Res: Res: [obm-l] SEQUENCIAS II
eh verdade Claudio, eu só estava me adiantando um pouco. Mas vou ver essa parte
de limites de sequencias nas proximas semanas.
- Mensagem original
De: claudio.buffara <[EMAIL PROTECTED]>
Para: obm-l
Enviadas: Terça-feira, 10 de Abril de 2007 16:37:13
Assunto: Re:Res: [obm-l] SEQUENCIAS II
Oi, Klaus:
Sem querer ser chato (mas provavelmente sendo...):
Como você pode demonstrar que uma sequência convergente (a_n) e a soma de
Cesaro correspondente ((a_1+...+a_n)/n) têm o mesmo limite se, aparentemente,
você nem sabe a definição precisa de limite de uma sequência?
[]s,
Claudio.
De:[EMAIL PROTECTED]
Para:obm-l@mat.puc-rio.br
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Data:Mon, 9 Apr 2007 15:58:35 -0700 (PDT)
Assunto:Res: [obm-l] SEQUENCIAS II
Valeu Bruno França. Tah meio complicado pra eu entender. Mas de qualquer forma
valeu.
- Mensagem original
De: Bruno França dos Reis <[EMAIL PROTECTED]>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Segunda-feira, 9 de Abril de 2007 18:22:29
Assunto: Re: [obm-l] SEQUENCIAS II
> Isso aí vem da definição de limite. Seria bom vc tê-la muito clara em sua
> mente antes de tentar tais demonstrações.
> Veja só:
>
> Dizemos que a_k --> L quando k --> o se, para cada eps > 0 existir um natural
> N tal que para todo n > N teremos |a_n - L| < eps.
>
> Ou seja: escolha uma distância ao ponto L (ie, um intervalinho centrado em L,
> com o tamanho que vc quiser); vc então verificará que a partir de certo
> instante, para algum N suficientemente grande, todos os elementos
> subsequêntes da sua seqüência cairão dentro desse intervalinho. Se isso
> ocorrer para qualquer tamanho de intervalinho, por menor que seja, então
> diremos que a_k tende a L qd k --> 0 (essa é a definiçãoa de limite de
> maneira informal e em texto).
>
> Pois bem, se b_k --> 0, isso quer dizer que para cada eps > 0 podemos
> encontrar N natural tal que n > N ==> |b_n - 0| < eps <==> |b_n| < eps, isso
> pela própria definição de limite, concorda?
> Muito bem, se podemos garantir que existe esse número N tal que todos os
> elementos a partir do N-ésimo caem todos a uma distância de no máximo eps do
> pto 0, então podemos dizer o mesmo para uma outra distância, por exemplo,
> eps/2. A essa nova distância corresponderá um outro número N', possivelmente
> maior que N (isso é MUITO informal, mas só pra ficar mais fácil de
> visualizar), tal que a partir do N'-ésimo elemento, todos estarão no máximo à
> distância eps/2.
>
> Agora vc pode se perguntar, de onde veio esse eps/2? E pq ele falou de um
> n_1? Isso é um artifício muito usado em demonstrações que envolvem uso de
> limites, quando há somas, por exemplo. Se vc quiser demonstrar que a_n --> A
> e b_n -> B implica (a_n + b_n) -> (A+B) (o que não é trivial), vc argumenta
> mais ou menos assim: para qualquer eps positivo, podemos encontrar um natural
> n_1 tal que todo mundo da sequência {a}, a partir desse n_1-ésimo elemento,
> estará à distância máxima de eps/2 do número A. Da mesma forma, tomamos n_2
> para a seq. {b} de forma que a partir desse n_2-ésimo elemento, todo mundo
> estará à dist. max. de eps/2 do número B. Agora, se vc pegar o maior dos dois
> naturais n_1 e n_2 (chamemos de N), então com certeza, a partir de N, para
> qualquer uma das seqüências, estaremos a uma dist. de no máximo eps/2 do
> respectivo limite. Agora se vc pegar a seq. c_n = a_n + b_n, a partir desse N
> estaremos à distância eps/2 + eps/2 = eps do valor A+B. Assim vemos que
para qualquer eps, podemos encontrar um natural N tal que a partir dele, a
seq. c_n = a_n + b_n estará a no máximo uma distância eps de A+B!!!
>
> Entendeu a idéia? Agora consegue entender essa passagem?
>
> Até mais
> Bruno França dos Reis
> On 4/9/07, Klaus Ferraz <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
>
Ola Claudio,
não entendi "b_k -> 0 ==> existe n_1 tal que k > n_1 implica |b_k| < eps/2."
o que é n_1? pq vc tomou k>n_1? pq |b_k|
Para: obm-l
Enviadas: Domingo, 8 de Abril de 2007 13:46:28
Assunto: Re:[obm-l] SEQUENCIAS II
>
> -- Cabeçalho original ---
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
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Data: Thu, 5 Apr 2007 10:43:56 -0700 (PDT)
Assunto: [obm-l] SEQUENCIAS II
> Suponha que a_n-->a. Mostre que :
> 1/n*sum_(k=1, n) a_k-->a.
>
Essa eh a manjadissima soma de Cesaro.
Para cada k, seja b_k = a_k - a. Como a_k -> a, b_k -> 0.
Seja eps > 0.
b_k -> 0 ==> existe n_1 tal que k > n_1 implica |b_k| < eps/2.
Fixado n_1, existe n_2 > n_1 tal que k > n_2 implica |b_1+...+b_(n_1)|/k <
eps/2.
