[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Recorrência
Sim. Corrigindo: G(n+1) = [G(1)]^(2^n) G(n) = [G(1)]^[2^(n-1)] = [3^2]^[2^(n-1)] = 3^(2^n) O resto está correto, eu acredito. Em qui, 1 de ago de 2019 07:55, Caio Costa escreveu: > Seria G(n+1) = [G(1)]^(2^n)? > > On Wed, Jul 31, 2019, 9:24 PM Arthur Queiroz > wrote: > >> Complementando, dá pra achar o termo geral assim: >> N(n+1) = 2*N(n)^2 + 2*N(n) >> Multiplicando os dois lados por dois e adicionando um: >> 2*N(n+1) + 1= 4*N(n)^2+4*N(n)+1 >> Fatorando o lado direito: >> 2*N(n+1) + 1 = (2*N(n)+1)^2 >> Agora, sendo G(n) = 2*N(n)+1, teremos que: >> G(n+1) = G(n)^2 = ((G(n-1)^2)^2 = ... = G(1)^(2^(n-1)) >> Só que G(1) = 2*N(1)+1 = 2*4+1 = 9 = 3^2, logo G(n+1) = G(1)^(2^(n-1)) = >> (3^2)^(2^(n-1)) = 3^(2^n) >> Voltando, N(n), pela equação anterior, é igual a (G(n)-1)/2 >> Logo, N(n) = (3^(2^n)-1)/2 >> Por fim, a resposta do problema é N(2013)/(N(2013)+1) = >> (3^(2^2013)-1)/(3^(2^2013) + 1) >> >> Em qua, 31 de jul de 2019 às 20:20, Claudio Buffara < >> claudio.buff...@gmail.com> escreveu: >> >>> x(0) = 2 ==> x(1) = 4/5 ==> x(2) = 40/41 ==> x(3) = 3800/3801 >>> >>> Em geral, se x(n) = a/b (a e b inteiros primos entre si) ==> x(n+1) = >>> 2ab/(a^2+b^2) < 1. >>> Além disso, olhando os primeiros termos, parece que a^2 + b^2 = 2ab + 1 >>> ==> (a - b)^2 = 1 ==> b = a + 1 >>> E, de fato, se x(n) = a/(a+1), então x(n+1) = 2a(a+1)/(2a^2+2a+1) >>> >>> Assim, a sequência de numeradores será: >>> N(1) = 4, >>> N(2) = 2*4*(4+1) = 40 >>> N(3) = 2*40*(40+1) = 3800 >>> ... >>> N(n+1) = 2*N(n)*(N(n)+1) >>> >>> De bate pronto não vejo uma fórmula fechada pra esta recorrência, mas o >>> número desejado é N(2013)/(N(2013)+1), e N(2013) é um inteiro gigantesco. >>> >>> >>> >>> On Wed, Jul 31, 2019 at 7:59 PM Claudio Buffara < >>> claudio.buff...@gmail.com> wrote: >>> Exatamente isso! On Wed, Jul 31, 2019 at 7:38 PM Caio Costa wrote: > não vai dar 1, mas vai dar um número muito próximo de 1 (valor exato). > O que eles estão dizendo (pelo que entendi) é que a diferença para 1 é tão > pequena, desprezível, que não será percebida pelo mero visor da > calculadora, que normalmente tem precisão de até 8 casas decimais. > > Att, > > Caio Costa > > Em qua, 31 de jul de 2019 às 18:43, Pedro José > escreveu: > >> Boa noite! >> Não consegui perceber como vocês chegaram ao valor. >> Com respeito, Cláudio, o enunciado fala em número que a mesma coisa >> que valor. O número é a ideia e não a representação, portanto >> 1,0 = >> 1 = I (representação romana) = 0, >> Mas se puderem me ajudar e detalhar melhor como dá 1. Agradeço. >> >> Saudações, >> PJMS >> >> >> Em qua, 31 de jul de 2019 às 12:31, Claudio Buffara < >> claudio.buff...@gmail.com> escreveu: >> >>> A questão não pede o valor de x(2013) (supondo que x(0) = 2) >>> A questão pode o número que aparecerá no visor da calculadora. >>> Neste caso, será 1,0 (numa calculadora com 9 casas decimais >>> após a vírgula). >>> >>> >>> Enviado do meu iPhone >>> >>> Em 31 de jul de 2019, à(s) 10:50, Rodrigo Ângelo < >>> drigo.ang...