[obm-l] RE: [obm-l] dúvida fatorial
, que e unico pela teoria dos conjuntos. De
BINOM(N,0)=1 tiramos 0!=1
Portanto, a existencia do CONJUNTO VAZIO e a sua unicidade e uma base nao
so da construcao dos numeros naturais ( o primeiro padrao ou primeira
cardinalidade ) como tambem de uma imaginavel interpretacao combinatoria
... Seria possivel de alguma maneira flexibilizar este pressuposto para
construir outros padroes alem e diferente dos naturais ?
Esse questao que estou me(nos) propondo nao me parece, a priori, de forma
alguma simples. Ela requer uma analise muito mais cuidadosa do que a que eu
vou fazer aqui. EU APENAS VOU ESBOCAR A IDEIA QUE ME OCORRE NESTE MOMENTO. O
que me parece ser o criterio que indicara sucesso ou nao nesta viagem mental
e a possibilidade de dizer alguma coisa interessante que tangecie de alguma
forma a HIPOTESE DO CONTINUO.
O conjunto vazio referencia a cardinalidade, tal como entendemos. Um
conjunto sem elementos, e vazio. A cardinalidade e uma propriedade universal
de todo conjunto. Dado um conjunto nao vazio. Os seus elementos podem ter
AFINIDADES ou nao. Baseado em algum criterio, podemos dizer que os elementos
de um conjunto nao tem afinidades, tem portanto zero afinidades, tem
portanto um vazio de afinidades.
Um vazio de afinidades parece ser algo diferente de um vazio de
cardinalidade. Existiria assim dois conjuntos vazios. Para um dado conjunto,
existiria o seu numero cardinal e o conjunto das afinidades de seus
elementos. Exemplo :
conjunto A ={joao,maria}
Afinidades associadas a A ={{ mesma idade, mesma cor, mesma altura }}
conjunto B={pedro,marta}
Afinidades associadas a B = {{ }}( sem afinidades )
Seria necessario agora construir um conjunto de axiomas que regulassem a
relacao entre estas duas categorias de conjuntos : os conjuntos e suas
afinidades. Mas e certo que poderiamos passar a interpretar
combinatoriamente :
BINOM(N,0)=2
Pois sempre podemos construir um conjunto com N elementos e sem afinidades
e, como anteriormente, retirar um unico conjunto com cardinalidade zero.
Esta mensagem toca em assuntos dificeis e importantes, mas e absolutamente
despretensiosa. Vejam-na apenas como um curta e rapida viagem mental na qual
tentei levar alguns de voces. Mas e certo que se fechermos os olhos e dermos
liberdade a nossa imaginacao, muitos universos surgem a nossa frente. Esse
carater de investigacao e contato com o desconhecido que sabemos que existe
em outro plano e que encerra exuberante beleza e parte viva e real da
Matematica. E tambem, parece-me, o que nos da maior motivacao ...
Um Abraco a Todos !
Paulo Santa Rita
3,2010,110406
From: Ronaldo Luiz Alonso [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] dúvida fatorial
Date: Mon, 3 Apr 2006 13:09:49 -0300
Eu havia imaginado vagamente (a tempos atrás)
tudo o que o professor Paulo
colocou nesta mensagem (Show de Bola).
Só que não tinha exemplos concretos nem clareza
de idéias e também nem citações suficientes
para explicitá-las como as que foram por ele colocadas.
A moral disso tudo é que devemos sempre
QUESTIONAR aquilo que nos é ensinado e da maneira
como é ensidado, pois podemos frequentemente nos
deparar com situações práticas onde a teoria precisa
ser ligeiramente adaptada e/ou a interpretação IPSIS
LITERIS da teoria pode tornar inviável a sua aplicação.
O caso das geometrias não euclidianas são um exemplo
prático deste caso.
WHAT I CAN'T CREATE I CAN'T UNDERSTAND
-- RICHARD FEYNMAN.