Mas entao, tomando k > n_2, teremos:
|b_1 + b_2 + ... + b_(n_1) + b_(n_1+1) + ... + b_k|/k <=
|b_1 + ... + b_(n_1)|/k + (|b_(n_1+1)| + ... + |b_k|)/k <
eps/2
Res: Res: [obm-l] SEQUENCIAS II
Vlw Claudio, vou pensar! - Mensagem original De: claudio.buffara <[EMAIL PROTECTED]> Para: obm-l Enviadas: Terça-feira, 10 de Abril de 2007 7:50:54 Assunto: Re:Res: [obm-l] SEQUENCIAS II b_k -> 0 significa que lim(k -> infinito) b_k = 0 Isso quer dizer que, dado eps > 0, existe n_1 em N (conjunto dos naturais) tal que: se k > n_1 entao |b_k - 0| = |b_k| < eps. Em portugues: dizer que b_k tende a 0 significa dizer que, para todos os k suficientemente grandes, b_k estarah tao proximo de zero quanto quisermos. Esta eh simplesmente a definicao de limite de uma sequencia. Que tal entrar no Google e digitar: "Cesaro sum"? De qualquer forma, a soma de Cesaro de uma sequencia (a_n) eh, por definicao, a sequencia (b_n) dada por: b_n = (a_1+a_2+...+a_n)/n. Eu disse que eh manjadissima porque praticamente todos os livros de analise demonstram ou pedem, como exercicio, a demonstracao do resultado abaixo: se a_n -> a, entao b_n -> a. Tambem pode acontecer de (a_n) divergir mas (b_n) convergir. Voce consegue dar um exemplo disso? []s, Claudio. -- Cabeçalho original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Mon, 9 Apr 2007 12:17:33 -0700 (PDT) Assunto: Res: [obm-l] SEQUENCIAS II > Ola Claudio, > não entendi "b_k -> 0 ==> existe n_1 tal que k > n_1 implica |b_k| < eps/2." > o que é n_1? pq vc tomou k>n_1? pq |b_k| Nao encontrei nada sobre essa soma de Cesaro. > vlw. > > > - Mensagem original > De: claudio.buffara <[EMAIL PROTECTED]> > Para: obm-l > Enviadas: Domingo, 8 de Abril de 2007 13:46:28 > Assunto: Re:[obm-l] SEQUENCIAS II > > > -- Cabeçalho original --- > > De: [EMAIL PROTECTED] > Para: obm-l@mat.puc-rio.br > Cópia: > Data: Thu, 5 Apr 2007 10:43:56 -0700 (PDT) > Assunto: [obm-l] SEQUENCIAS II > > > Suponha que a_n-->a. Mostre que : > > 1/n*sum_(k=1, n) a_k-->a. > > > > Essa eh a manjadissima soma de Cesaro. > Para cada k, seja b_k = a_k - a. Como a_k -> a, b_k -> 0. > Seja eps > 0. > b_k -> 0 ==> existe n_1 tal que k > n_1 implica |b_k| < eps/2. > Fixado n_1, existe n_2 > n_1 tal que k > n_2 implica |b_1+...+b_(n_1)|/k < > eps/2. > Mas entao, tomando k > n_2, teremos: > |b_1 + b_2 + ... + b_(n_1) + b_(n_1+1) + ... + b_k|/k <= > |b_1 + ... + b_(n_1)|/k + (|b_(n_1+1)| + ... + |b_k|)/k < > eps/2 + (k - n_1)*(eps/2)/k < eps/2 + eps/2 = eps. > Ou seja, (b_1+...+b_k)/k -> 0 ==> (a_1+...+a_k)/k -> a. > > > > Suponha que 0<=a_1<=a_2<=.<=a_k. Calcule > > lim(n->oo) (a_1^n+a_2^n+a_3^n+..+a_k^n)1/n. > > > > Vou supor que a expressao eh a raiz n-esima da soma das n-esimas potencias > dos a_i. > Se todos os a_k forem 0, entao o limite eh zero. > Caso contrario, escreva: > a_1^n + ... + a_k^n = a_k^n*((a_1/a_k)^n + ... + (a_(k-1)/a_k)^n + 1). > Isso implica que a_k^n <= a_1^n + ... + a_k^n <= k*a_k^n ==> > a_k <= (a_1^n + ... + a_k^n)^(1/n) <= k^(1/n)*a_k. > Fazendo n -> infinito e usando o teorema do sanduiche, concluimos que o > limite procurado eh igual a a_k. > (alias, essa eh a razao pela qual a norma do maximo eh chamada de norma > infinito - repare que se n = 1, teremos a norma da > soma e se n = 2, a norma euclidiana usual do R^k). > > Um problema correlato eh encarar n como uma variavel real e fazer n -> 0+. > O limite nesse caso eh um pouco mais surpreendente. > > []s, > Claudio. > > > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = > > __ > Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger > http://br.messenger.yahoo.com/ > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
Re:Res: [obm-l] SEQUENCIAS II
Oi, Klaus:
Sem querer ser chato (mas provavelmente sendo...):
Como você pode demonstrar que uma sequência convergente (a_n) e a soma de
Cesaro correspondente ((a_1+...+a_n)/n) têm o mesmo limite se, aparentemente,
você nem sabe a definição precisa de limite de uma sequência?
[]s,
Claudio.
