[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] polinômio irredutível

2020-08-20 Por tôpico Anderson Torres 
Em seg., 17 de ago. de 2020 às 12:14, Claudio Buffara
 escreveu:
>
> Eu acho que o Eisenstein inventou este critério pra polinômios da forma x^n + 
> a ou, mais geralmente, pra polinômios ciclotômicos.
> Daí funciona bem.
>
> On Mon, Aug 17, 2020 at 11:02 AM Esdras Muniz  
> wrote:
>>
>> E se p=3, e p divide N^2+9, então p^2 divide N^2+9.
>>
>> Então o critério de Eisenstein realmente não é tão abrangente. Será que tem 
>> algum outro critério que cubra casos em que o de Eisenstein não cubra?
>>
>> Em seg, 17 de ago de 2020 09:46, Claudio Buffara  
>> escreveu:
>>>
>>> Boa! Se p <> 3 mas p divide 3N e 3N^2, então p divide N ==> p não divide 
>>> N^3 + 9.
>>>
>>> On Sun, Aug 16, 2020 at 10:51 PM Esdras Muniz  
>>> wrote:

 Tenta com x^3+9.

 Em dom, 16 de ago de 2020 15:24, Claudio Buffara 
  escreveu:
>
> f(x) em Z[x], bem entendido...
>
>
> On Sun, Aug 16, 2020 at 3:08 PM Claudio Buffara 
>  wrote:
>>
>> Que tal essa aqui?
>> Prove ou disprove que, dado um polinômio f(x), irredutível sobre Q, 
>> existe um inteiro N tal que a irredutibilidade de f pode ser provada 
>> pelo critério de Eisenstein aplicado a f(x+N).

Isso me parece uma daquelas questões ultra capciosas sobre "prove ou
disprove que existe um algoritmo que..."

Inclusive imagino que esta seja uma questão indecidível neste caso particular...

>>
>> On Sun, Aug 16, 2020 at 2:31 PM Matheus Secco  
>> wrote:
>>>
>>> O melhor jeito é pensar na contrapositiva (supondo que você esteja 
>>> falando sobre irredutibilidade em Z[x] ou até em Q[x]): se f(x) fatora 
>>> como g(x)*h(x), então f(x+a) fatora como g(x+a) *h(x+a) e é claro que 
>>> uma vez que g(x) e h(x) têm coeficientes inteiros, então g(x+a) e 
>>> h(x+a) também têm. A recíproca é essencialmente idêntica.
>>>
>>> Abraços
>>>
>>> Em dom, 16 de ago de 2020 14:11, Luís Lopes  
>>> escreveu:

 Sauda,c~oes,

 Como provar que um polinômio f(x) tendo como coeficientes números 
 inteiros
 é irredutível se e somente se f(x+a) é irredutível para algum  
 inteiro ?

 Luís




 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.


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 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] polinômio irredutível

2020-08-17 Por tôpico qedtexte 

Sauda,c~oes, 

Legal o estudo do x^3+9. 

Sobre o Eisenstein generalizado (teorema 3 em 

;), tenho duas 
dúvidas: 





Theorem 3 (Extended Eisenstein). Let f(x) = anxn + an−1xn−1 + ··· + a1x + a0 be a polynomial with integer coefficients 
such that p | ai for 0 ≤ i < k, p 􏰀|/ ak and p2 􏰀|/ a0. Then f(x) has an irreducible factor of degree greater than k.


Quando k=n obtém-se o critério tradicional. 

i) quais as condições para os outros coeficientes a_(k+1), a_(k+2), 
. , a_n ? 
p pode dividi-los ou não ?

ii) o grau do fator irredutível é  > k ou >= k ? 

Luís 














--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] polinômio irredutível

2020-08-17 Por tôpico Claudio Buffara 
Eu acho que o Eisenstein inventou este critério pra polinômios da forma
x^n + a ou, mais geralmente, pra polinômios ciclotômicos.
Daí funciona bem.

On Mon, Aug 17, 2020 at 11:02 AM Esdras Muniz 
wrote:

> E se p=3, e p divide N^2+9, então p^2 divide N^2+9.
>
> Então o critério de Eisenstein realmente não é tão abrangente. Será que
> tem algum outro critério que cubra casos em que o de Eisenstein não cubra?
>
> Em seg, 17 de ago de 2020 09:46, Claudio Buffara <
> claudio.buff...@gmail.com> escreveu:
>
>> Boa! Se p <> 3 mas p divide 3N e 3N^2, então p divide N ==> p não divide
>> N^3 + 9.
>>
>> On Sun, Aug 16, 2020 at 10:51 PM Esdras Muniz 
>> wrote:
>>
>>> Tenta com x^3+9.
>>>
>>> Em dom, 16 de ago de 2020 15:24, Claudio Buffara <
>>> claudio.buff...@gmail.com> escreveu:
>>>
 f(x) em Z[x], bem entendido...