_
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] dúvida fatorial
Qualquer valor diferente de um atribuído por convenção estaria negando a definição de fatorial. SE considerarmos a interpretação de fatorial como número de bijeções de um conjunto com n elementos em um conjunto com n elementos e SE considerarmos a definição de números binomiais em termos de fatorial como usualmente nos são apresentadas, aí podemos dizer que o que vc escreveu está correto. Não há como trocar a definição sem causar conflitos. Mas todas essas definições são, de fato, convenções. Então a definição 0! = 1 também (do mesmo jeito) é uma convenção. Não consigo ver como não seria com o que nos foi apresentado até agora ... Ojesed. - Original Message - From: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Monday, April 03, 2006 4:19 PM Subject: Re: [obm-l] dúvida fatorial On Mon, Apr 03, 2006 at 09:49:58AM -0300, reginaldo.monteiro wrote: Alguém saberia me informar por que 0! = 1? Alguém já respondeu corretamente que isto é uma convenção, mas acho que há mais para ser dito. A interpretação combinatória para n! é que este é o número de permutações de um conjunto A com n elementos. Recapitulando, uma permutação de A é uma função bijetora f:A-A, ou, equivalentemente, um subconjunto F de AxA (o gráfico de f) tal que, para todo a em A: * existe um único b em A tal que (a,b) pertence a F; * existe um único c em A tal que (c,a) pertence a F. Com esta definição, se A = 0 (vazio) então F = 0 é o gráfico de uma bijeção f:A-A, a função vazia. As condições para verificar que f é bijetora são satisfeitas por vacuidade. É bem claro que esta é a única permutação de A, donde 0!=1. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- No virus found in this incoming message. Checked by AVG Free Edition. Version: 7.1.385 / Virus Database: 268.3.4/299 - Release Date: 31/3/2006 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] dúvida fatorial
Olá Mirror, se sua definicao estiver correta, entao suas 2 deducoes, assim como sua conclusao final, estao erradas. Erro da 1a "deducao" : voce esta' querendo concluir qual o valor de um termo (1!) a partir de um termo de ordem mais alta (2!). Mas de onde voce tirou o valor do fatorial de 2 ?! Nao faz sentido. O correto seria calcular (ou "deduzir" ) o valor de 2! a partir de 1! , o que, para a discussao aqui, nao serve de nada. Erro da 2a "deducao": a sua definicao nao faz referencia ao que seria 0! ( "...para n natural maior que 1" , lembra? ) . Portanto, pela sua propria definicao, nao ha' espaco para a extrapolacao de 0! . Conclusao: conforme sua propria definicao, o valor para 0! somente pode atribuido por convencao. Abracos, Rogerio Ponce, Ojesed Mirror [EMAIL PROTECTED] escreveu: Por definição n! = n*(n-1)! para n natural maior que 1.Se fizermos n=2 deduzimos que 1!=1Se fizermos n=1 deduzimos que 0!=1Então, 0! e 1! são iguais a "um" por extensão/conseqüência da definição de fatorial e não por convenção.Qualquer valor diferente de "um" atribuído por "convenção" estaria negando a definição de fatorial.Ojesed.- Original Message - From: "Nicolau C. Saldanha" To: Sent: Monday, April 03, 2006 4:19 PMSubject: Re: [obm-l] dúvida fatorialOn Mon, Apr 03, 2006 at 09:49:58AM -0300, reginaldo.monteiro wrote: Alguém saberia me informar por que 0! = 1?Alguém já respondeu corretamente que isto é uma convenção,mas acho que há mais para ser dito.A interpretação combinatória para n! é que este é o númerode permutações de um conjunto A com n elementos. Recapitulando,uma permutação de A é uma função bijetora f:A-A, ou,equivalentemente, um subconjunto F de AxA (o gráfico de f)tal que, para todo a em A:* existe um único b em A tal que (a,b) pertence a F;* existe um único c em A tal que (c,a) pertence a F.Com esta definição, se A = 0 (vazio) então F = 0 é o gráficode uma bijeção f:A-A, a função vazia. As condições para verificarque f é bijetora são satisfeitas por vacuidade. É bem claroque esta é a única permutação de A, donde 0!=1.[]s, N.=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= Novidade no Yahoo! Mail: receba alertas de novas mensagens no seu celular. Registre seu aparelho agora!
