[obm-l] Re: [obm-l] Ternas pitagóricas
Se não errei... há o terno: 20, 21 e 29.Outro é 119, 120 e 169. - Mensagem Original - De: obm-l@mat.puc-rio.br Para:"obm-l@mat.puc-rio.br" Cópia: Enviado:Sat, 22 Feb 2014 02:14:12 + Assunto:[obm-l] Ternas pitagóricas Existe alguma terna pitagórica cujos dois menores termos são números consecutivos,além de (3,4,5)? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Ternas Pitagóricas
Para a primeira temos z^2-x^2=2y^2, logo z e x são ambos pares ou ambos ímpares, assim z+x=2a e z-x=2b, ou seja , z=a+b e x=a-b, daí 2y^2=4ab, donde y^2=2ab, logo fazendo a=2r^2 e b=s^2, teremos para solução (x,y,z)=(2r^2-s^2, 2rs, 2r^2+s^2). Enfim, espero não ter errado contas. rs Abracos Douglas Oliveira. Em 18 de maio de 2015 08:48, Jeferson Almir escreveu: > Peço ajuda nas seguintes questões > > 1) determine todos x,y,z inteiros tais que x^2 + 2y^2 = z^2 onde mdc( > x,y,z)=1 > > 2) Determine todos inteiros x^2 + y^2 = 1997( x- y ) > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Ternas Pitagóricas
Para a segunda , vamos tentar algo, considere d=(x,y), o maior divisor comum entre x e y, assim x=ad e y=bd, com a e b primos entre si, que substituindo na equação teremos d(a^2+b^2)=1997(a-b), mas como 1997 é primo e 1997=34^2+29^2, podemos encontrar uma solução a=34, b=29 e d=a-b=5. Assim uma solução será (x,y)=(170,145). Mas essa foi no chute , vamos tentar formar um terno pitagórico, bom , x^2-1997x+y^2+1997y=0 pode ficar assim, (x-1997/2)^2+(y-1997/2)^2=(1997^2)/2, esse denominador não ficou legal, vamos tentar outra forma, 2(x^2+y^2)=2.1997(x-y), então (x+y)^2+(x-y)^2-2.1997(x-y)=0, assim ficou bom pois (x+y)^2+(1997-x+y)^2=1997^2, agora usaremos as soluções pitagóricas, onde 2rs=x+y, r^2-s^2=1997-x+y, r^2+s^2=1997^2, podemos tambem trocar , 2rs=1997-x+y, r^2-s^2=x+y e r^2+s^2=1997^2, resolvendo esta última teremos somente a solução r=34 e s=29, que substituindo nas duas opções teremos (1) x+y=2.34.29 e 1997-x+y=34^2-29^2, assim teremos a solução x=1827 e y=145 e para a (2) x+y=34^2-29^2 e 1997-x+y=2.34.29 que nos da x=170 e y=145. Pronto , um abraco Douglas Oliveira. Em 18 de maio de 2015 09:40, Douglas Oliveira de Lima < profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu: > Para a primeira temos z^2-x^2=2y^2, logo z e x são ambos pares ou ambos > ímpares, > assim z+x=2a e z-x=2b, ou seja , z=a+b e x=a-b, daí 2y^2=4ab, donde > y^2=2ab, logo > fazendo a=2r^2 e b=s^2, teremos para solução (x,y,z)=(2r^2-s^2, 2rs, > 2r^2+s^2). > > Enfim, espero não ter errado contas. rs > > Abracos > Douglas Oliveira. > > Em 18 de maio de 2015 08:48, Jeferson Almir > escreveu: > >> Peço ajuda nas seguintes questões >> >> 1) determine todos x,y,z inteiros tais que x^2 + 2y^2 = z^2 onde mdc( >> x,y,z)=1 >> >> 2) Determine todos inteiros x^2 + y^2 = 1997( x- y ) >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Ternas pitagóricas
2014-02-22 8:07 GMT-03:00 : > >> - Mensagem Original - >> [obm-l] Ternas pitagóricas >> >> Existe alguma terna pitagórica cujos dois menores termos >> são números consecutivos,além de (3,4,5)? > > Se não errei... há o terno: 20, 21 e 29. > Outro é 119, 120 e 169. Exato. A equação é a^2 + (a+1)^2 = c^2. Usando a substituição z = a + 1/2, ela se torna (z - 1/2)^2 + (z + 1/2)^2 = c^2 2z^2 + 1/2 = c^2 4z^2 + 1 = 2c^2 Chamando y = 2z, isso dá uma equação de Pell: y^2 + 1 = 2c^2 Note que y é inteiro porque z é "inteiro mais meio". Essa equação tem infinitas soluções, por exemplo continuando as suas: 696^2 + 697^2 = 985^2 4059^2 + 4060^2 = 5741^2 23660^2 + 23661^2 = 33461^2 137903^2 + 137904^2 = 195025^2 803760^2 + 803761^2 = 1136689^2 4684659^2 + 4684660^2 = 6625109^2 27304196^2 + 27304197^2 = 38613965^2 159140519^2 + 159140520^2 = 225058681^2 927538920^2 + 927538921^2 = 1311738121^2 5406093003^2 + 5406093004^2 = 7645370045^2 Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