 On Sun, Aug 16, 2020 at 3:08 PM Claudio Buffara <
 claudio.buff...@gmail.com> wrote:

> Que tal essa aqui?
> Prove ou disprove que, dado um polinômio f(x), irredutível sobre Q,
> existe um inteiro N tal que a irredutibilidade de f pode ser provada pelo
> critério de Eisenstein aplicado a f(x+N).
>
> On Sun, Aug 16, 2020 at 2:31 PM Matheus Secco 
> wrote:
>
>> O melhor jeito é pensar na contrapositiva (supondo que você esteja
>> falando sobre irredutibilidade em Z[x] ou até em Q[x]): se f(x) fatora 
>> como
>> g(x)*h(x), então f(x+a) fatora como g(x+a) *h(x+a) e é claro que uma vez
>> que g(x) e h(x) têm coeficientes inteiros, então g(x+a) e h(x+a) também
>> têm. A recíproca é essencialmente idêntica.
>>
>> Abraços
>>
>> Em dom, 16 de ago de 2020 14:11, Luís Lopes 
>> escreveu:
>>
>>> Sauda,c~oes,
>>>
>>> Como provar que um polinômio f(x) tendo como coeficientes números
>>> inteiros
>>> é irredutível se e somente se f(x+a) é irredutível para algum 
>>> inteiro ?
>>>
>>> Luís
>>>
>>>
>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
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>>>
>>>
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>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] polinômio irredutível

2020-08-17 Por tôpico Esdras Muniz 
E se p=3, e p divide N^2+9, então p^2 divide N^2+9.

Então o critério de Eisenstein realmente não é tão abrangente. Será que tem
algum outro critério que cubra casos em que o de Eisenstein não cubra?

Em seg, 17 de ago de 2020 09:46, Claudio Buffara 
escreveu:

> Boa! Se p <> 3 mas p divide 3N e 3N^2, então p divide N ==> p não divide
> N^3 + 9.
>
> On Sun, Aug 16, 2020 at 10:51 PM Esdras Muniz 
> wrote:
>
>> Tenta com x^3+9.
>>
>> Em dom, 16 de ago de 2020 15:24, Claudio Buffara <
>> claudio.buff...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> f(x) em Z[x], bem entendido...
>>>
>>>
>>> On Sun, Aug 16, 2020 at 3:08 PM Claudio Buffara <
>>> claudio.buff...@gmail.com> wrote:
>>>
 Que tal essa aqui?
 Prove ou disprove que, dado um polinômio f(x), irredutível sobre Q,
 existe um inteiro N tal que a irredutibilidade de f pode ser provada pelo
 critério de Eisenstein aplicado a f(x+N).

 On Sun, Aug 16, 2020 at 2:31 PM Matheus Secco 
 wrote:

> O melhor jeito é pensar na contrapositiva (supondo que você esteja
> falando sobre irredutibilidade em Z[x] ou até em Q[x]): se f(x) fatora 
> como
> g(x)*h(x), então f(x+a) fatora como g(x+a) *h(x+a) e é claro que uma vez
> que g(x) e h(x) têm coeficientes inteiros, então g(x+a) e h(x+a) também
> têm. A recíproca é essencialmente idêntica.
>
> Abraços
>
> Em dom, 16 de ago de 2020 14:11, Luís Lopes 
> escreveu:
>
>> Sauda,c~oes,
>>
>> Como provar que um polinômio f(x) tendo como coeficientes números
>> inteiros
>> é irredutível se e somente se f(x+a) é irredutível para algum 
>> inteiro ?
>>
>> Luís
>>
>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.


>>> --
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>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] polinômio irredutível

2020-08-17 Por tôpico Claudio Buffara 
Boa! Se p <> 3 mas p divide 3N e 3N^2, então p divide N ==> p não divide
N^3 + 9.

On Sun, Aug 16, 2020 at 10:51 PM Esdras Muniz 
wrote:

> Tenta com x^3+9.
>
> Em dom, 16 de ago de 2020 15:24, Claudio Buffara <
> claudio.buff...@gmail.com> escreveu:
>
>> f(x) em Z[x], bem entendido...
>>
>>
>> On Sun, Aug 16, 2020 at 3:08 PM Claudio Buffara <
>> claudio.buff...@gmail.com> wrote:
>>
>>> Que tal essa aqui?
>>> Prove ou disprove que, dado um polinômio f(x), irredutível sobre Q,
>>> existe um inteiro N tal que a irredutibilidade de f pode ser provada pelo
>>> critério de Eisenstein aplicado a f(x+N).
>>>
>>> On Sun, Aug 16, 2020 at 2:31 PM Matheus Secco 
>>> wrote:
>>>
 O melhor jeito é pensar na contrapositiva (supondo que você esteja
 falando sobre irredutibilidade em Z[x] ou até em Q[x]): se f(x) fatora como
 g(x)*h(x), então f(x+a) fatora como g(x+a) *h(x+a) e é claro que uma vez
 que g(x) e h(x) têm coeficientes inteiros, então g(x+a) e h(x+a) também
 têm. A recíproca é essencialmente idêntica.

 Abraços

 Em dom, 16 de ago de 2020 14:11, Luís Lopes 
 escreveu:

> Sauda,c~oes,
>
> Como provar que um polinômio f(x) tendo como coeficientes números
> inteiros
> é irredutível se e somente se f(x+a) é irredutível para algum 
> inteiro ?
>
> Luís
>
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

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 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Re: [obm-l] polinômio irredutível

2020-08-16 Por tôpico qedtexte 

Sauda,c~oes, 

Como enunciar os teoremas nas duas formas (direta e contrapositiva) corretamente 
? 
E fazer uma prova completa/clara ? Vou tentar aqui. Agradeço 
comentários/correções. 
"Um polinômio f(x) em Z[x] é irredutível em Z[x] se e somente se f(x+N) é irredutível 
para algum  inteiro." 


Sabendo interpretar, acho que está correto. Podemos não saber se f(x) é 
 ou irredutível, mas basta 
encontrar somente um N tal que f(x+N) é irredutível para ter a 
decisão da irredutibilidade. 