[obm-l] Re: [obm-l] dúvida fatorial
Dá uma olhada nisso: http://mathworld.wolfram.com/GammaFunction.html http://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_function Talvez sane sua dúvida :) - Original Message - From: reginaldo.monteiro To: obm-l Sent: Monday, April 03, 2006 9:49 AM Subject: [obm-l] dúvida fatorial Bom dia, Alguém saberia me informar por que 0! = 1? Obrigado Reginaldo
[obm-l] RE: [obm-l] dúvida fatorial
Ola Reginaldo e demais colegas desta lista ... OBM-L, ( estou escrevendo sem acentos ) Porque e conveniente ... Este postulado ( 0!=1 ) e consistente com outras crencas e as implicacoes dele sao uteis na pratica. De fato : 1) ACREDITANDO que a FUNCAO GAMA e a generalizacao do conceito de fatorial, e possivel DEDUZIR este postulado. 2) Admitindo este postulado, calculos combinatorios com numeros binomiais ficam mais faceis, sinteticos e concordam com a nossa PRATICA habitual de contar. Entretanto : 3) Nao existe nenhuma prova ou razao apoditica de que a funcao gama seja A GENERALIZACAO do conceito de fatorial. Muito provavelmente ela e UMA GENERALIZACAO, sem nenhuma vantagem logica sobre outras potencialmente possiveis ( e potencialmente interessantes ! ) 4) Em Matematica, o fato da pratica confirmar a teoria nao e uma razao definitiva para nao modificarmos esta teoria. Basta lembrar do nascimento das Geometrias nao-euclidianas ... Quando voce olha para um numero binomial BINOM(N,P) e o define assim : BINOM(N,P) = N! / ( P! * (N-P)! ) Voce, em verdade, esta ADMITINDO PREVIAMENTE A DEFINICAO DE FATORIAL e definindo uma funcao a duas variaveis com certas restricoes. Mas voce tambem poderia fazer assim : Defino : BINOM(N,0)=1 onde N=0,1,2,... BINOM(N+1,P)=BINOM(0,P-1) + ... + BINOM(N,P-1) onde P=1,2,... Neste caso voce vai obter OS MESMOS RESULTADOS sem lancar mao de uma definicao previa de fatorial. Mas, o que nos impede de definir : BINOM(N,0)=2 onde N=0,1,2, ... BINOM(N+1,P)=BINOM(0,P-1) + ... + BINOM(N,P-1) onde P=1,2,... No primeiro caso voce obtem o bem conhecido TRIANGULO DE PASCAL, que chamaremos doravante de PASCAL. No segundo caso, um PASCAL DOBRADO ou 2*PASCAL : 2 2 2 2 4 2 2 6 6 2 ... E no entanto, o 2*PASCAL mantem formalmente as mesmas propriedades basicas ( Ex : Teorema das Colunas ) do triangulo tradicional, conforme se ve facilmente ... Quanto vale 0! no 2*PASCAL ? BINOM(N,0) = 2 = N! / (0! * (N-0)! ) = 0!=1/2 Veja que agora temos maior liberdade. Nao somos mais escravos da postulacao 0!=1 Evidentemente, no 2*PASCAL, nao podemos mais interpretar BINOM(N,P) como o numero de combinacoes com P elementos que podemos formar se dispormos de N elementos. Bom, isso e decisivo ? E o noumeno sagrado que nao se pode tocar ? Sera que o 2*PASCAL nao nos permite fazer interpretacoes igualmente interessantes ? Para um K*PASCAL, defino : NIC=1/0! . Assim, o triangulo de pascal e o 1*PASCAL=PASCAL com NIC=1. Para cada real NIC ha um triangulo bem determinado com potenciais interpretacoes nao menos interessantes. Finalmente, me permito uma digressao. Pode-se definir a sequencia de fibonaci pelo triangulo de pascal. Basta partir da coluna zero e subir em diagonal, somando os numeros binomiais. Obteremos assim esta sequencia tao conhecida. ( Veja : Um ensaio sobre a beleza na