[obm-l] convergencia da sequencia das derivadas
Bom dia a todos Seja f_n uma sequencia de funcoes definidas e diferenciaveis em um intervalo I de R. Suponhamos que a sequencia das derivadas f'_n convirja uniformemente em I para uma funcao g. Hah um teorema que diz que, se a sequencia de numero reais f_n(u) convergir para algum u de I, entao f_n converge uniformemente em I para uma funcao f tal que f' = g em I. Esta ultima condicao eh realmente essencial? Se soubermos que f'_n converge uniformemente em I, já podemos entao fazer alguma inferencia quanto aa convergencia das primitivas? Se adicionarmos a hipotese de as f'_n sao continuas, temos entao alguma conclusao interessante, alem de que g eh continua? Eu acho que hah um teorema que se refere ao caso em que as f'_n sao Lipschitz, mas nao sei qual eh. Obrigado Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re:[obm-l] convergencia da sequencia das derivadas
De: [EMAIL PROTECTED] Para: "OBM-l (E-mail)" obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Tue, 16 Aug 2005 11:36:41 -0300 Assunto: [obm-l] convergencia da sequencia das derivadas > Bom dia a todos > > Seja f_n uma sequencia de funcoes definidas e diferenciaveis em um intervalo > I de R. Suponhamos que a sequencia das derivadas f'_n convirja uniformemente > em I para uma funcao g. Hah um teorema que diz que, se a sequencia de numero > reais f_n(u) convergir para algum u de I, entao f_n converge uniformemente > em I para uma funcao f tal que f' = g em I. Esta ultima condicao eh > realmente essencial? Sim. Suponha que f_n: I -> R é dada por: f_n(x) = x + (-1)^n. Cada f_n é diferenciável e (f_n') converge uniformemente para a função constante e igual a 1. No entanto, (f_n) não converge. Repare que, qualquer que seja u em I, f_n(u) não converge. Se soubermos que f'_n converge uniformemente em I, já > podemos entao fazer alguma inferencia quanto aa convergencia das primitivas? Não, conforme o exemplo acima. > Se adicionarmos a hipotese de as f'_n sao continuas, temos entao alguma > conclusao interessante, alem de que g eh continua? > Não que eu saiba. É claro que f_n' contínua ==> f_n' integrável. Mas continuamos a precisar da convergência de (f_n(u)) para algum u. > Eu acho que hah um teorema que se refere ao caso em que as f'_n sao > Lipschitz, mas nao sei qual eh. > Me parece que a condição de (f_n(u)) ser convergente para algum u permanece necessária. []s, Claudio.
RES: [obm-l] convergencia da sequencia das derivadas
Eh, de fato, acho que a condicao eh essencial mesmo. Eu nao conheco outro teorema neste sentido. Ruim para o trabalho que estou desenvolvendo Artur -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de claudio.buffaraEnviada em: terça-feira, 16 de agosto de 2005 15:41Para: obm-lAssunto: Re:[obm-l] convergencia da sequencia das derivadas De: [EMAIL PROTECTED] Para: "OBM-l (E-mail)" obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Tue, 16 Aug 2005 11:36:41 -0300 Assunto: [obm-l] convergencia da sequencia das derivadas > Bom dia a todos > > Seja f_n uma sequencia de funcoes definidas e diferenciaveis em um intervalo > I de R. Suponhamos que a sequencia das derivadas f'_n convirja uniformemente > em I para uma funcao g. Hah um teorema que diz que, se a sequencia de numero > reais f_n(u) convergir para algum u de I, entao f_n converge uniformemente > em I para uma funcao f tal que f' = g em I. Esta ultima condicao eh > realmente essencial? Sim. Suponha que f_n: I -> R é dada por: f_n(x) = x + (-1)^n. Cada f_n é diferenciável e (f_n') converge uniformemente para a função constante e igual a 1. No entanto, (f_n) não converge. Repare que, qualquer que seja u em I, f_n(u) não converge. Se soubermos que f'_n converge uniformemente em I, já > podemos entao fazer alguma inferencia quanto aa convergencia das primitivas? Não, conforme o exemplo acima. > Se adicionarmos a hipotese de as f'_n sao continuas, temos entao alguma > conclusao interessante, alem de que g eh continua? > Não que eu saiba. É claro que f_n' contínua ==> f_n' integrável. Mas continuamos a precisar da convergência de (f_n(u)) para algum u. > Eu acho que hah um teorema que se refere ao caso em que as f'_n sao > Lipschitz, mas nao sei qual eh. > Me parece que a condição de (f_n(u)) ser convergente para algum u permanece necessária. []s, Claudio.