Talvez por essa característica - encontrar um N que não sabemos qual - a 
prova direta seja difícil/impossível(?) 
e devemos pensar numa outra estratégia. Daí a contrapositiva, que 
precisa ser bem enunciada. 

"Um polinômio f(x) em Z[x] é redutível em Z[x] se e somente se f(x+N) 
é redutível 
para todo  inteiro." 

Ah, agora ficou mais fácil. 

Ida: f(x) é redutível ==> f(x+N) é redutível para 
todo  inteiro.

f(x) é redutível ==> f(x)=g(x)*h(x) para todo x\in\Real com 
os graus(g(x),h(x)) >= 1.

Em particular, se x=x+N, podemos escrever: f(x+N)=g(x+N)*h(x+N) para todo N. 
Uma vez que g(x) e h(x) têm coeficientes inteiros, então g(x+N) e h(x+N) também têm. 
Logo, f(x+N) é redutível para todo  inteiro.


>A recíproca é essencialmente idêntica.

Vou tentar prová-la rigorosamente. Talvez esteja errada, enrolada, 
imprecisa. 
Apreciaria correções/comentários. 

Volta: f(x+N) é redutível para todo 
 inteiro ==> f(x) é redutível

f(x+N) é redutível para todo 
 inteiro ==> f(x+N)=g(x+N)*h(x+N) para todo x\in\Real.

Em particular, se x=x-N, podemos escrever: f(x)=g(x)*h(x) para todo 
x\in\Real. 
Uma vez que g(x) e h(x) têm coeficientes inteiros, então f(x) 
também tem. 
Logo, f(x) é redutível.

Abraços, 
Luís



 










--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] polinômio irredutível

2020-08-16 Por tôpico Esdras Muniz 
Tenta com x^3+9.

Em dom, 16 de ago de 2020 15:24, Claudio Buffara 
escreveu:

> f(x) em Z[x], bem entendido...
>
>
> On Sun, Aug 16, 2020 at 3:08 PM Claudio Buffara 
> wrote:
>
>> Que tal essa aqui?
>> Prove ou disprove que, dado um polinômio f(x), irredutível sobre Q,
>> existe um inteiro N tal que a irredutibilidade de f pode ser provada pelo
>> critério de Eisenstein aplicado a f(x+N).
>>
>> On Sun, Aug 16, 2020 at 2:31 PM Matheus Secco 
>> wrote:
>>
>>> O melhor jeito é pensar na contrapositiva (supondo que você esteja
>>> falando sobre irredutibilidade em Z[x] ou até em Q[x]): se f(x) fatora como
>>> g(x)*h(x), então f(x+a) fatora como g(x+a) *h(x+a) e é claro que uma vez
>>> que g(x) e h(x) têm coeficientes inteiros, então g(x+a) e h(x+a) também
>>> têm. A recíproca é essencialmente idêntica.
>>>
>>> Abraços
>>>
>>> Em dom, 16 de ago de 2020 14:11, Luís Lopes 
>>> escreveu:
>>>
 Sauda,c~oes,

 Como provar que um polinômio f(x) tendo como coeficientes números
 inteiros
 é irredutível se e somente se f(x+a) é irredutível para algum 
 inteiro ?

 Luís




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 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

>>>
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>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
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> acredita-se estar livre de perigo.

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Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] polinômio irredutível

2020-08-16 Por tôpico qedtexte 

Sauda,c~oes, oi Cláudio, 

>Que tal essa aqui? 
>Prove ou disprove que, dado um polinômio f(x), irredutível sobre Q, existe um inteiro N tal que a 
>irredutibilidade de f pode ser provada pelo critério de Eisenstein aplicado a f(x+N).

Vou esperar a resposta. Pelo exemplo do site 

https://mathworld.wolfram.com/EisensteinsIrreducibilityCriterion.html

a gente pode achar que é verdade. O bom seria que esse N e o  da outra mensagem tivessem 
uma faixa de busca. Por tentativa e erro fica difícil. 


De qualquer jeito, não tenho conhecimento/experiência nenhuma nessa 
área. 
Só acho legal. 

Abraços, 
Luís 


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Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] polinômio irredutível

2020-08-16 Por tôpico qedtexte 

Sauda,c~oes novamente, 

Obrigado pelas respostas. 

As hipóteses são as que vocês falaram: tudo em Z[x]. 

Na verdade tudo começou com o problema de saber se f(x)=x^4 + x^3 + 4x + 1 
é irredutível em Z[x]. 
Testando a=-1, f(x-1)=x^4 - 3x^3 + 3x^2 + 3x - 3 e agora por Eisenstein com p=3, f(x) 
é irredutível. 

Mas antes precisa do Lema 

"Um polinômio f(x) em Z[x] é irredutível em Z[x] se e somente se f(x+a) 
é irredutível para algum  
inteiro." 


>O melhor jeito é pensar na contrapositiva (supondo que você esteja falando sobre irredutibilidade 
>em Z[x] ou até em Q[x]):

Boa, não pensei. 


>se f(x) fatora como g(x)*h(x), então f(x+a) fatora como g(x+a)*h(x+a) 
Isso é óbvio ? Precisa provar ? Vale dizer que se f(u(x)) fatora como g(u(x))*h(u(x)), 
então f(u(x+a)) fatora como g(u(x+a))*h(u(x+a)) ?


>e é claro que uma vez que g(x) e h(x) têm coeficientes inteiros, então g(x+a) e 
h(x+a) também têm. A recíproca é >essencialmente 
idêntica. 
Ok.