@gmail.com> escreveu: >>> >>> Parece muito o método de Newton-Raphson pra encontrar zero de >>> função, nesse caso, começando em 2 acho que converge pra raÃz >>> positiva >>> de x - 1/x que é 1 >>> >>> Atenciosamente, >>> Rodrigo de Castro Ângelo >>> >>> >>> Em qua, 31 de jul de 2019 à s 09:08, Carlos Monteiro < >>> cacacarlosalberto1...@gmail.com> escreveu: >>> Luca tem uma calculadora com um único botão. Se um número x está na tela da calculadora e apertamos seu único botão, o número x é substituÃdo pelo número (2x)/(x^2 + 1). Dado que, inicialmente, o número 2 está na tela da calculadora, qual número aparecerá após apertarmos 2013 vezes seu botão. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi v
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Seria G(n+1) = [G(1)]^(2^n)? On Wed, Jul 31, 2019, 9:24 PM Arthur Queiroz wrote: > Complementando, dá pra achar o termo geral assim: > N(n+1) = 2*N(n)^2 + 2*N(n) > Multiplicando os dois lados por dois e adicionando um: > 2*N(n+1) + 1= 4*N(n)^2+4*N(n)+1 > Fatorando o lado direito: > 2*N(n+1) + 1 = (2*N(n)+1)^2 > Agora, sendo G(n) = 2*N(n)+1, teremos que: > G(n+1) = G(n)^2 = ((G(n-1)^2)^2 = ... = G(1)^(2^(n-1)) > Só que G(1) = 2*N(1)+1 = 2*4+1 = 9 = 3^2, logo G(n+1) = G(1)^(2^(n-1)) = > (3^2)^(2^(n-1)) = 3^(2^n) > Voltando, N(n), pela equação anterior, é igual a (G(n)-1)/2 > Logo, N(n) = (3^(2^n)-1)/2 > Por fim, a resposta do problema é N(2013)/(N(2013)+1) = > (3^(2^2013)-1)/(3^(2^2013) + 1) > > Em qua, 31 de jul de 2019 às 20:20, Claudio Buffara < > claudio.buff...@gmail.com> escreveu: > >> x(0) = 2 ==> x(1) = 4/5 ==> x(2) = 40/41 ==> x(3) = 3800/3801 >> >> Em geral, se x(n) = a/b (a e b inteiros primos entre si) ==> x(n+1) = >> 2ab/(a^2+b^2) < 1. >> Além disso, olhando os primeiros termos, parece que a^2 + b^2 = 2ab + 1 >> ==> (a - b)^2 = 1 ==> b = a + 1 >> E, de fato, se x(n) = a/(a+1), então x(n+1) = 2a(a+1)/(2a^2+2a+1) >> >> Assim, a sequência de numeradores será: >> N(1) = 4, >> N(2) = 2*4*(4+1) = 40 >> N(3) = 2*40*(40+1) = 3800 >> ... >> N(n+1) = 2*N(n)*(N(n)+1) >> >> De bate pronto não vejo uma fórmula fechada pra esta recorrência, mas o >> número desejado é N(2013)/(N(2013)+1), e N(2013) é um inteiro gigantesco. >> >> >> >> On Wed, Jul 31, 2019 at 7:59 PM Claudio Buffara < >> claudio.buff...@gmail.com> wrote: >> >>> Exatamente isso! >>> >>> On Wed, Jul 31, 2019 at 7:38 PM Caio Costa wrote: >>> não vai dar 1, mas vai dar um número muito próximo de 1 (valor exato). O que eles estão dizendo (pelo que entendi) é que a diferença para 1 é tão pequena, desprezível, que não será percebida pelo mero visor da calculadora, que normalmente tem precisão de até 8 casas decimais. Att, Caio Costa Em qua, 31 de jul de 2019 às 18:43, Pedro José escreveu: > Boa noite! > Não consegui perceber como vocês chegaram ao valor. > Com respeito, Cláudio, o enunciado fala em número que a mesma coisa > que valor. O número é a ideia e não a representação, portanto 1,0 > = > 1 = I (representação romana) = 0, > Mas se puderem me ajudar e detalhar melhor como dá 1. Agradeço. > > Saudações, > PJMS > > > Em qua, 31 de jul de 2019 às 12:31, Claudio Buffara < > claudio.buff...