De:[EMAIL PROTECTED]
Para:obm-l@mat.puc-rio.br
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Data:Mon, 9 Apr 2007 15:58:35 -0700 (PDT)
Assunto:Res: [obm-l] SEQUENCIAS II
Valeu Bruno França. Tah meio complicado pra eu entender. Mas de qualquer forma
valeu.
- Mensagem original
De: Bruno França dos Reis <[EMAIL PROTECTED]>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Segunda-feira, 9 de Abril de 2007 18:22:29
Assunto: Re: [obm-l] SEQUENCIAS II
> Isso aí vem da definição de limite. Seria bom vc tê-la muito clara em sua
> mente antes de tentar tais demonstrações.
> Veja só:
>
> Dizemos que a_k --> L quando k --> o se, para cada eps > 0 existir um natural
> N tal que para todo n > N teremos |a_n - L| < eps.
>
> Ou seja: escolha uma distância ao ponto L (ie, um intervalinho centrado em L,
> com o tamanho que vc quiser); vc então verificará que a partir de certo
> instante, para algum N suficientemente grande, todos os elementos
> subsequêntes da sua seqüência cairão dentro desse intervalinho. Se isso
> ocorrer para qualquer tamanho de intervalinho, por menor que seja, então
> diremos que a_k tende a L qd k --> 0 (essa é a definiçãoa de limite de
> maneira informal e em texto).
>
> Pois bem, se b_k --> 0, isso quer dizer que para cada eps > 0 podemos
> encontrar N natural tal que n > N ==> |b_n - 0| < eps <==> |b_n| < eps, isso
> pela própria definição de limite, concorda?
> Muito bem, se podemos garantir que existe esse número N tal que todos os
> elementos a partir do N-ésimo caem todos a uma distância de no máximo eps do
> pto 0, então podemos dizer o mesmo para uma outra distância, por exemplo,
> eps/2. A essa nova distância corresponderá um outro número N', possivelmente
> maior que N (isso é MUITO informal, mas só pra ficar mais fácil de
> visualizar), tal que a partir do N'-ésimo elemento, todos estarão no máximo à
> distância eps/2.
>
> Agora vc pode se perguntar, de onde veio esse eps/2? E pq ele falou de um
> n_1? Isso é um artifício muito usado em demonstrações que envolvem uso de
> limites, quando há somas, por exemplo. Se vc quiser demonstrar que a_n --> A
> e b_n -> B implica (a_n + b_n) -> (A+B) (o que não é trivial), vc argumenta
> mais ou menos assim: para qualquer eps positivo, podemos encontrar um natural
> n_1 tal que todo mundo da sequência {a}, a partir desse n_1-ésimo elemento,
> estará à distância máxima de eps/2 do número A. Da mesma forma, tomamos n_2
> para a seq. {b} de forma que a partir desse n_2-ésimo elemento, todo mundo
> estará à dist. max. de eps/2 do número B. Agora, se vc pegar o maior dos dois
> naturais n_1 e n_2 (chamemos de N), então com certeza, a partir de N, para
> qualquer uma das seqüências, estaremos a uma dist. de no máximo eps/2 do
> respectivo limite. Agora se vc pegar a seq. c_n = a_n + b_n, a partir desse N
> estaremos à distância eps/2 + eps/2 = eps do valor A+B. Assim vemos que para
> qualquer eps, podemos encontrar um natural N tal que a partir dele, a seq.
> c_n = a_n + b_n estará a no máximo uma distância eps de A+B!!!
>
> Entendeu a idéia? Agora consegue entender essa passagem?
>
> Até mais
> Bruno França dos Reis
> On 4/9/07, Klaus Ferraz <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
>
Ola Claudio,
não entendi "b_k -> 0 ==> existe n_1 tal que k > n_1 implica |b_k| < eps/2."
o que é n_1? pq vc tomou k>n_1? pq |b_k|
Para: obm-l
Enviadas: Domingo, 8 de Abril de 2007 13:46:28
Assunto: Re:[obm-l] SEQUENCIAS II
>
> -- Cabeçalho original ---
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data: Thu, 5 Apr 2007 10:43:56 -0700 (PDT)
Assunto: [obm-l] SEQUENCIAS II
> Suponha que a_n-->a. Mostre que :
> 1/n*sum_(k=1, n) a_k-->a.
>
Essa eh a manjadissima soma de Cesaro.
Para cada k, seja b_k = a_k - a. Como a_k -> a, b_k -> 0.
Seja eps > 0.
b_k -> 0 ==> existe n_1 tal que k > n_1 implica |b_k| < eps/2.
Fixado n_1, existe n_2 > n_1 tal que k > n_2 implica |b_1+...+b_(n_1)|/k <
eps/2.
Mas entao, tomando k > n_2, teremos:
|b_1 + b_2 + ... + b_(n_1) + b_(n_1+1) + ... + b_k|/k <=
|b_1 + ... + b_(n_1)|/k + (|b_(n_1+1)| + ... + |b_k|)/k <
eps/2 + (k - n_1)*(eps/2)/k < eps/2 + eps/2 = eps.
Ou seja, (b_1+...+b_k)/k -> 0 ==> (a_1+...+a_k)/k -> a.
> Suponha que 0<=a_1<=a_2<=.<=a_k. Calcule
> lim(n->oo) (a_1^n+a_2^n+a_3^n+..+a_k^n)1/n.
>
Vou supor que a expressao eh a raiz n-esima da soma das n-esimas potencias dos
a_i.