Abraços, 
Luís


 
--
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acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] polinômio irredutível

2020-08-16 Por tôpico Claudio Buffara 
f(x) em Z[x], bem entendido...


On Sun, Aug 16, 2020 at 3:08 PM Claudio Buffara 
wrote:

> Que tal essa aqui?
> Prove ou disprove que, dado um polinômio f(x), irredutível sobre Q, existe
> um inteiro N tal que a irredutibilidade de f pode ser provada pelo critério
> de Eisenstein aplicado a f(x+N).
>
> On Sun, Aug 16, 2020 at 2:31 PM Matheus Secco 
> wrote:
>
>> O melhor jeito é pensar na contrapositiva (supondo que você esteja
>> falando sobre irredutibilidade em Z[x] ou até em Q[x]): se f(x) fatora como
>> g(x)*h(x), então f(x+a) fatora como g(x+a) *h(x+a) e é claro que uma vez
>> que g(x) e h(x) têm coeficientes inteiros, então g(x+a) e h(x+a) também
>> têm. A recíproca é essencialmente idêntica.
>>
>> Abraços
>>
>> Em dom, 16 de ago de 2020 14:11, Luís Lopes 
>> escreveu:
>>
>>> Sauda,c~oes,
>>>
>>> Como provar que um polinômio f(x) tendo como coeficientes números
>>> inteiros
>>> é irredutível se e somente se f(x+a) é irredutível para algum 
>>> inteiro ?
>>>
>>> Luís
>>>
>>>
>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] polinômio irredutível

2020-08-16 Por tôpico Claudio Buffara 
Que tal essa aqui?
Prove ou disprove que, dado um polinômio f(x), irredutível sobre Q, existe
um inteiro N tal que a irredutibilidade de f pode ser provada pelo critério
de Eisenstein aplicado a f(x+N).

On Sun, Aug 16, 2020 at 2:31 PM Matheus Secco 
wrote:

> O melhor jeito é pensar na contrapositiva (supondo que você esteja falando
> sobre irredutibilidade em Z[x] ou até em Q[x]): se f(x) fatora como
> g(x)*h(x), então f(x+a) fatora como g(x+a) *h(x+a) e é claro que uma vez
> que g(x) e h(x) têm coeficientes inteiros, então g(x+a) e h(x+a) também
> têm. A recíproca é essencialmente idêntica.
>
> Abraços
>
> Em dom, 16 de ago de 2020 14:11, Luís Lopes 
> escreveu:
>
>> Sauda,c~oes,
>>
>> Como provar que um polinômio f(x) tendo como coeficientes números
>> inteiros
>> é irredutível se e somente se f(x+a) é irredutível para algum  inteiro
>> ?
>>
>> Luís
>>
>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] polinômio irredutível

2020-08-16 Por tôpico Matheus Secco 
O melhor jeito é pensar na contrapositiva (supondo que você esteja falando
sobre irredutibilidade em Z[x] ou até em Q[x]): se f(x) fatora como
g(x)*h(x), então f(x+a) fatora como g(x+a) *h(x+a) e é claro que uma vez
que g(x) e h(x) têm coeficientes inteiros, então g(x+a) e h(x+a) também
têm. A recíproca é essencialmente idêntica.

Abraços

Em dom, 16 de ago de 2020 14:11, Luís Lopes 
escreveu:

> Sauda,c~oes,
>
> Como provar que um polinômio f(x) tendo como coeficientes números inteiros
> é irredutível se e somente se f(x+a) é irredutível para algum  inteiro
> ?
>
> Luís
>
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Polinômio irredutível em Z

2016-11-24 Por tôpico Esdras Muniz 
Agora, como provar esse lema?

Em 24 de novembro de 2016 18:17, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> o gugu é foda
>
> Em 24 de novembro de 2016 18:50, Pedro José 
> escreveu:
>
>> Boa noite!
>>
>> Com a observação do Gugu, ficou fácil compreender a filosofia da solução;
>> pois, antes eu estava assim: "Marte chamando Terra, responda!".
>> O contra exemplo apresentado pelo Anderson Torres, não atende o fato de
>> cada par de coeficientes do polinômios terem o mdc =1, como proposto.
>> Porém, permaneço com duas dúvidas, a premissa de que "...*qualquer um
>> dos fatores vai ser mônico (a menos de sinal)*,"
>> Pelo que foi proposto na solução todos os coeficientes são primos e ao
>> > que seja apenas um) fator cujo coeficiente do termo de maior grau em módulo
>> fosse maior que um?
>> Embora entenda que basta um fator mônico (a menos de sinal), para
>> garantir que haveria pelo menos uma raiz com módulo maior ou igual a 1,
>> corroborando a solução do link mencionado.
>> A outra dúvida é por que o fato de [image: $p_{n}> p_{n-1}+\cdots+p_{0}$] 
>> garante
>> que todas as raízes tenham módulo <1 ?
>> Só consigo enxergar que o produto de todas as raízes terão módulo menor
>> que um, e que as somas dos produtos dois a dois, três a três..., terão
>> valor menor que um.
>>
>> Saudações,
>> PJMS
>>
>> Em 24 de novembro de 2016 12:07, Larissa Fernandes <
>> larissafernande2010...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Quero sair da lista obm-l
>>>
>>>
>>> Em 24 de novembro de 2016 10:42, Ronei Lima Badaró 
>>> escreveu:
>>>
 Para sair do grupo, favor seguir as instruções no link
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html

 Em 24/11/2016 10:37, "Larissa Fernandes" >>> com> escreveu:

> Olá, eu desejo sair do grupo.
>
> Em 23 de novembro de 2016 19:34,  escreveu:
>
>>Oi pessoal,
>>Na solução do link os coeficientes do polinômio são primos, e numa
>> fatoração qualquer um dos fatores vai ser mônico (a menos de sinal), 
>> donde
>> o produto dos módulos de suas raízes será pelo menos 1, uma contradição 
>> se
>> todas as raízes têm módulo menor que 1.
>>Abraços,
>>  Gugu
>>
>> Quoting Bernardo Freitas Paulo da Costa :
>>
>> 2016-11-23 14:21 GMT-02:00 Anderson Torres <
>>> torres.anderson...@gmail.com>:
>>>
 Isso não me parece verdadeiro - (2x-1)^1000 é um contraexemplo.