@gmail.com> escreveu: > >> A questão não pede o valor de x(2013) (supondo que x(0) = 2) >> A questão pode o número que aparecerá no visor da calculadora. >> Neste caso, será 1,0 (numa calculadora com 9 casas decimais >> após a vírgula). >> >> >> Enviado do meu iPhone >> >> Em 31 de jul de 2019, à(s) 10:50, Rodrigo Ângelo < >> drigo.ang...@gmail.com> escreveu: >> >> Parece muito o método de Newton-Raphson pra encontrar zero de >> função, nesse caso, começando em 2 acho que converge pra raÃz >> positiva >> de x - 1/x que é 1 >> >> Atenciosamente, >> Rodrigo de Castro Ângelo >> >> >> Em qua, 31 de jul de 2019 à s 09:08, Carlos Monteiro < >> cacacarlosalberto1...@gmail.com> escreveu: >> >>> Luca tem uma calculadora com um único botão. Se um número x está >>> na tela da calculadora e apertamos seu único botão, o número x é >>> substituÃdo pelo número (2x)/(x^2 + 1). Dado que, inicialmente, o >>> número 2 está na tela da calculadora, qual número aparecerá após >>> apertarmos 2013 vezes seu botão. >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
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Complementando, dá pra achar o termo geral assim: N(n+1) = 2*N(n)^2 + 2*N(n) Multiplicando os dois lados por dois e adicionando um: 2*N(n+1) + 1= 4*N(n)^2+4*N(n)+1 Fatorando o lado direito: 2*N(n+1) + 1 = (2*N(n)+1)^2 Agora, sendo G(n) = 2*N(n)+1, teremos que: G(n+1) = G(n)^2 = ((G(n-1)^2)^2 = ... = G(1)^(2^(n-1)) Só que G(1) = 2*N(1)+1 = 2*4+1 = 9 = 3^2, logo G(n+1) = G(1)^(2^(n-1)) = (3^2)^(2^(n-1)) = 3^(2^n) Voltando, N(n), pela equação anterior, é igual a (G(n)-1)/2 Logo, N(n) = (3^(2^n)-1)/2 Por fim, a resposta do problema é N(2013)/(N(2013)+1) = (3^(2^2013)-1)/(3^(2^2013) + 1) Em qua, 31 de jul de 2019 às 20:20, Claudio Buffara < claudio.buff...@gmail.com> escreveu: > x(0) = 2 ==> x(1) = 4/5 ==> x(2) = 40/41 ==> x(3) = 3800/3801 > > Em geral, se x(n) = a/b (a e b inteiros primos entre si) ==> x(n+1) = > 2ab/(a^2+b^2) < 1. > Além disso, olhando os primeiros termos, parece que a^2 + b^2 = 2ab + 1 > ==> (a - b)^2 = 1 ==> b = a + 1 > E, de fato, se x(n) = a/(a+1), então x(n+1) = 2a(a+1)/(2a^2+2a+1) > > Assim, a sequência de numeradores será: > N(1) = 4, > N(2) = 2*4*(4+1) = 40 > N(3) = 2*40*(40+1) = 3800 > ... > N(n+1) = 2*N(n)*(N(n)+1) > > De bate pronto não vejo uma fórmula fechada pra esta recorrência, mas o > número desejado é N(2013)/(N(2013)+1), e N(2013) é um inteiro gigantesco. > > > > On Wed, Jul 31, 2019 at 7:59 PM Claudio Buffara > wrote: > >> Exatamente isso! >> >> On Wed, Jul 31, 2019 at 7:38 PM Caio Costa wrote: >> >>> não vai dar 1, mas vai dar um número muito próximo de 1 (valor exato). O >>> que eles estão dizendo (pelo que entendi) é que a diferença para 1 é tão >>> pequena, desprezível, que não será percebida pelo mero visor da >>> calculadora, que