Se todos os
Re: [obm-l] SEQUENCIAS II
Ola Klaus, isto vem diretamente da definicao de lim b_k = 0 ... vejamos: lim a_k = L qualquer que seja eps>0, existe n tal que k > n implica |a_k - L| < eps basta fazermos L=0, a_k = b_k e, ao inves de eps, vamos colocar eps/2 abracos, Salhab On 4/9/07, Klaus Ferraz <[EMAIL PROTECTED]> wrote: Ola Claudio, não entendi "b_k -> 0 ==> existe n_1 tal que k > n_1 implica |b_k| < eps/2." o que é n_1? pq vc tomou k>n_1? pq |b_k| Para: obm-l Enviadas: Domingo, 8 de Abril de 2007 13:46:28 Assunto: Re:[obm-l] SEQUENCIAS II -- Cabeçalho original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Thu, 5 Apr 2007 10:43:56 -0700 (PDT) Assunto: [obm-l] SEQUENCIAS II > Suponha que a_n-->a. Mostre que : > 1/n*sum_(k=1, n) a_k-->a. > Essa eh a manjadissima soma de Cesaro. Para cada k, seja b_k = a_k - a. Como a_k -> a, b_k -> 0. Seja eps > 0. b_k -> 0 ==> existe n_1 tal que k > n_1 implica |b_k| < eps/2. Fixado n_1, existe n_2 > n_1 tal que k > n_2 implica |b_1+...+b_(n_1)|/k < eps/2. Mas entao, tomando k > n_2, teremos: |b_1 + b_2 + ... + b_(n_1) + b_(n_1+1) + ... + b_k|/k <= |b_1 + ... + b_(n_1)|/k + (|b_(n_1+1)| + ... + |b_k|)/k < eps/2 + (k - n_1)*(eps/2)/k < eps/2 + eps/2 = eps. Ou seja, (b_1+...+b_k)/k -> 0 ==> (a_1+...+a_k)/k -> a. > Suponha que 0<=a_1<=a_2<=.<=a_k. Calcule > lim(n->oo) (a_1^n+a_2^n+a_3^n+..+a_k^n)1/n. > Vou supor que a expressao eh a raiz n-esima da soma das n-esimas potencias dos a_i. Se todos os a_k forem 0, entao o limite eh zero. Caso contrario, escreva: a_1^n + ... + a_k^n = a_k^n*((a_1/a_k)^n + ... + (a_(k-1)/a_k)^n + 1). Isso implica que a_k^n <= a_1^n + ... + a_k^n <= k*a_k^n ==> a_k <= (a_1^n + ... + a_k^n)^(1/n) <= k^(1/n)*a_k. Fazendo n -> infinito e usando o teorema do sanduiche, concluimos que o limite procurado eh igual a a_k. (alias, essa eh a razao pela qual a norma do maximo eh chamada de norma infinito - repare que se n = 1, teremos a norma da soma e se n = 2, a norma euclidiana usual do R^k). Um problema correlato eh encarar n como uma variavel real e fazer n -> 0+. O limite nesse caso eh um pouco mais surpreendente. []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re:Res: [obm-l] SEQUENCIAS II
b_k -> 0 significa que lim(k -> infinito) b_k = 0 Isso quer dizer que, dado eps > 0, existe n_1 em N (conjunto dos naturais) tal que: se k > n_1 entao |b_k - 0| = |b_k| < eps. Em portugues: dizer que b_k tende a 0 significa dizer que, para todos os k suficientemente grandes, b_k estarah tao proximo de zero quanto quisermos. Esta eh simplesmente a definicao de limite de uma sequencia. Que tal entrar no Google e digitar: "Cesaro sum"? De qualquer forma, a soma de Cesaro de uma sequencia (a_n) eh, por definicao, a sequencia (b_n) dada por: b_n = (a_1+a_2+...+a_n)/n. Eu disse que eh manjadissima porque praticamente todos os livros de analise demonstram ou pedem, como exercicio, a demonstracao do resultado abaixo: se a_n -> a, entao b_n -> a. Tambem pode acontecer de (a_n) divergir mas (b_n) convergir. Voce consegue dar um exemplo disso? []s, Claudio. -- Cabeçalho original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Mon, 9 Apr 2007 12:17:33 -0700 (PDT) Assunto: Res: [obm-l] SEQUENCIAS II > Ola Claudio, > não entendi "b_k -> 0 ==> existe n_1 tal que k > n_1 implica |b_k| < eps/2." > o que é n_1? pq vc tomou k>n_1? pq |b_k| Nao encontrei nada sobre essa soma de Cesaro. > vlw. > > > - Mensagem original > De: claudio.buffara <[EMAIL PROTECTED]> > Para: obm-l > Enviadas: Domingo, 8 de Abril de 2007 13:46:28 > Assunto: Re:[obm-l] SEQUENCIAS II > > > -- Cabeçalho original --- > > De: [EMAIL PROTECTED] > Para: obm-l@mat.puc-rio.br > Cópia: > Data: Thu, 5 Apr 2007 10:43:56 -0700 (PDT) > Assunto: [obm-l] SEQUENCIAS II > > > Suponha que a_n-->a. Mostre que : > > 1/n*sum_(k=1, n) a_k-->a. > > > > Essa eh a manjadissima soma de Cesaro. > Para cada k, seja b_k = a_k - a. Como a_k -> a, b_k -> 0. > Seja eps > 0. > b_k -> 0 ==> existe n_1 tal que k > n_1 implica |b_k| < eps/2. > Fixado n_1, existe n_2 > n_1 tal que k > n_2 implica |b_1+...+b_(n_1)|/k < > eps/2. > Mas entao, tomando k > n_2, teremos: > |b_1 + b_2 + ... + b_(n_1) + b_(n_1+1) + ... + b_k|/k <= > |b_1 + ... + b_(n_1)|/k + (|b_(n_1+1)| + ... + |b_k|)/k < > eps/2 + (k - n_1)*(eps/2)/k < eps/2 + eps/2 = eps. > Ou seja, (b_1+...+b_k)/k -> 0 ==> (a_1+...+a_k)/k -> a. > > > > Suponha que 0<=a_1<=a_2<=.<=a_k. Calcule > > lim(n->oo) (a_1^n+a_2^n+a_3^n+..