>>>
>>> Acho que tem uma hipótese implícita de que todas as raízes são
>>> distintas.
>>>
>>> Abraços,
>>> --
>>> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>>>
>>> Em 13 de novembro de 2016 14:20, Adrian Alexander Delgado
  escreveu:

> É sobre esse problema:
> (Irã 2007) Existe uma sequência de inteiros a_0, a_1, a_2, ...
> tais que
> (a_i,a_j)=1 para i diferente de j e para todo n inteiro positivo
> a_0 + a_1 x
> +... +a_n x^n é irredutível em Z[x]?
>
> No fórum AoPS, vi que a solução usa o fato de que
> Se toda raiz complexa ? de f satisfaz |?|<1, então f é irredutível
> em Z
>
> Tentei procura uma demonstração disso na internet e não encontrei.
> Alguém sabe como demonstrar isso?
>
> Link da solução:
> http://artofproblemsolving.com/community/c6h149740p847418
>
>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv?rus e
>>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>> 
>>> =
>>> Instru?es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>>> 
>>> =
>>>
>>>
>>>
>>
>>
>> 
>> This message was sent using IMP, the Internet Messaging Program.
>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> 
>> =
>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> 
>> =
>>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.


 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Polinômio irredutível em Z

2016-11-24 Por tôpico Israel Meireles Chrisostomo 
o gugu é foda

Em 24 de novembro de 2016 18:50, Pedro José  escreveu:

> Boa noite!
>
> Com a observação do Gugu, ficou fácil compreender a filosofia da solução;
> pois, antes eu estava assim: "Marte chamando Terra, responda!".
> O contra exemplo apresentado pelo Anderson Torres, não atende o fato de
> cada par de coeficientes do polinômios terem o mdc =1, como proposto.
> Porém, permaneço com duas dúvidas, a premissa de que "...*qualquer um dos
> fatores vai ser mônico (a menos de sinal)*,"
> Pelo que foi proposto na solução todos os coeficientes são primos e ao  < a2 <... seja apenas um) fator cujo coeficiente do termo de maior grau em módulo
> fosse maior que um?
> Embora entenda que basta um fator mônico (a menos de sinal), para garantir
> que haveria pelo menos uma raiz com módulo maior ou igual a 1, corroborando
> a solução do link mencionado.
> A outra dúvida é por que o fato de [image: $p_{n}> p_{n-1}+\cdots+p_{0}$] 
> garante
> que todas as raízes tenham módulo <1 ?
> Só consigo enxergar que o produto de todas as raízes terão módulo menor
> que um, e que as somas dos produtos dois a dois, três a três..., terão
> valor menor que um.
>
> Saudações,
> PJMS
>
> Em 24 de novembro de 2016 12:07, Larissa Fernandes <
> larissafernande2010...@gmail.com> escreveu:
>
>> Quero sair da lista obm-l
>>
>>
>> Em 24 de novembro de 2016 10:42, Ronei Lima Badaró 
>> escreveu:
>>
>>> Para sair do grupo, favor seguir as instruções no link
>>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>>>
>>> Em 24/11/2016 10:37, "Larissa Fernandes" >> com> escreveu:
>>>
 Olá, eu desejo sair do grupo.

 Em 23 de novembro de 2016 19:34,  escreveu:

>Oi pessoal,
>Na solução do link os coeficientes do polinômio são primos, e numa
> fatoração qualquer um dos fatores vai ser mônico (a menos de sinal), donde
> o produto dos módulos de suas raízes será pelo menos 1, uma contradição se
> todas as raízes têm módulo menor que 1.
>Abraços,
>  Gugu
>
> Quoting Bernardo Freitas Paulo da Costa :
>
> 2016-11-23 14:21 GMT-02:00 Anderson Torres <
>> torres.anderson...@gmail.com>:
>>
>>> Isso não me parece verdadeiro - (2x-1)^1000 é um contraexemplo.
>>>
>>
>> Acho que tem uma hipótese implícita de que todas as raízes são
>> distintas.
>>
>> Abraços,
>> --
>> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>>
>> Em 13 de novembro de 2016 14:20, Adrian Alexander Delgado
>>>  escreveu:
>>>
 É sobre esse problema:
 (Irã 2007) Existe uma sequência de inteiros a_0, a_1, a_2, ... tais
 que
 (a_i,a_j)=1 para i diferente de j e para todo n inteiro positivo
 a_0 + a_1 x
 +... +a_n x^n é irredutível em Z[x]?

 No fórum AoPS, vi que a solução usa o fato de que
 Se toda raiz complexa ? de f satisfaz |?|<1, então f é irredutível
 em Z

 Tentei procura uma demonstração disso na internet e não encontrei.
 Alguém sabe como demonstrar isso?