normalmente tem precisão de até 8 casas decimais. >>> >>> Att, >>> >>> Caio Costa >>> >>> Em qua, 31 de jul de 2019 às 18:43, Pedro José >>> escreveu: >>> Boa noite! Não consegui perceber como vocês chegaram ao valor. Com respeito, Cláudio, o enunciado fala em número que a mesma coisa que valor. O número é a ideia e não a representação, portanto 1,0 = 1 = I (representação romana) = 0, Mas se puderem me ajudar e detalhar melhor como dá 1. Agradeço. Saudações, PJMS Em qua, 31 de jul de 2019 às 12:31, Claudio Buffara < claudio.buff...@gmail.com> escreveu: > A questão não pede o valor de x(2013) (supondo que x(0) = 2) > A questão pode o número que aparecerá no visor da calculadora. > Neste caso, será 1,0 (numa calculadora com 9 casas decimais > após a vírgula). > > > Enviado do meu iPhone > > Em 31 de jul de 2019, à(s) 10:50, Rodrigo Ângelo < > drigo.ang...@gmail.com> escreveu: > > Parece muito o método de Newton-Raphson pra encontrar zero de > função, nesse caso, começando em 2 acho que converge pra raÃz positiva > de x - 1/x que é 1 > > Atenciosamente, > Rodrigo de Castro Ângelo > > > Em qua, 31 de jul de 2019 à s 09:08, Carlos Monteiro < > cacacarlosalberto1...@gmail.com> escreveu: > >> Luca tem uma calculadora com um único botão. Se um número x está >> na tela da calculadora e apertamos seu único botão, o número x é >> substituÃdo pelo número (2x)/(x^2 + 1). Dado que, inicialmente, o >> número 2 está na tela da calculadora, qual número aparecerá após >> apertarmos 2013 vezes seu botão. >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Recorrência
x(0) = 2 ==> x(1) = 4/5 ==> x(2) = 40/41 ==> x(3) = 3800/3801 Em geral, se x(n) = a/b (a e b inteiros primos entre si) ==> x(n+1) = 2ab/(a^2+b^2) < 1. Além disso, olhando os primeiros termos, parece que a^2 + b^2 = 2ab + 1 ==> (a - b)^2 = 1 ==> b = a + 1 E, de fato, se x(n) = a/(a+1), então x(n+1) = 2a(a+1)/(2a^2+2a+1) Assim, a sequência de numeradores será: N(1) = 4, N(2) = 2*4*(4+1) = 40 N(3) = 2*40*(40+1) = 3800 ... N(n+1) = 2*N(n)*(N(n)+1) De bate pronto não vejo uma fórmula fechada pra esta recorrência, mas o número desejado é N(2013)/(N(2013)+1), e N(2013) é um inteiro gigantesco. On Wed, Jul 31, 2019 at 7:59 PM Claudio Buffara wrote: > Exatamente isso! > > On Wed, Jul 31, 2019 at 7:38 PM Caio Costa wrote: > >> não vai dar 1, mas vai dar um número muito próximo de 1 (valor exato). O >> que eles estão dizendo (pelo que entendi) é que a diferença para 1 é tão >> pequena, desprezível, que não será percebida pelo mero visor da >> calculadora, que normalmente tem precisão de até 8 casas decimais. >> >> Att, >> >> Caio Costa >> >> Em qua, 31 de jul de 2019 às 18:43, Pedro José >> escreveu: >> >>> Boa noite! >>> Não consegui perceber como vocês chegaram ao valor. >>> Com respeito, Cláudio, o enunciado fala em número que a mesma coisa que >>> valor. O número é a ideia e não a representação, portanto 1,0 = 1 = >>> I (representação romana) = 0, >>> Mas se puderem me ajudar e detalhar melhor como dá 1. Agradeço. >>> >>> Saudações, >>> PJMS >>> >>> >>> Em qua, 31 de jul de 2019 às 12:31, Claudio Buffara < >>> claudio.buff...