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Só um pequena observação "são ambos pares ou ambos ímpares" , na verdade não pode ser ambos pares pq o problema impôs que mdc(x,y,z)=1, mas esse pequeno detalhe não ofusca a brilhante solução Em 18 de maio de 2015 13:01, Douglas Oliveira de Lima < profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu: > Para a segunda , vamos tentar algo, considere d=(x,y), o maior divisor > comum entre x e y, > assim x=ad e y=bd, com a e b primos entre si, que substituindo na equação > teremos > d(a^2+b^2)=1997(a-b), mas como 1997 é primo e 1997=34^2+29^2, podemos > encontrar uma solução > a=34, b=29 e d=a-b=5. > Assim uma solução será (x,y)=(170,145). > Mas essa foi no chute , vamos tentar formar um terno pitagórico, bom , > x^2-1997x+y^2+1997y=0 > pode ficar assim, (x-1997/2)^2+(y-1997/2)^2=(1997^2)/2, esse denominador > não ficou legal, > vamos tentar outra forma, 2(x^2+y^2)=2.1997(x-y), então > (x+y)^2+(x-y)^2-2.1997(x-y)=0, > assim ficou bom pois (x+y)^2+(1997-x+y)^2=1997^2, agora usaremos as > soluções pitagóricas, onde > 2rs=x+y, r^2-s^2=1997-x+y, r^2+s^2=1997^2, podemos tambem trocar , > 2rs=1997-x+y, r^2-s^2=x+y e r^2+s^2=1997^2, resolvendo esta última teremos > somente a solução r=34 e s=29, que substituindo nas duas opções teremos (1) > x+y=2.34.29 e 1997-x+y=34^2-29^2, assim teremos a solução x=1827 e y=145 > e para a (2) x+y=34^2-29^2 e 1997-x+y=2.34.29 que nos da x=170 e y=145. > > Pronto , um abraco > > Douglas Oliveira. > > Em 18 de maio de 2015 09:40, Douglas Oliveira de Lima < > profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu: > >> Para a primeira temos z^2-x^2=2y^2, logo z e x são ambos pares ou ambos >> ímpares, >> assim z+x=2a e z-x=2b, ou seja , z=a+b e x=a-b, daí 2y^2=4ab, donde >> y^2=2ab, logo >> fazendo a=2r^2 e b=s^2, teremos para solução (x,y,z)=(2r^2-s^2, 2rs, >> 2r^2+s^2). >> >> Enfim, espero não ter errado contas. rs >> >> Abracos >> Douglas Oliveira. >> >> Em 18 de maio de 2015 08:48, Jeferson Almir >> escreveu: >> >>> Peço ajuda nas seguintes questões >>> >>> 1) determine todos x,y,z inteiros tais que x^2 + 2y^2 = z^2 onde mdc( >>> x,y,z)=1 >>> >>> 2) Determine todos inteiros x^2 + y^2 = 1997( x- y ) >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Ternas pitagóricas
x^2+(x+1)^2 = z^2 2x^2+2x+1 = z^2 4x^2+4x+2 = 2z^2 ((2x)^2 + 2*(2x) +1) +1 = 2z^2 (2x+1)^2 +1 = 2z^2 Basta usar algo sobre equações de Pell - acho que precisa modificar a fim de obter todas as soluções. Em 22/02/14, Bernardo Freitas Paulo da Costa escreveu: > 2014-02-22 8:07 GMT-03:00 : >> >>> - Mensagem Original - >>> [obm-l] Ternas pitagóricas >>> >>> Existe alguma terna pitagórica cujos dois menores termos >>> são números consecutivos,além de (3,4,5)? >> >> Se não errei... há o terno: 20, 21 e 29. >> Outro é 119, 120 e 169. > > Exato. > > A equação é a^2 + (a+1)^2 = c^2. Usando a substituição z = a + 1/2, ela se > torna > > (z - 1/2)^2 + (z + 1/2)^2 = c^2 > 2z^2 + 1/2 = c^2 > 4z^2 + 1 = 2c^2 > > Chamando y = 2z, isso dá uma equação de Pell: > > y^2 + 1 = 2c^2 > > Note que y é inteiro porque z é "inteiro mais meio". > > Essa equação tem infinitas soluções, por exemplo continuando as suas: > > 696^2 + 697^2 = 985^2 > 4059^2 + 4060^2 = 5741^2 > 23660^2 + 23661^2 = 33461^2 > 137903^2 + 137904^2 = 195025^2 > 803760^2 + 803761^2 = 1136689^2 > 4684659^2 + 4684660^2 = 6625109^2 > 27304196^2 + 27304197^2 = 38613965^2 > 159140519^2 + 159140520^2 = 225058681^2 > 927538920^2 + 927538921^2 = 1311738121^2 > 5406093003^2 + 5406093004^2 = 7645370045^2 > > Abraços, > -- > Bernardo Freitas Paulo da Costa > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = > -- /**/ 神が祝福 Torres -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