 Link da solução:
 http://artofproblemsolving.com/community/c6h149740p847418


>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv?rus e
>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> 
>> =
>> Instru?es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> 
>> =
>>
>>
>>
>
>
> 
> This message was sent using IMP, the Internet Messaging Program.
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> 
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> 
> =
>


 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Polinômio irredutível em Z

2016-11-24 Por tôpico Pedro José 
Boa noite!

Com a observação do Gugu, ficou fácil compreender a filosofia da solução;
pois, antes eu estava assim: "Marte chamando Terra, responda!".
O contra exemplo apresentado pelo Anderson Torres, não atende o fato de
cada par de coeficientes do polinômios terem o mdc =1, como proposto.
Porém, permaneço com duas dúvidas, a premissa de que "...*qualquer um dos
fatores vai ser mônico (a menos de sinal)*,"
Pelo que foi proposto na solução todos os coeficientes são primos e ao 
p_{n-1}+\cdots+p_{0}$] garante
que todas as raízes tenham módulo <1 ?
Só consigo enxergar que o produto de todas as raízes terão módulo menor que
um, e que as somas dos produtos dois a dois, três a três..., terão valor
menor que um.

Saudações,
PJMS

Em 24 de novembro de 2016 12:07, Larissa Fernandes <
larissafernande2010...@gmail.com> escreveu:

> Quero sair da lista obm-l
>
>
> Em 24 de novembro de 2016 10:42, Ronei Lima Badaró 
> escreveu:
>
>> Para sair do grupo, favor seguir as instruções no link
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>>
>> Em 24/11/2016 10:37, "Larissa Fernandes" > com> escreveu:
>>
>>> Olá, eu desejo sair do grupo.
>>>
>>> Em 23 de novembro de 2016 19:34,  escreveu:
>>>
Oi pessoal,
Na solução do link os coeficientes do polinômio são primos, e numa
 fatoração qualquer um dos fatores vai ser mônico (a menos de sinal), donde
 o produto dos módulos de suas raízes será pelo menos 1, uma contradição se
 todas as raízes têm módulo menor que 1.
Abraços,
  Gugu

 Quoting Bernardo Freitas Paulo da Costa :

 2016-11-23 14:21 GMT-02:00 Anderson Torres <
> torres.anderson...@gmail.com>:
>
>> Isso não me parece verdadeiro - (2x-1)^1000 é um contraexemplo.
>>
>
> Acho que tem uma hipótese implícita de que todas as raízes são
> distintas.
>
> Abraços,
> --
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>
> Em 13 de novembro de 2016 14:20, Adrian Alexander Delgado
>>  escreveu:
>>
>>> É sobre esse problema:
>>> (Irã 2007) Existe uma sequência de inteiros a_0, a_1, a_2, ... tais
>>> que
>>> (a_i,a_j)=1 para i diferente de j e para todo n inteiro positivo
>>> a_0 + a_1 x
>>> +... +a_n x^n é irredutível em Z[x]?
>>>
>>> No fórum AoPS, vi que a solução usa o fato de que
>>> Se toda raiz complexa ? de f satisfaz |?|<1, então f é irredutível
>>> em Z
>>>
>>> Tentei procura uma demonstração disso na internet e não encontrei.
>>> Alguém sabe como demonstrar isso?
>>>
>>> Link da solução:
>>> http://artofproblemsolving.com/community/c6h149740p847418
>>>
>>>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv?rus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> 
> =
> Instru?es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> 
> =
>
>
>


 
 This message was sent using IMP, the Internet Messaging Program.



 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.


 
 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 
 =

>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Polinômio irredutível em Z

2016-11-24 Por tôpico Larissa Fernandes 
Quero sair da lista obm-l


Em 24 de novembro de 2016 10:42, Ronei Lima Badaró 
escreveu:

> Para sair do grupo, favor seguir as instruções no link
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>
> Em 24/11/2016 10:37, "Larissa Fernandes" 
> escreveu:
>
>> Olá, eu desejo sair do grupo.
>>
>> Em 23 de novembro de 2016 19:34,  escreveu:
>>
>>>Oi pessoal,
>>>Na solução do link os coeficientes do polinômio são primos, e numa
>>> fatoração qualquer um dos fatores vai ser mônico (a menos de sinal), donde
>>> o produto dos módulos de suas raízes será pelo menos 1, uma contradição se
>>> todas as raízes têm módulo menor que 1.
>>>Abraços,
>>>  Gugu
>>>
>>> Quoting Bernardo Freitas Paulo da Costa :
>>>
>>> 2016-11-23 14:21 GMT-02:00 Anderson Torres >>> >:

> Isso não me parece verdadeiro - (2x-1)^1000 é um contraexemplo.
>

 Acho que tem uma hipótese implícita de que todas as raízes são
 distintas.

 Abraços,
 --
 Bernardo Freitas Paulo da Costa

 Em 13 de novembro de 2016 14:20, Adrian Alexander Delgado
>  escreveu:
>
>> É sobre esse problema:
>> (Irã 2007) Existe uma sequência de inteiros a_0, a_1, a_2, ... tais
>> que
>> (a_i,a_j)=1 para i diferente de j e para todo n inteiro positivo  a_0
>> + a_1 x
>> +... +a_n x^n é irredutível em Z[x]?
>>
>> No fórum AoPS, vi que a solução usa o fato de que
>> Se toda raiz complexa ? de f satisfaz |?|<1, então f é irredutível em
>> Z
>>
>> Tentei procura uma demonstração disso na internet e não encontrei.
>> Alguém sabe como demonstrar isso?
>>
>> Link da solução:
>> http://artofproblemsolving.com/community/c6h149740p847418
>>
>>
 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv?rus e
  acredita-se estar livre de perigo.