+a_k^n)1/n. > > > > Vou supor que a expressao eh a raiz n-esima da soma das n-esimas potencias > dos a_i. > Se todos os a_k forem 0, entao o limite eh zero. > Caso contrario, escreva: > a_1^n + ... + a_k^n = a_k^n*((a_1/a_k)^n + ... + (a_(k-1)/a_k)^n + 1). > Isso implica que a_k^n <= a_1^n + ... + a_k^n <= k*a_k^n ==> > a_k <= (a_1^n + ... + a_k^n)^(1/n) <= k^(1/n)*a_k. > Fazendo n -> infinito e usando o teorema do sanduiche, concluimos que o > limite procurado eh igual a a_k. > (alias, essa eh a razao pela qual a norma do maximo eh chamada de norma > infinito - repare que se n = 1, teremos a norma da > soma e se n = 2, a norma euclidiana usual do R^k). > > Um problema correlato eh encarar n como uma variavel real e fazer n -> 0+. > O limite nesse caso eh um pouco mais surpreendente. > > []s, > Claudio. > > > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = > > __ > Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger > http://br.messenger.yahoo.com/ > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Res: [obm-l] SEQUENCIAS II
Valeu Bruno França. Tah meio complicado pra eu entender. Mas de qualquer forma
valeu.
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De: Bruno França dos Reis <[EMAIL PROTECTED]>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Segunda-feira, 9 de Abril de 2007 18:22:29
Assunto: Re: [obm-l] SEQUENCIAS II
Isso aí vem da definição de limite. Seria bom vc tê-la muito clara em sua mente
antes de tentar tais demonstrações.
Veja só:
Dizemos que a_k --> L quando k --> o se, para cada eps > 0 existir um natural N
tal que para todo n > N teremos |a_n - L| < eps.
Ou seja: escolha uma distância ao ponto L (ie, um intervalinho centrado em L,
com o tamanho que vc quiser); vc então verificará que a partir de certo
instante, para algum N suficientemente grande, todos os elementos subsequêntes
da sua seqüência cairão dentro desse intervalinho. Se isso ocorrer para
qualquer tamanho de intervalinho, por menor que seja, então diremos que a_k
tende a L qd k --> 0 (essa é a definiçãoa de limite de maneira informal e em
texto).
Pois bem, se b_k --> 0, isso quer dizer que para cada eps > 0 podemos encontrar
N natural tal que n > N ==> |b_n - 0| < eps <==> |b_n| < eps, isso pela própria
definição de limite, concorda?
Muito bem, se podemos garantir que existe esse número N tal que todos os
elementos a partir do N-ésimo caem todos a uma distância de no máximo eps do
pto 0, então podemos dizer o mesmo para uma outra distância, por exemplo,
eps/2. A essa nova distância corresponderá um outro número N', possivelmente
maior que N (isso é MUITO informal, mas só pra ficar mais fácil de visualizar),
tal que a partir do N'-ésimo elemento, todos estarão no máximo à distância
eps/2.
Agora vc pode se perguntar, de onde veio esse eps/2? E pq ele falou de um n_1?
Isso é um artifício muito usado em demonstrações que envolvem uso de limites,
quando há somas, por exemplo. Se vc quiser demonstrar que a_n --> A e b_n -> B
implica (a_n + b_n) -> (A+B) (o que não é trivial), vc argumenta mais ou menos
assim: para qualquer eps positivo, podemos encontrar um natural n_1 tal que
todo mundo da sequência {a}, a partir desse n_1-ésimo elemento, estará à
distância máxima de eps/2 do número A. Da mesma forma, tomamos n_2 para a seq.
{b} de forma que a partir desse n_2-ésimo elemento, todo mundo estará à dist.
max. de eps/2 do número B. Agora, se vc pegar o maior dos dois naturais n_1 e
n_2 (chamemos de N), então com certeza, a partir de N, para qualquer uma das
seqüências, estaremos a uma dist. de no máximo eps/2 do respectivo limite.
Agora se vc pegar a seq. c_n = a_n + b_n, a partir desse N estaremos à
distância eps/2 + eps/2 = eps do valor A+B. Assim vemos que para
qualquer eps, podemos encontrar um natural N tal que a partir dele, a seq. c_n
= a_n + b_n estará a no máximo uma distância eps de A+B!!!
Entendeu a idéia? Agora consegue entender essa passagem?
Até mais
Bruno França dos Reis
On 4/9/07, Klaus Ferraz <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
Ola Claudio,
não entendi "b_k -> 0 ==> existe n_1 tal que k > n_1 implica |b_k| < eps/2."
o que é n_1? pq vc tomou k>n_1? pq |b_k|
Para: obm-l
Enviadas: Domingo, 8 de Abril de 2007 13:46:28
Assunto: Re:[obm-l] SEQUENCIAS II
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Assunto: [obm-l] SEQUENCIAS II
> Suponha que a_n-->a. Mostre que :
> 1/n*sum_(k=1, n) a_k-->a.
