Re: [obm-l] Curvas e Equações
Ué, Felipe! Nenhuma restrição de grau? De nada? Acho que não entendi sua pergunta, pois há uma infinidade de curvas que passam por quaisquer n pontos dados. Por exemplo a "curva" (x-x1)(x-x2)...(x-xn) = (y-y1)(y-y2)...(y-yn) passa pelos pontos (x1, y1), (x2, y2),...(xn, yn). Melhor ainda, passa por todos os pontos com x = qq uma das n abscissas e y = qq uma das n ordenadas dos pontos dados. Viajei? Abraços, Nehab Em 16/9/2011 11:40, luiz silva escreveu: Prezados, Alguém sabe se exsite algum teorema que defina as condições para que, dado um conjunto de n pontos (no R2, por exemplo), exsita uma equação para a curva Cx,y que passe por estes pontos. Abs Felipe
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Curvas e Equações
2011/9/16 luiz silva > Ola Bernardo, Oi Luiz, > Essa pergunta me veio a cabeça qdo vi a figura (espiral) gerada qdo partimos > do triangulo retangulo de lados 1,1 para "construir" o numero 2^(1/2), e > continuamos, construindo sucessivamente os números (3)^(1/2), 4^(1/2). Hum > Ou seja, considerando os extremos (intercessão das hipotenusas com os catetos > "externos"), existe alguma equação que defina a curva (no caso, a espiral) > que passe por todos estes pontos? Mais uma vez, seja mais "explícito" quanto ao que você considera uma equação. É claro que existe uma equação f(x,y) = 0 que é satisfeita apenas pelos pontos (x,y) que você deu. (definida por isso mesmo... e digamos 1 para todos os outros pontos). Isso não é uma função contínua, mas você não falou nada... E pedir apenas continuidade ainda não vai resolver o problema. Como você pede que a curva "passe" pelos pontos (x_n, y_n) (que eu não vou calcular), então eu imagino que você queira uma função que valha zero numa curva, e certamente existe uma equação com uma função contínua. (Digamos, uma função que vale zero nos segmentos ligando os pontos, vale um "longe" e "liga os pontos". Para que ligar seja contínuo, tem que ter um pouco de cuidado, mas não é difícil. Funções contínuas fazem "quase tudo que você quiser"). E uma vez que você conseguir fazer funções contínuas, não é difícil de fazer para funções infinitamente diferenciáveis, no seu caso... Se você quiser uma equação polinomial, não tem jeito. Porque essa espiral justamente dá infinitas voltas em torno da origem. Essencialmente porque o ângulo é arctg(1/raiz(n)), que vale aproximadamente 1/raiz(n) quando n é grande, que é uma série não-somável. Ora, se houvesse uma equação polinomial que correspondesse a esses pontos, em particular tomando Y=0 você teria um polinômio em X com infinitas raízes. Talvez possa existir alguma equação transcendente (neste caso, dada por funções analíticas) passando por esses pontos, e cujo conjunto de zeros é de dimensão 1, mas daí os argumentos que eu dei não funcionam mais. Acho que você teria que apelar para um teorema de "fatoração" de funções analíticas, e eu não sei se é fácil de adaptar a fórmula de Weierstrass (que faz produtos infinitos de (1 - x/a_n)*W(x/a_n) onde a_n são as raízes e E é uma função "mágica" para fazer o produto convergir par todos os x) para duas variáveis. Talvez seja. > ps : não sei se a figura e o problema que apresentei ficaram claros. A figura ficou. O problema continua "estranho". Eu *acho* que você gostaria de uma fórmula SIMPLES, do tipo cos(y) * sin(x) = exp(x) ^2 / exp(y)^3, e não uma simples demonstração de existência tirada do chapéu com teoremas "abstratos". Mas enquanto você não me definir o que você entende por "fórmula simples", eu não posso fazer grandes coisas... > Abs > Felipe Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Curvas e Equações