 
 =
 Instru?es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 
 =



>>>
>>>
>>> 
>>> This message was sent using IMP, the Internet Messaging Program.
>>>
>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>> 
>>> =
>>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>>> 
>>> =
>>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Polinômio irredutível em Z

2016-11-24 Por tôpico Ronei Lima Badaró 
Para sair do grupo, favor seguir as instruções no link
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html

Em 24/11/2016 10:37, "Larissa Fernandes" 
escreveu:

> Olá, eu desejo sair do grupo.
>
> Em 23 de novembro de 2016 19:34,  escreveu:
>
>>Oi pessoal,
>>Na solução do link os coeficientes do polinômio são primos, e numa
>> fatoração qualquer um dos fatores vai ser mônico (a menos de sinal), donde
>> o produto dos módulos de suas raízes será pelo menos 1, uma contradição se
>> todas as raízes têm módulo menor que 1.
>>Abraços,
>>  Gugu
>>
>> Quoting Bernardo Freitas Paulo da Costa :
>>
>> 2016-11-23 14:21 GMT-02:00 Anderson Torres 
>>> :
>>>
 Isso não me parece verdadeiro - (2x-1)^1000 é um contraexemplo.

>>>
>>> Acho que tem uma hipótese implícita de que todas as raízes são distintas.
>>>
>>> Abraços,
>>> --
>>> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>>>
>>> Em 13 de novembro de 2016 14:20, Adrian Alexander Delgado
  escreveu:

> É sobre esse problema:
> (Irã 2007) Existe uma sequência de inteiros a_0, a_1, a_2, ... tais que
> (a_i,a_j)=1 para i diferente de j e para todo n inteiro positivo  a_0
> + a_1 x
> +... +a_n x^n é irredutível em Z[x]?
>
> No fórum AoPS, vi que a solução usa o fato de que
> Se toda raiz complexa ? de f satisfaz |?|<1, então f é irredutível em Z
>
> Tentei procura uma demonstração disso na internet e não encontrei.
> Alguém sabe como demonstrar isso?
>
> Link da solução:
> http://artofproblemsolving.com/community/c6h149740p847418
>
>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv?rus e
>>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>> 
>>> =
>>> Instru?es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>>> 
>>> =
>>>
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>>
>>
>> 
>> This message was sent using IMP, the Internet Messaging Program.
>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> =
>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
>>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Polinômio irredutível em Z

2016-11-24 Por tôpico Larissa Fernandes 
Olá, eu desejo sair do grupo.

Em 23 de novembro de 2016 19:34,  escreveu:

>Oi pessoal,
>Na solução do link os coeficientes do polinômio são primos, e numa
> fatoração qualquer um dos fatores vai ser mônico (a menos de sinal), donde
> o produto dos módulos de suas raízes será pelo menos 1, uma contradição se
> todas as raízes têm módulo menor que 1.
>Abraços,
>  Gugu
>
> Quoting Bernardo Freitas Paulo da Costa :
>
> 2016-11-23 14:21 GMT-02:00 Anderson Torres :
>>
>>> Isso não me parece verdadeiro - (2x-1)^1000 é um contraexemplo.
>>>
>>
>> Acho que tem uma hipótese implícita de que todas as raízes são distintas.
>>
>> Abraços,
>> --
>> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>>
>> Em 13 de novembro de 2016 14:20, Adrian Alexander Delgado
>>>  escreveu:
>>>
 É sobre esse problema:
 (Irã 2007) Existe uma sequência de inteiros a_0, a_1, a_2, ... tais que
 (a_i,a_j)=1 para i diferente de j e para todo n inteiro positivo  a_0 +
 a_1 x
 +... +a_n x^n é irredutível em Z[x]?

 No fórum AoPS, vi que a solução usa o fato de que
 Se toda raiz complexa ? de f satisfaz |?|<1, então f é irredutível em Z

 Tentei procura uma demonstração disso na internet e não encontrei.
 Alguém sabe como demonstrar isso?

 Link da solução:
 http://artofproblemsolving.com/community/c6h149740p847418


>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv?rus e
>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> =
>> Instru?es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
>>
>>
>>
>
>
> 
> This message was sent using IMP, the Internet Messaging Program.
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Polinômio irredutível em Z

2016-11-23 Por tôpico gugu 

   Oi pessoal,
   Na solução do link os coeficientes do polinômio são primos, e numa  
fatoração qualquer um dos fatores vai ser mônico (a menos de sinal),  
donde o produto dos módulos de suas raízes será pelo menos 1, uma  
contradição se todas as raízes têm módulo menor que 1.

   Abraços,
 Gugu

Quoting Bernardo Freitas Paulo da Costa :


2016-11-23 14:21 GMT-02:00 Anderson Torres :

Isso não me parece verdadeiro - (2x-1)^1000 é um contraexemplo.


Acho que tem uma hipótese implícita de que todas as raízes são distintas.

Abraços,
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa


Em 13 de novembro de 2016 14:20, Adrian Alexander Delgado
 escreveu:

É sobre esse problema:
(Irã 2007) Existe uma sequência de inteiros a_0, a_1, a_2, ... tais que
(a_i,a_j)=1 para i diferente de j e para todo n inteiro positivo   
a_0 + a_1 x

+... +a_n x^n é irredutível em Z[x]?