>
Essa eh a manjadissima soma de Cesaro.
Para cada k, seja b_k = a_k - a. Como a_k -> a, b_k -> 0.
Seja eps > 0.
b_k -> 0 ==> existe n_1 tal que k > n_1 implica |b_k| < eps/2.
Fixado n_1, existe n_2 > n_1 tal que k > n_2 implica |b_1+...+b_(n_1)|/k <
eps/2.
Mas entao, tomando k > n_2, teremos:
|b_1 + b_2 + ... + b_(n_1) + b_(n_1+1) + ... + b_k|/k <=
|b_1 + ... + b_(n_1)|/k + (|b_(n_1+1)| + ... + |b_k|)/k <
eps/2 + (k - n_1)*(eps/2)/k < eps/2 + eps/2 = eps.
Ou seja, (b_1+...+b_k)/k -> 0 ==> (a_1+...+a_k)/k -> a.
> Suponha que 0<=a_1<=a_2<=.<=a_k. Calcule
> lim(n->oo) (a_1^n+a_2^n+a_3^n+..+a_k^n)1/n.
>
Vou supor que a expressao eh a raiz n-esima da soma das n-esimas potencias dos
a_i.
Se todos os a_k forem 0, entao o limite eh zero.
Caso contrario, escreva:
a_1^n + ... + a_k^n = a_k^n*((a_1/a_k)^n + ... + (a_(k-1)/a_k)^n + 1).
Isso implica que a_k^n <= a_1^n + ... + a_k^n <= k*a_k^n ==>
a_k <= (a_1^n + ... + a_k^n)^(1/n) <= k^(1/n)*a_k.
Fazendo n -> infinito e usando o teorema do sanduiche, concluimos que o limite
procurado eh igual a a_k.
(alias, essa eh a razao pela qual a norma do maximo eh chamada de norma
infinito - repare que se n = 1, teremos a norma da
soma e se n = 2, a norma euclidiana usual do R^k).
Um problema correlato eh encarar n como uma variavel real e fazer n -> 0+.
O limite nesse caso eh um
Re: [obm-l] SEQUENCIAS II
Isso aí vem da definição de limite. Seria bom vc tê-la muito clara em sua
mente antes de tentar tais demonstrações.
Veja só:
Dizemos que a_k --> L quando k --> o se, para cada eps > 0 existir um
natural N tal que para todo n > N teremos |a_n - L| < eps.
Ou seja: escolha uma distância ao ponto L (ie, um intervalinho centrado em
L, com o tamanho que vc quiser); vc então verificará que a partir de certo
instante, para algum N suficientemente grande, todos os elementos
subsequêntes da sua seqüência cairão dentro desse intervalinho. Se isso
ocorrer para qualquer tamanho de intervalinho, por menor que seja, então
diremos que a_k tende a L qd k --> 0 (essa é a definiçãoa de limite de
maneira informal e em texto).
Pois bem, se b_k --> 0, isso quer dizer que para cada eps > 0 podemos
encontrar N natural tal que n > N ==> |b_n - 0| < eps <==> |b_n| < eps, isso
pela própria definição de limite, concorda?
Muito bem, se podemos garantir que existe esse número N tal que todos os
elementos a partir do N-ésimo caem todos a uma distância de no máximo eps do
pto 0, então podemos dizer o mesmo para uma outra distância, por exemplo,
eps/2. A essa nova distância corresponderá um outro número N', possivelmente
maior que N (isso é MUITO informal, mas só pra ficar mais fácil de
visualizar), tal que a partir do N'-ésimo elemento, todos estarão no máximo
à distância eps/2.
Agora vc pode se perguntar, de onde veio esse eps/2? E pq ele falou de um
n_1? Isso é um artifício muito usado em demonstrações que envolvem uso de
limites, quando há somas, por exemplo. Se vc quiser demonstrar que a_n --> A
e b_n -> B implica (a_n + b_n) -> (A+B) (o que não é trivial), vc argumenta
mais ou menos assim: para qualquer eps positivo, podemos encontrar um
natural n_1 tal que todo mundo da sequência {a}, a partir desse n_1-ésimo
elemento, estará à distância máxima de eps/2 do número A. Da mesma forma,
tomamos n_2 para a seq. {b} de forma que a partir desse n_2-ésimo elemento,
todo mundo estará à dist. max. de eps/2 do número B. Agora, se vc pegar o
maior dos dois naturais n_1 e n_2 (chamemos de N), então com certeza, a
partir de N, para qualquer uma das seqüências, estaremos a uma dist. de no
máximo eps/2 do respectivo limite. Agora se vc pegar a seq. c_n = a_n + b_n,
a partir desse N estaremos à distância eps/2 + eps/2 = eps do valor A+B.
Assim vemos que para qualquer eps, podemos encontrar um natural N tal que a
partir dele, a seq. c_n = a_n + b_n estará a no máximo uma distância eps de
A+B!!!
Entendeu a idéia? Agora consegue entender essa passagem?
Até mais
Bruno França dos Reis
On 4/9/07, Klaus Ferraz <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
Ola Claudio,
não entendi *"b_k -> 0 ==> existe n_1 tal que k > n_1 implica |b_k| <
eps/2*."
o que é n_1? pq vc tomou k>n_1? pq |b_k|
Para: obm-l
Enviadas: Domingo, 8 de Abril de 2007 13:46:28
Assunto: Re:[obm-l] SEQUENCIAS II
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Para: obm-l@mat.puc-rio.br
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Assunto: [obm-l] SEQUENCIAS II
> Suponha que a_n-->a. Mostre que :
> 1/n*sum_(k=1, n) a_k-->a.