Matematica - Huntley - Editora Univ. de Brasilia ) Se fizermos NIC=fi, fi = LIM f(n+1)/f(n) onde f(n) e o enesimo termo da sequencia de fibonaci, qual e o triangulo tipo Pascal correspondente ? Um Abraco a Todos Paulo Santa Rita 2,1225,030406 From: reginaldo.monteiro To: obm-l Sent: Monday, April 03, 2006 9:49 AM Subject: [obm-l] dúvida fatorial Bom dia, Alguém saberia me informar por que 0! = 1? Obrigado Reginaldo _ Seja um dos primeiros a testar o novo Windows Live Mail Beta. Acesse http://www.ideas.live.com/programpage.aspx?versionId=5d21c51a-b161-4314-9b0e-4911fb2b2e6d = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] dúvida fatorial
Eu havia imaginado vagamente (a tempos atrás) tudo o que o professor Paulo colocou nesta mensagem (Show de Bola). Só que não tinha exemplos concretos nem clareza de idéias e também nem citações suficientes para explicitá-las como as que foram por ele colocadas. A moral disso tudo é que devemos sempre QUESTIONAR aquilo que nos é ensinado e da maneira como é ensidado, pois podemos frequentemente nos deparar com situações práticas onde a teoria precisa ser ligeiramente adaptada e/ou a interpretação IPSIS LITERIS da teoria pode tornar inviável a sua aplicação. O caso das geometrias não euclidianas são um exemplo prático deste caso. WHAT I CAN'T CREATE I CAN'T UNDERSTAND -- RICHARD FEYNMAN. - Original Message - From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Monday, April 03, 2006 12:29 PM Subject: [obm-l] RE: [obm-l] dúvida fatorial Ola Reginaldo e demais colegas desta lista ... OBM-L, ( estou escrevendo sem acentos ) Porque e conveniente ... Este postulado ( 0!=1 ) e consistente com outras crencas e as implicacoes dele sao uteis na pratica. De fato : 1) ACREDITANDO que a FUNCAO GAMA e a generalizacao do conceito de fatorial, e possivel DEDUZIR este postulado. 2) Admitindo este postulado, calculos combinatorios com numeros binomiais ficam mais faceis, sinteticos e concordam com a nossa PRATICA habitual de contar. Entretanto : 3) Nao existe nenhuma prova ou razao apoditica de que a funcao gama seja A GENERALIZACAO do conceito de fatorial. Muito provavelmente ela e UMA GENERALIZACAO, sem nenhuma vantagem logica sobre outras potencialmente possiveis ( e potencialmente interessantes ! ) 4) Em Matematica, o fato da pratica confirmar a teoria nao e uma razao definitiva para nao modificarmos esta teoria. Basta lembrar do nascimento das Geometrias nao-euclidianas ... Quando voce olha para um numero binomial BINOM(N,P) e o define assim : BINOM(N,P) = N! / ( P! * (N-P)! ) Voce, em verdade, esta ADMITINDO PREVIAMENTE A DEFINICAO DE FATORIAL e definindo uma funcao a duas variaveis com certas restricoes. Mas voce tambem poderia fazer assim : Defino : BINOM(N,0)=1 onde N=0,1,2,... BINOM(N+1,P)=BINOM(0,P-1) + ... + BINOM(N,P-1) onde P=1,2,... Neste caso voce vai obter OS MESMOS RESULTADOS sem lancar mao de uma definicao previa de fatorial. Mas, o que nos impede de definir : BINOM(N,0)=2 onde N=0,1,2, ... BINOM(N+1,P)=BINOM(0,P-1) + ... + BINOM(N,P-1) onde P=1,2,... No primeiro caso voce obtem o bem conhecido TRIANGULO DE PASCAL, que chamaremos doravante de PASCAL. No segundo caso, um PASCAL DOBRADO ou 2*PASCAL : 2 2 2 2 4 2 2 6 6 2 ... E no entanto, o 2*PASCAL mantem formalmente as mesmas propriedades basicas ( Ex : Teorema das Colunas ) do triangulo tradicional, conforme se ve facilmente ... Quanto vale 0! no 2*PASCAL ? BINOM(N,0) = 2 = N! / (0! * (N-0)! ) = 0!