Re:[obm-l] convergencia da sequencia das derivadas
Quoting "claudio\\.buffara" <[EMAIL PROTECTED]>: > > De:[EMAIL PROTECTED] > > Para:"OBM-l (E-mail)" obm-l@mat.puc-rio.br > > Cópia: > > Data:Tue, 16 Aug 2005 11:36:41 -0300 > > Assunto:[obm-l] convergencia da sequencia das derivadas > > > Bom dia a todos > > > > Seja f_n uma sequencia de funcoes definidas e diferenciaveis em um > intervalo > > I de R. Suponhamos que a sequencia das derivadas f'_n convirja > uniformemente > > em I para uma funcao g. Hah um teorema que diz que, se a sequencia de > numero > > reais f_n(u) convergir para algum u de I, entao f_n converge uniformemente > > em I para uma funcao f tal que f' = g em I. Esta ultima condicao eh > > realmente essencial? > > Sim. Suponha que f_n: I -> R é dada por: > f_n(x) = n. > Cada f_n é diferenciável e (f_n') converge uniformemente para a função > constante e igual a 0. No entanto, (f_n) não converge. > Repare que, qualquer que seja u em I, f_n(u) não converge. > > Se soubermos que f'_n converge uniformemente em I, já > > podemos entao fazer alguma inferencia quanto aa convergencia das > primitivas? > > Não, conforme o exemplo acima. > > > Se adicionarmos a hipotese de as f'_n sao continuas, temos entao alguma > > conclusao interessante, alem de que g eh continua? > > > Não que eu saiba. É claro que f_n' contínua ==> f_n' integrável. Mas > continuamos a precisar da convergência de (f_n(u)) para algum u. > > > Eu acho que hah um teorema que se refere ao caso em que as f'_n sao > > Lipschitz, mas nao sei qual eh. > > > Me parece que a condição de (f_n(u)) ser convergente para algum u permanece > necessária. > > []s, > Claudio. > Angelo Barone Netto <[EMAIL PROTECTED]> = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] convergencia da sequencia das derivadas
Bom, apesar de o Cláudio ter muito bem explicado porque precisa da hipótese de convergência de f_n(u) para algum u, existe ainda um pouco de utilidade para este teorema, uma vez que ele normalmente é usado para provar convergência de funções definidas por integrais, que então tem todas um ponto comum (por exemplo, valem zero no ponto inicial no caso de funções \int_a^x g_n(t) dt) Tentando fazer uma demostração, o importante da convergência em um ponto da série f_n(u) é poder usar justamente uma idéia de "trocar derivada com integral", usando que você tem um ponto (este u especial) onde as séries coincidem no infinito (ou seja, para n suficientemente grande, | f_n(u) - f(u) | < eps/2), e do argumento de convergência das derivadas, você pode definir uma f(u+h) = f(u) + \int_0^h g(u+t) dt Daí, você deve achar algo como | f_n(u+h) - f(u+h) | = | \int_0^h g_n(u+t)dt - \int_0^h g(u+t)dt | + | f_n(u) - f(u) |. Da convergência uniforme das g_n, você tem a convergência da integral da diferença para zero, e portanto você (se quiser que f_n(u+h) -> f(u+h) ) tem que ter também convergência de f_n(u) para f(u). Repare que em geral pode ser fácil achar um ponto onde estas funções coincidem, utilizando alguma particularidade das funcões g_n. Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa On 8/16/05, claudio.buffara <[EMAIL PROTECTED] > wrote: De: [EMAIL PROTECTED] Para: "OBM-l (E-mail)" obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Tue, 16 Aug 2005 11:36:41 -0300 Assunto: [obm-l] convergencia da sequencia das derivadas > Bom dia a todos > > Seja f_n uma sequencia de funcoes definidas e diferenciaveis em um intervalo > I de R. Suponhamos que a sequencia das derivadas f'_n convirja uniformemente > em I para uma funcao g. Hah um teorema que diz que, se a sequencia de numero > reais f_n(u) convergir para algum u de I, entao f_n converge uniformemente > em I para uma funcao f tal que f' = g em I. Esta ultima condicao eh > realmente essencial? Sim. Suponha que f_n: I -> R é dada por: f_n(x) = x + (-1)^n. Cada f_n é diferenciável e (f_n') converge uniformemente para a função constante e igual a 1. No entanto, (f_n) não converge. Repare que, qualquer que seja u em I, f_n(u) não converge. Se soubermos que f'_n converge uniformemente em I, já > podemos entao fazer alguma inferencia quanto aa convergencia das primitivas? Não, conforme o exemplo acima. > Se adicionarmos a hipotese de as f'_n sao continuas, temos entao alguma > conclusao interessante, alem de que g eh continua? > Não que eu saiba. É claro que f_n' contínua ==> f_n' integrável. Mas continuamos a precisar da convergência de (f_n(u)) para algum u. > Eu acho que hah um teorema que se refere ao caso em que as f'_n sao > Lipschitz, mas nao sei qual eh. > Me parece que a condição de (f_n(u)) ser convergente para algum u permanece necessária. []s, Claudio.