>
Essa eh a manjadissima soma de Cesaro.
Para cada k, seja b_k = a_k - a. Como a_k -> a, b_k -> 0.
Seja eps > 0.
b_k -> 0 ==> existe n_1 tal que k > n_1 implica |b_k| < eps/2.
Fixado n_1, existe n_2 > n_1 tal que k > n_2 implica |b_1+...+b_(n_1)|/k <
eps/2.
Mas entao, tomando k > n_2, teremos:
|b_1 + b_2 + ... + b_(n_1) + b_(n_1+1) + ... + b_k|/k <=
|b_1 + ... + b_(n_1)|/k + (|b_(n_1+1)| + ... + |b_k|)/k <
eps/2 + (k - n_1)*(eps/2)/k < eps/2 + eps/2 = eps.
Ou seja, (b_1+...+b_k)/k -> 0 ==> (a_1+...+a_k)/k -> a.
> Suponha que 0<=a_1<=a_2<=.<=a_k. Calcule
> lim(n->oo) (a_1^n+a_2^n+a_3^n+..+a_k^n)1/n.
>
Vou supor que a expressao eh a raiz n-esima da soma das n-esimas potencias
dos a_i.
Se todos os a_k forem 0, entao o limite eh zero.
Caso contrario, escreva:
a_1^n + ... + a_k^n = a_k^n*((a_1/a_k)^n + ... + (a_(k-1)/a_k)^n + 1).
Isso implica que a_k^n <= a_1^n + ... + a_k^n <= k*a_k^n ==>
a_k <= (a_1^n + ... + a_k^n)^(1/n) <= k^(1/n)*a_k.
Fazendo n -> infinito e usando o teorema do sanduiche, concluimos que o
limite procurado eh igual a a_k.
(alias, essa eh a razao pela qual a norma do maximo eh chamada de norma
infinito - repare que se n = 1, teremos a norma da
soma e se n = 2, a norma euclidiana usual do R^k).
Um problema correlato eh encarar n como uma variavel real e fazer n -> 0+.
O limite nesse caso eh um pouco mais surpreendente.
[]s,
Claudio.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
_
RES: [obm-l] SEQUENCIAS II
Com relação à sequencia das medias aritmeticas, um problema mais interesante e demonstrar que lim inf a_ <= lim inf s_n <= lim sup s_n <= lim sup a_n, sendo s_n a sequencia das medias aritmeticas de a_n. (admitindo-se que os limites possam ser infinitos). Isto implica automaticamente que, se lim a_n = a, entao lim s_n = a, mesmo que a = + oo - oo. Interessante que estas mesmas desigualdades valem se s_n for a sequencia das medias ponderadas de a_n com relacao aos pesos p_n >0, se Soma p_n = oo. Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Klaus Ferraz Enviada em: segunda-feira, 9 de abril de 2007 16:18 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Res: [obm-l] SEQUENCIAS II Ola Claudio, não entendi "b_k -> 0 ==> existe n_1 tal que k > n_1 implica |b_k| < eps/2." o que é n_1? pq vc tomou k>n_1? pq |b_k| Para: obm-l Enviadas: Domingo, 8 de Abril de 2007 13:46:28 Assunto: Re:[obm-l] SEQUENCIAS II -- Cabeçalho original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Thu, 5 Apr 2007 10:43:56 -0700 (PDT) Assunto: [obm-l] SEQUENCIAS II > Suponha que a_n-->a. Mostre que : > 1/n*sum_(k=1, n) a_k-->a. > Essa eh a manjadissima soma de Cesaro. Para cada k, seja b_k = a_k - a. Como a_k -> a, b_k -> 0. Seja eps > 0. b_k -> 0 ==> existe n_1 tal que k > n_1 implica |b_k| < eps/2. Fixado n_1, existe n_2 > n_1 tal que k > n_2 implica |b_1+...+b_(n_1)|/k < eps/2. Mas entao, tomando k > n_2, teremos: |b_1 + b_2 + ... + b_(n_1) + b_(n_1+1) + ... + b_k|/k <= |b_1 + ... + b_(n_1)|/k + (|b_(n_1+1)| + ... + |b_k|)/k < eps/2 + (k - n_1)*(eps/2)/k < eps/2 + eps/2 = eps. Ou seja, (b_1+...+b_k)/k -> 0 ==> (a_1+...+a_k)/k -> a. > Suponha que 0<=a_1<=a_2<=.<=a_k. Calcule > lim(n->oo) (a_1^n+a_2^n+a_3^n+..+a_k^n)1/n. > Vou supor que a expressao eh a raiz n-esima da soma das n-esimas potencias dos a_i. Se todos os a_k forem 0, entao o limite eh zero. Caso contrario, escreva: a_1^n + ... + a_k^n = a_k^n*((a_1/a_k)^n + ... + (a_(k-1)/a_k)^n + 1). Isso implica que a_k^n <= a_1^n + ... + a_k^n <= k*a_k^n ==> a_k <= (a_1^n + ... + a_k^n)^(1/n) <= k^(1/n)*a_k. Fazendo n -> infinito e usando o teorema do sanduiche, concluimos que o limite procurado eh igual a a_k. (alias, essa eh a razao pela qual a norma do maximo eh chamada de norma infinito - repare que se n = 1, teremos a norma da soma e se n = 2, a norma euclidiana usual do R^k). Um problema correlato eh encarar n como uma variavel real e fazer n -> 0+. O limite nesse caso eh um pouco mais surpreendente. []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