=1/2 Veja que agora temos maior liberdade. Nao somos mais escravos da postulacao 0!=1 Evidentemente, no 2*PASCAL, nao podemos mais interpretar BINOM(N,P) como o numero de combinacoes com P elementos que podemos formar se dispormos de N elementos. Bom, isso e decisivo ? E o noumeno sagrado que nao se pode tocar ? Sera que o 2*PASCAL nao nos permite fazer interpretacoes igualmente interessantes ? Para um K*PASCAL, defino : NIC=1/0! . Assim, o triangulo de pascal e o 1*PASCAL=PASCAL com NIC=1. Para cada real NIC ha um triangulo bem determinado com potenciais interpretacoes nao menos interessantes. Finalmente, me permito uma digressao. Pode-se definir a sequencia de fibonaci pelo triangulo de pascal. Basta partir da coluna zero e subir em diagonal, somando os numeros binomiais. Obteremos assim esta sequencia tao conhecida. ( Veja : Um ensaio sobre a beleza na Matematica - Huntley - Editora Univ. de Brasilia ) Se fizermos NIC=fi, fi = LIM f(n+1)/f(n) onde f(n) e o enesimo termo da sequencia de fibonaci, qual e o triangulo tipo Pascal correspondente ? Um Abraco a Todos Paulo Santa Rita 2,1225,030406 From: reginaldo.monteiro To: obm-l Sent: Monday, April 03, 2006 9:49 AM Subject: [obm-l] dúvida fatorial Bom dia, Alguém saberia me informar por que 0! = 1? Obrigado Reginaldo _ Seja um dos primeiros a testar o novo Windows Live Mail Beta. Acesse http://www.ideas.live.com/programpage.aspx?versionId=5d21c51a-b161-4314-9b0e-4911fb2b2e6d = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] dúvida fatorial
Por definição n! = n*(n-1)! para n natural maior que 1. Se fizermos n=2 deduzimos que 1!=1 Se fizermos n=1 deduzimos que 0!=1 Então, 0! e 1! são iguais a um por extensão/conseqüência da definição de fatorial e não por convenção. Qualquer valor diferente de um atribuído por convenção estaria negando a definição de fatorial. Ojesed. - Original Message - From: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Monday, April 03, 2006 4:19 PM Subject: Re: [obm-l] dúvida fatorial On Mon, Apr 03, 2006 at 09:49:58AM -0300, reginaldo.monteiro wrote: Alguém saberia me informar por que 0! = 1? Alguém já respondeu corretamente que isto é uma convenção, mas acho que há mais para ser dito. A interpretação combinatória para n! é que este é o número de permutações de um conjunto A com n elementos. Recapitulando, uma permutação de A é uma função bijetora f:A-A, ou, equivalentemente, um subconjunto F de AxA (o gráfico de f) tal que, para todo a em A: * existe um único b em A tal que (a,b) pertence a F; * existe um único c em A tal que (c,a) pertence a F. Com esta definição, se A = 0 (vazio) então F = 0 é o gráfico de uma bijeção f:A-A, a função vazia. As condições para verificar que f é bijetora são satisfeitas por vacuidade. É bem claro que esta é a única permutação de A, donde 0!=1. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- No virus found in this incoming message. Checked by AVG Free Edition. Version: 7.1.385 / Virus Database: 268.3.4/299 - Release Date: 31/3/2006 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