Re: [obm-l] convergencia da sequencia das derivadas
No meu caso, eu tenho um a sequencia de derivadas que converge uniformente para uma funcao g. Mas nao consegui provar que existe um ponto u no qual a sequencia das primitivas converge. Eh por isso que eu estava querendo descobrir, se possivel, alguma outra condicao que me garantissse a convergencia da sequencia das primitivas. Mas nao achei. No caso de sequencias de funcoes dadas por integrais, eh algumas vezes mais facil provar convergencia usando o Teorema da Convergencia Dominada, de Lerbesgue. Artur --- Bernardo Freitas Paulo da Costa <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > Bom, apesar de o Cláudio ter muito bem explicado > porque precisa da hipótese > de convergência de f_n(u) para algum u, existe ainda > um pouco de utilidade > para este teorema, uma vez que ele normalmente é > usado para provar > convergência de funções definidas por integrais, que > então tem todas um > ponto comum (por exemplo, valem zero no ponto > inicial no caso de funções > \int_a^x g_n(t) dt) > > Tentando fazer uma demostração, o importante da > convergência em um ponto da > série f_n(u) é poder usar justamente uma idéia de > "trocar derivada com > integral", usando que você tem um ponto (este u > especial) onde as séries > coincidem no infinito (ou seja, para n > suficientemente grande, | f_n(u) - > f(u) | < eps/2), e do argumento de convergência das > derivadas, você pode > definir uma > f(u+h) = f(u) + \int_0^h g(u+t) dt > Daí, você deve achar algo como | f_n(u+h) - f(u+h) | > = | \int_0^h g_n(u+t)dt > - \int_0^h g(u+t)dt | + | f_n(u) - f(u) |. Da > convergência uniforme das g_n, > você tem a convergência da integral da diferença > para zero, e portanto você > (se quiser que f_n(u+h) -> f(u+h) ) tem que ter > também convergência de > f_n(u) para f(u). Repare que em geral pode ser fácil > achar um ponto onde > estas funções coincidem, utilizando alguma > particularidade das funcões g_n. > > Abraços, > -- > Bernardo Freitas Paulo da Costa > > > On 8/16/05, claudio.buffara > <[EMAIL PROTECTED] > wrote: > > > >*De:* [EMAIL PROTECTED] > > *Para:* "OBM-l (E-mail)" obm-l@mat.puc-rio.br > > *Cópia:* > >*Data:* Tue, 16 Aug 2005 11:36:41 -0300 > > *Assunto:* [obm-l] convergencia da sequencia das > derivadas > > > Bom dia a todos > > > > > > Seja f_n uma sequencia de funcoes definidas e > diferenciaveis em um > > intervalo > > > I de R. Suponhamos que a sequencia das derivadas > f'_n convirja > > uniformemente > > > em I para uma funcao g. Hah um teorema que diz > que, se a sequencia de > > numero > > > reais f_n(u) convergir para algum u de I, entao > f_n converge > > uniformemente > > > em I para uma funcao f tal que f' = g em I. Esta > ultima condicao eh > > > realmente essencial? > > Sim. Suponha que f_n: I -> R é dada por: > > f_n(x) = x + (-1)^n. > > Cada f_n é diferenciável e (f_n') converge > uniformemente para a função > > constante e igual a 1. No entanto, (f_n) não > converge. > > Repare que, qualquer que seja u em I, f_n(u) não > converge. > > Se soubermos que f'_n converge uniformemente em > I, já > > > podemos entao fazer alguma inferencia quanto aa > convergencia das > > primitivas? > > Não, conforme o exemplo acima. > > > Se adicionarmos a hipotese de as f'_n sao > continuas, temos entao alguma > > > conclusao interessante, alem de que g eh > continua? > > > > > Não que eu saiba. É claro que f_n' contínua ==> > f_n' integrável. Mas > > continuamos a precisar da convergência de (f_n(u)) > para algum u. > > > Eu acho que hah um teorema que se refere ao > caso em que as f'_n sao > > > Lipschitz, mas nao sei qual eh. > > > > > Me parece que a condição de (f_n(u)) ser > convergente para algum u > > permanece necessária. > > []s, > > Claudio. > > > __ Do You Yahoo!? Tired of spam? Yahoo! Mail has the best spam protection around http://mail.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] convergencia da sequencia das derivadas
