+ e xy | x^2 + y^2 +1 == x | x^2 + y^2 +1 (i) x | x^2 e (i) == x | y^2 + 1 (Combinação Z linear de x^2 + y^2 +1 e x^2) == Ǝ k Ɛ Z | kx = y^2 + 1 (ii) (ii) e por simetria da proposta == Ǝ m Ɛ Z | my = x^2 + 1 == y =( x^2 + 1)/m (iii) (ii) e (iii) == kx = (x^4 + 2x^2 +2)/m^2 == m^2k x = x^4 + 2x^2 +2 (iv) (ii) kx = y^2 + 1 (iii) y = (x^2 + 1)/m Donde y^2 = (x^4 + 2x^2 + 1)/m^2 Donde kx = (x^4 + 2x^2 + 1)/m^2 + 1 = (x^4 + 2x^2 + (1 + m^2))/m^2 (e não +2) O resto talvez funcione mais ou menos igual... mas dá mais trabalho... m^2k Ɛ Z (v), pois +, * e potênciação são fechadas em Z. (iv) e (v) == x | x^4 + 2x^2 +2 (vi) x | x^4 + 2x^2 (vii) (vi) e (vii) == x | 2 ( Z combinação linear de x^4 + 2x^2 e x^4 + 2x^2 +1) (k*m*m)*x = (x^4 + 2x^2 + (1 + m*m)) = x | 1 + m^2 Com um pouco de trabalho, você acha também a solução x = 2, y = 5: 10 | 4 + 25 + 1 = 30. E o quociente continua igual a 3 (como gostaríamos de demonstrar...) == x = 1 ou x = 2 e por simetria y=1 ou y=2. Pela paradidade da primeira exprexão x ou y Ɛ 2Z + 1. Portanto a solução (2,2) não serve. x=1 e y= 1 == (x^2 + y^2 + 1)/xy = 3/1 = 3. x=1 e y= 2 == (x^2 + y^2 + 1)/xy = 6/2 = 3 x=2 e y=1 == (x^2 + y^2 + 1)/xy = 6/2 = 3 c.q.d. nota: O símbolo | significa divide ou tal que a depender do contexto. Em vermelho a ocrrência do erro, só fiz y^2 e não y^2 + 1 Desculpem-me a barbeiragem. Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
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2014-08-15 22:01 GMT-03:00 Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com: Eu acho que continua errado... 2014-08-15 11:20 GMT-03:00 Pedro José petroc...@gmail.com: x, y Ɛ Z+ e xy | x^2 + y^2 +1 == x | x^2 + y^2 +1 (i) x | x^2 e (i) == x | y^2 + 1 (Combinação Z linear de x^2 + y^2 +1 e x^2) == Ǝ k Ɛ Z | kx = y^2 + 1 (ii) (ii) e por simetria da proposta == Ǝ m Ɛ Z | my = x^2 + 1 == y =( x^2 + 1)/m (iii) (ii) e (iii) == kx = (x^4 + 2x^2 +2)/m^2 == m^2k x = x^4 + 2x^2 +2 (iv) (ii) kx = y^2 + 1 (iii) y = (x^2 + 1)/m Donde y^2 = (x^4 + 2x^2 + 1)/m^2 Donde kx = (x^4 + 2x^2 + 1)/m^2 + 1 = (x^4 + 2x^2 + (1 + m^2))/m^2 (e não +2) O resto talvez funcione mais ou menos igual... mas dá mais trabalho... m^2k Ɛ Z (v), pois +, * e potênciação são fechadas em Z. (iv) e (v) == x | x^4 + 2x^2 +2 (vi) x | x^4 + 2x^2 (vii) (vi) e (vii) == x | 2 ( Z combinação linear de x^4 + 2x^2 e x^4 + 2x^2 +1) (k*m*m)*x = (x^4 + 2x^2 + (1 + m*m)) = x | 1 + m^2 Com um pouco de trabalho, você acha também a solução x = 2, y = 5: 10 | 4 + 25 + 1 = 30. E o quociente continua igual a 3 (como gostaríamos de demonstrar...) Bom, com um pouco mais de paciência... você acha a solução x = 5, y = 13. E daí você chuta que a próxima solução é x = 13, y = 34, porque números de Fibonacci são legais... e dá certo: 34*13 = 442, 13*13 + 34*34 + 1 = 1326 = 3 * 442. Mágica? Eu acho que há infinitas soluções. Deixo vocês provarem isso. Agora resta ver que são apenas estas soluções! Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