No fórum AoPS, vi que a solução usa o fato de que
Se toda raiz complexa ? de f satisfaz |?|<1, então f é irredutível em Z

Tentei procura uma demonstração disso na internet e não encontrei.
Alguém sabe como demonstrar isso?

Link da solução:
http://artofproblemsolving.com/community/c6h149740p847418



--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv?rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru?es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=







This message was sent using IMP, the Internet Messaging Program.



--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Polinômio irredutível em Z

2016-11-23 Por tôpico Bernardo Freitas Paulo da Costa 
2016-11-23 14:21 GMT-02:00 Anderson Torres :
> Isso não me parece verdadeiro - (2x-1)^1000 é um contraexemplo.

Acho que tem uma hipótese implícita de que todas as raízes são distintas.

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

> Em 13 de novembro de 2016 14:20, Adrian Alexander Delgado
>  escreveu:
>> É sobre esse problema:
>> (Irã 2007) Existe uma sequência de inteiros a_0, a_1, a_2, ... tais que
>> (a_i,a_j)=1 para i diferente de j e para todo n inteiro positivo a_0 + a_1 x
>> +... +a_n x^n é irredutível em Z[x]?
>>
>> No fórum AoPS, vi que a solução usa o fato de que
>> Se toda raiz complexa α de f satisfaz |α|<1, então f é irredutível em Z
>>
>> Tentei procura uma demonstração disso na internet e não encontrei.
>> Alguém sabe como demonstrar isso?
>>
>> Link da solução:
>> http://artofproblemsolving.com/community/c6h149740p847418
>>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Polinômio irredutível em Z

2016-11-23 Por tôpico Anderson Torres 
Existem alguns critérios legaizinhos para irredutibilidade, Se achar
algo te envio.


Em 23 de novembro de 2016 14:21, Anderson Torres
 escreveu:
> Isso não me parece verdadeiro - (2x-1)^1000 é um contraexemplo.
>
> Em 13 de novembro de 2016 14:20, Adrian Alexander Delgado
>  escreveu:
>> É sobre esse problema:
>> (Irã 2007) Existe uma sequência de inteiros a_0, a_1, a_2, ... tais que
>> (a_i,a_j)=1 para i diferente de j e para todo n inteiro positivo a_0 + a_1 x
>> +... +a_n x^n é irredutível em Z[x]?
>>
>> No fórum AoPS, vi que a solução usa o fato de que
>> Se toda raiz complexa α de f satisfaz |α|<1, então f é irredutível em Z
>>
>> Tentei procura uma demonstração disso na internet e não encontrei.
>> Alguém sabe como demonstrar isso?
>>
>> Link da solução:
>> http://artofproblemsolving.com/community/c6h149740p847418
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


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[obm-l] Re: [obm-l] Polinômio irredutível em Z

2016-11-23 Por tôpico Anderson Torres 
Isso não me parece verdadeiro - (2x-1)^1000 é um contraexemplo.

Em 13 de novembro de 2016 14:20, Adrian Alexander Delgado
 escreveu:
> É sobre esse problema:
> (Irã 2007) Existe uma sequência de inteiros a_0, a_1, a_2, ... tais que
> (a_i,a_j)=1 para i diferente de j e para todo n inteiro positivo a_0 + a_1 x
> +... +a_n x^n é irredutível em Z[x]?
>
> No fórum AoPS, vi que a solução usa o fato de que
> Se toda raiz complexa α de f satisfaz |α|<1, então f é irredutível em Z
>
> Tentei procura uma demonstração disso na internet e não encontrei.
> Alguém sabe como demonstrar isso?
>
> Link da solução:
> http://artofproblemsolving.com/community/c6h149740p847418
>
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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[obm-l] Re: [obm-l] Polinômio Irredutível

2004-03-31 Por tôpico Cláudio \(Prática\) 
Title: Help



Eu formulei mal a minha dúvida abaixo, pois é claro 
que existem casos mais ou menos óbvios onde o resultado não é verdade. Por 
exemplo, f(x) = x - a^k, com a em F e k > 1 ==> f(x^m) será redutível se 
mdc(m,k) > 1.
 
A dúvida surgiu ao tentar calcular o polinômio 
mínimo de (2^(1/3) - i)^(1/2):
x = (2^(1/3) - i)^(1/2) ==>
x^2 + i = 
2^(1/3) ==>
x^6 + 3ix^4 - 3x^2 - i = 2 
==>
(x^6 - 3x^2 - 2)^2 = -(1 - 3x^4)^2 
==>
x^12 + 3x^8 - 4x^6 + 3x^4 + 12x^2 + 5 = 
0
 
Olhando essa equação em Z_3, obtemos:
x^12 + 2x^6 + 2 = 0.
 
Foi aí que surgiu a dúvida, pois f(x) = x^2 + 2x + 
2 é irredutível sobre Z_3.
A partir disso, podemos concluir que f(x^6) = x^12 
+ 2x^6 + 2 também é?
 
[]s,
Claudio.

  - Original Message - 
  From: 
  Cláudio (Prática) 
  To: [EMAIL PROTECTED] 
  Sent: Wednesday, March 31, 2004 12:34 
  PM
  Subject: [obm-l] Polinômio 
  Irredutível
  
  Oi, pessoal:
   
  Tenho a seguinte dúvida:
  Se F é um corpo e f(x) é um polinômio irredutível sobre F, então é 
  verdade que, para cada inteiro positivo n, o polinômio g(x) = f(x^n) também é 
  irredutível sobre F?
   
  Se for verdade, isso vale pra qualquer corpo?
   
  Agradeço qualquer ajuda.
   
  []s,
  Claudio.