Você não tem nem um "zero" onde você possa calcular fácil o "f(u)" limite não? E quanto ao teorema de Lebesgue, ele é realmente muito mais forte, mas repare que ele dá conclusões \mu-qtp, em vez de R; além disso, esse é um resultado clássico em Teoria da Integração à Riemman (que você pode achar - e eu concordo - ultrapassada em muito em utilidade pela de Lebesgue) que ainda assim tem um pouco de aplicação. Fiquei curioso: você pode dar detalhes desta suas "g_n"? Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa On 8/18/05, Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > No meu caso, eu tenho um a sequencia de derivadas que > converge uniformente para uma funcao g. Mas nao > consegui provar que existe um ponto u no qual a > sequencia das primitivas converge. Eh por isso que eu > estava querendo descobrir, se possivel, alguma outra > condicao que me garantissse a convergencia da > sequencia das primitivas. Mas nao achei. > > No caso de sequencias de funcoes dadas por integrais, > eh algumas vezes mais facil provar convergencia usando > o Teorema da Convergencia Dominada, de Lerbesgue. > > Artur > > --- Bernardo Freitas Paulo da Costa > <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > > > Bom, apesar de o Cláudio ter muito bem explicado > > porque precisa da hipótese > > de convergência de f_n(u) para algum u, existe ainda > > um pouco de utilidade > > para este teorema, uma vez que ele normalmente é > > usado para provar > > convergência de funções definidas por integrais, que > > então tem todas um > > ponto comum (por exemplo, valem zero no ponto > > inicial no caso de funções > > \int_a^x g_n(t) dt) > > > > Tentando fazer uma demostração, o importante da > > convergência em um ponto da > > série f_n(u) é poder usar justamente uma idéia de > > "trocar derivada com > > integral", usando que você tem um ponto (este u > > especial) onde as séries > > coincidem no infinito (ou seja, para n > > suficientemente grande, | f_n(u) - > > f(u) | < eps/2), e do argumento de convergência das > > derivadas, você pode > > definir uma > > f(u+h) = f(u) + \int_0^h g(u+t) dt > > Daí, você deve achar algo como | f_n(u+h) - f(u+h) | > > = | \int_0^h g_n(u+t)dt > > - \int_0^h g(u+t)dt | + | f_n(u) - f(u) |. Da > > convergência uniforme das g_n, > > você tem a convergência da integral da diferença > > para zero, e portanto você > > (se quiser que f_n(u+h) -> f(u+h) ) tem que ter > > também convergência de > > f_n(u) para f(u). Repare que em geral pode ser fácil > > achar um ponto onde > > estas funções coincidem, utilizando alguma > > particularidade das funcões g_n. > > > > Abraços, > > -- > > Bernardo Freitas Paulo da Costa > > > > > > On 8/16/05, claudio.buffara > > <[EMAIL PROTECTED] > wrote: > > > > > >*De:* [EMAIL PROTECTED] > > > *Para:* "OBM-l (E-mail)" obm-l@mat.puc-rio.br > > > *Cópia:* > > >*Data:* Tue, 16 Aug 2005 11:36:41 -0300 > > > *Assunto:* [obm-l] convergencia da sequencia das > > derivadas > > > > Bom dia a todos > > > > > > > > Seja f_n uma sequencia de funcoes definidas e > > diferenciaveis em um > > > intervalo > > > > I de R. Suponhamos que a sequencia das derivadas > > f'_n convirja > > > uniformemente > > > > em I para uma funcao g. Hah um teorema que diz > > que, se a sequencia de > > > numero > > > > reais f_n(u) convergir para algum u de I, entao > > f_n converge > > > uniformemente > > > > em I para uma funcao f tal que f' = g em I. Esta > > ultima condicao eh > > > > realmente essencial? > > > Sim. Suponha que f_n: I -> R é dada por: > > > f_n(x) = x + (-1)^n. > > > Cada f_n é diferenciável e (f_n') converge > > uniformemente para a função > > > constante e igual a 1. No entanto, (f_n) não > > converge. > > > Repare que, qualquer que seja u em I, f_n(u) não > > converge. > > > Se soubermos que f'_n converge uniformemente em > > I, já > > > > podemos entao fazer alguma inferencia quanto aa > > convergencia das > > > primitivas? > > > Não, conforme o exemplo acima. > > > > Se adicionarmos a hipotese de as f'_n sao > > continuas, temos entao alguma > > > > conclusao interessante, alem de que g eh > > continua? >
Re: [obm-l] convergencia da sequencia das derivadas
; > definir uma > > > f(u+h) = f(u) + \int_0^h g(u+t) dt > > > Daí, você deve achar algo como | f_n(u+h) - > f(u+h) | > > > = | \int_0^h g_n(u+t)dt > > > - \int_0^h g(u+t)dt | + | f_n(u) - f(u) |. Da > > > convergência uniforme das g_n, > > > você tem a convergência da integral da diferença > > > para zero, e portanto você > > > (se quiser que f_n(u+h) -> f(u+h) ) tem que ter > > > também convergência de > > > f_n(u) para f(u). Repare que em geral pode ser > fácil > > > achar um ponto onde > > > estas funções coincidem, utilizando alguma > > > particularidade das funcões g_n. > > > > > > Abraços, > > > -- > > > Bernardo Freitas Paulo da Costa > > > > > > > > > On 8/16/05, claudio.buffara > > > <[EMAIL PROTECTED] > wrote: > > > > > > > >*De:* [EMAIL PROTECTED] > > > > *Para:* "OBM-l (E-mail)" > obm-l@mat.puc-rio.br > > > > *Cópia:* > > > >*Data:* Tue, 16 Aug 2005 11:36:41 -0300 > > > > *Assunto:* [obm-l] convergencia da sequencia > das > > > derivadas > > > > > Bom dia a todos > > > > > > > > > > Seja f_n uma sequencia de funcoes definidas > e > > > diferenciaveis em um > > > > intervalo > > > > > I de R. Suponhamos que a sequencia das > derivadas > > > f'_n convirja > > > > uniformemente > > > > > em I para uma funcao g. Hah um teorema que > diz > > > que, se a sequencia de > > > > numero > > > > > reais f_n(u) convergir para algum u de I, > entao > > > f_n converge > > > > uniformemente > > > > > em I para uma funcao f tal que f' = g em I. > Esta > > > ultima condicao eh > > > > > realmente essencial? > > > > Sim. Suponha que f_n: I -> R é dada por: > > > > f_n(x) = x + (-1)^n. > > > > Cada f_n é diferenciável e (f_n') converge > > > uniformemente para a função > > > > constante e igual a 1. No entanto, (f_n) não > > > converge. > > > > Repare que, qualquer que seja u em I, f_n(u) > não > > > converge. > > > > Se soubermos que f'_n converge uniformemente > em > > > I, já > > > > > podemos entao fazer alguma inferencia quanto > aa > > > convergencia das > > > > primitivas? > > > > Não, conforme o exemplo acima. > > > > > Se adicionarmos a hipotese de as f'_n sao > > > continuas, temos entao alguma > > > > > conclusao interessante, alem de que g eh > > > continua? > > > > > > > > > Não que eu saiba. É claro que f_n' contínua > ==> > > > f_n' integrável. Mas > > > > continuamos a precisar da convergência de > (f_n(u)) > > > para algum u. > > > > > Eu acho que hah um teorema que se refere ao > > > caso em que as f'_n sao > > > > > Lipschitz, mas nao sei qual eh. > > > > > > > > > Me parece que a condição de (f_n(u)) ser > > > convergente para algum u > > > > permanece necessária. > > > > []s, > > > > Claudio. > > > > > > > > > > > > > __ > > Do You Yahoo!? > > Tired of spam? Yahoo! Mail has the best spam > protection around > > http://mail.yahoo.com > > > = > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > usar a lista em > > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > > = > > > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = > Start your day with Yahoo! - make it your home page http://www.yahoo.com/r/hs = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