Res: [obm-l] SEQUENCIAS II
Ola Claudio, não entendi "b_k -> 0 ==> existe n_1 tal que k > n_1 implica |b_k| < eps/2." o que é n_1? pq vc tomou k>n_1? pq |b_k| Para: obm-l Enviadas: Domingo, 8 de Abril de 2007 13:46:28 Assunto: Re:[obm-l] SEQUENCIAS II -- Cabeçalho original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Thu, 5 Apr 2007 10:43:56 -0700 (PDT) Assunto: [obm-l] SEQUENCIAS II > Suponha que a_n-->a. Mostre que : > 1/n*sum_(k=1, n) a_k-->a. > Essa eh a manjadissima soma de Cesaro. Para cada k, seja b_k = a_k - a. Como a_k -> a, b_k -> 0. Seja eps > 0. b_k -> 0 ==> existe n_1 tal que k > n_1 implica |b_k| < eps/2. Fixado n_1, existe n_2 > n_1 tal que k > n_2 implica |b_1+...+b_(n_1)|/k < eps/2. Mas entao, tomando k > n_2, teremos: |b_1 + b_2 + ... + b_(n_1) + b_(n_1+1) + ... + b_k|/k <= |b_1 + ... + b_(n_1)|/k + (|b_(n_1+1)| + ... + |b_k|)/k < eps/2 + (k - n_1)*(eps/2)/k < eps/2 + eps/2 = eps. Ou seja, (b_1+...+b_k)/k -> 0 ==> (a_1+...+a_k)/k -> a. > Suponha que 0<=a_1<=a_2<=.<=a_k. Calcule > lim(n->oo) (a_1^n+a_2^n+a_3^n+..+a_k^n)1/n. > Vou supor que a expressao eh a raiz n-esima da soma das n-esimas potencias dos a_i. Se todos os a_k forem 0, entao o limite eh zero. Caso contrario, escreva: a_1^n + ... + a_k^n = a_k^n*((a_1/a_k)^n + ... + (a_(k-1)/a_k)^n + 1). Isso implica que a_k^n <= a_1^n + ... + a_k^n <= k*a_k^n ==> a_k <= (a_1^n + ... + a_k^n)^(1/n) <= k^(1/n)*a_k. Fazendo n -> infinito e usando o teorema do sanduiche, concluimos que o limite procurado eh igual a a_k. (alias, essa eh a razao pela qual a norma do maximo eh chamada de norma infinito - repare que se n = 1, teremos a norma da soma e se n = 2, a norma euclidiana usual do R^k). Um problema correlato eh encarar n como uma variavel real e fazer n -> 0+. O limite nesse caso eh um pouco mais surpreendente. []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
Re:[obm-l] SEQUENCIAS II
-- Cabeçalho original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Thu, 5 Apr 2007 10:43:56 -0700 (PDT) Assunto: [obm-l] SEQUENCIAS II > Suponha que a_n-->a. Mostre que : > 1/n*sum_(k=1, n) a_k-->a. > Essa eh a manjadissima soma de Cesaro. Para cada k, seja b_k = a_k - a. Como a_k -> a, b_k -> 0. Seja eps > 0. b_k -> 0 ==> existe n_1 tal que k > n_1 implica |b_k| < eps/2. Fixado n_1, existe n_2 > n_1 tal que k > n_2 implica |b_1+...+b_(n_1)|/k < eps/2. Mas entao, tomando k > n_2, teremos: |b_1 + b_2 + ... + b_(n_1) + b_(n_1+1) + ... + b_k|/k <= |b_1 + ... + b_(n_1)|/k + (|b_(n_1+1)| + ... + |b_k|)/k < eps/2 + (k - n_1)*(eps/2)/k < eps/2 + eps/2 = eps. Ou seja, (b_1+...+b_k)/k -> 0 ==> (a_1+...+a_k)/k -> a. > Suponha que 0<=a_1<=a_2<=.<=a_k. Calcule > lim(n->oo) (a_1^n+a_2^n+a_3^n+..+a_k^n)1/n. > Vou supor que a expressao eh a raiz n-esima da soma das n-esimas potencias dos a_i. Se todos os a_k forem 0, entao o limite eh zero. Caso contrario, escreva: a_1^n + ... + a_k^n = a_k^n*((a_1/a_k)^n + ... + (a_(k-1)/a_k)^n + 1). Isso implica que a_k^n <= a_1^n + ... + a_k^n <= k*a_k^n ==> a_k <= (a_1^n + ... + a_k^n)^(1/n) <= k^(1/n)*a_k. Fazendo n -> infinito e usando o teorema do sanduiche, concluimos que o limite procurado eh igual a a_k. (alias, essa eh a razao pela qual a norma do maximo eh chamada de norma infinito - repare que se n = 1, teremos a norma da soma e se n = 2, a norma euclidiana usual do R^k). Um problema correlato eh encarar n como uma variavel real e fazer n -> 0+. O limite nesse caso eh um pouco mais surpreendente. []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] SEQUENCIAS II
Suponha que a_n-->a. Mostre que : 1/n*sum_(k=1, n) a_k-->a. Suponha que 0<=a_1<=a_2<=.<=a_k. Calcule lim(n->oo) (a_1^n+a_2^n+a_3^n+..+a_k^n)1/n. Vlw. __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