@gmail.com> escreveu: >>> A questão não pede o valor de x(2013) (supondo que x(0) = 2) A questão pode o número que aparecerá no visor da calculadora. Neste caso, será 1,0 (numa calculadora com 9 casas decimais após a vírgula). Enviado do meu iPhone Em 31 de jul de 2019, à(s) 10:50, Rodrigo Ângelo < drigo.ang...@gmail.com> escreveu: Parece muito o método de Newton-Raphson pra encontrar zero de função, nesse caso, começando em 2 acho que converge pra raÃz positiva de x - 1/x que é 1 Atenciosamente, Rodrigo de Castro Ângelo Em qua, 31 de jul de 2019 à s 09:08, Carlos Monteiro < cacacarlosalberto1...@gmail.com> escreveu: > Luca tem uma calculadora com um único botão. Se um número x está > na tela da calculadora e apertamos seu único botão, o número x é > substituÃdo pelo número (2x)/(x^2 + 1). Dado que, inicialmente, o > número 2 está na tela da calculadora, qual número aparecerá após > apertarmos 2013 vezes seu botão. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Recorrência
Exatamente isso! On Wed, Jul 31, 2019 at 7:38 PM Caio Costa wrote: > não vai dar 1, mas vai dar um número muito próximo de 1 (valor exato). O > que eles estão dizendo (pelo que entendi) é que a diferença para 1 é tão > pequena, desprezível, que não será percebida pelo mero visor da > calculadora, que normalmente tem precisão de até 8 casas decimais. > > Att, > > Caio Costa > > Em qua, 31 de jul de 2019 às 18:43, Pedro José > escreveu: > >> Boa noite! >> Não consegui perceber como vocês chegaram ao valor. >> Com respeito, Cláudio, o enunciado fala em número que a mesma coisa que >> valor. O número é a ideia e não a representação, portanto 1,0 = 1 = >> I (representação romana) = 0, >> Mas se puderem me ajudar e detalhar melhor como dá 1. Agradeço. >> >> Saudações, >> PJMS >> >> >> Em qua, 31 de jul de 2019 às 12:31, Claudio Buffara < >> claudio.buff...@gmail.com> escreveu: >> >>> A questão não pede o valor de x(2013) (supondo que x(0) = 2) >>> A questão pode o número que aparecerá no visor da calculadora. >>> Neste caso, será 1,0 (numa calculadora com 9 casas decimais após >>> a vírgula). >>> >>> >>> Enviado do meu iPhone >>> >>> Em 31 de jul de 2019, à(s) 10:50, Rodrigo Ângelo >>> escreveu: >>> >>> Parece muito o método de Newton-Raphson pra encontrar zero de função, >>> nesse caso, começando em 2 acho que converge pra raÃz positiva de x - 1/x >>> que é 1 >>> >>> Atenciosamente, >>> Rodrigo de Castro Ângelo >>> >>> >>> Em qua, 31 de jul de 2019 à s 09:08, Carlos Monteiro < >>> cacacarlosalberto1...@gmail.com> escreveu: >>> Luca tem uma calculadora com um único botão. Se um número x está na tela da calculadora e apertamos seu único botão, o número x é substituÃdo pelo número (2x)/(x^2 + 1). Dado que, inicialmente, o número 2 está na tela da calculadora, qual número aparecerá após apertarmos 2013 vezes seu botão. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.