Ola Bernardo, Essa pergunta me veio a cabeça qdo vi a figura (espiral) gerada qdo partimos do triangulo retangulo de lados 1,1 para "construir" o numero 2^(1/2), e continuamos, construindo sucessivamente os números (3)^(1/2), 4^(1/2). Ou seja, considerando os extremos (intercessão das hipotenusas com os catetos "externos"), existe alguma equação que defina a curva (no caso, a espiral) que passe por todos estes pontos? ps : não sei se a figura e o problema que apresentei ficaram claros. Abs Felipe --- Em sex, 16/9/11, Bernardo Freitas Paulo da Costa escreveu: De: Bernardo Freitas Paulo da Costa Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Curvas e Equações Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Sexta-feira, 16 de Setembro de 2011, 12:59 2011/9/16 luiz silva > Prezados, > > Alguém sabe se exsite algum teorema que defina as condições para que, dado um > conjunto de n pontos (no R2, por exemplo), exsita uma equação para a curva > Cx,y que passe por estes pontos. Assim, sem nenhuma condição sobre a curva, sempre há. Agora, se você quiser que a curva seja dada por uma função polinomial em duas variáveis (tipo X^2 + XY + Y^3 = 4 X^4 Y^5 + 2 X^2 Y) daí eu acho que se você permitir um grau beeem alto (tipo igual a n-1) então existe uma curva que passará por esses pontos. Isso tem um pouco a ver com polinômios interpoladores de Lagrange, por exemplo, se todas as abscissas forem diferentes, então você consegue achar uma função Y = P(X) com P de grau <= n - 1. Em seguida, note que, como você tem um número finito de pontos, existe um número finito de retas que passam por eles. Assim, você pode conseguir uma outra reta, sobre a qual todas as projeções dos pontos são diferentes. Nesse novo sistema de coordenadas, a solução anterior te dá W = P(Z), e temos Z = aX + bY + c, W = dX + eY + f. Substituindo tudo, você chega numa equação de grau n-1 que passa por todos os pontos que você pediu. Não que essa seja a solução mais elegante, mas pelo menos ela funciona sempre. Por exemplo, usando esse método você não chegará no círculo para (0,1), (1, 0) (-1, 0) e (0, -1), mas sim numa equação de grau 3. Um teorema "ótimo" no sentido de achar o menor grau (combinado) do polinômio me parece *bastante* difícil de demonstrar... > Abs > Felipe Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Curvas e Equações
2011/9/16 Bernardo Freitas Paulo da Costa : > 2011/9/16 luiz silva >> Alguém sabe se exsite algum teorema que defina as condições para que, dado >> um conjunto de n pontos (no R2, por exemplo), exsita uma equação para a >> curva Cx,y que passe por estes pontos. > > Um teorema "ótimo" no sentido de achar o menor grau (combinado) do > polinômio me parece *bastante* difícil de demonstrar... Bom, eu fui (obviamente) pessimista demais quanto aos conhecimentos atuais sobre esse tipo de problemas. Não é difícil ver que um polinômio de grau = d em duas variáveis possui termos do tipo X^i Y^j com i+j <= d, i >= 0, j >= 0. Há, portanto, tantos termos quanto soluções de i+j+k = d, com k >= 0. (Para quem é familiar com projetiva: estamos incorporando um termo Z^k para que o polinômio fique homogêneo) E recentemente na lista a gente viu que isso dá binomial (d+2, 2) = (d+2)(d+1)/2. Ora, se multiplicarmos todos os termos da equação por a diferente de 0, o lugar dos zeros não muda (porque a*P(x) = 0 <=> P(x) = 0). Assim, os polinômios de grau d possuem (d+2)(d+1)/2 coeficientes que podemos modificar para modificar a curva que ele traça em R^2, mas temos que descontar as homotetias, ou seja, um parâmetro. Isso dá, portanto, (d^2 + 3d)/2 parâmetros possíveis, e garante que por (d^2 + 3d)/2 pontos (em posição geral) sempre passa uma curva de grau d. Se os pontos não estiverem em posição geral, talvez passe uma curva de grau *menor*. O que já é bem melhor que a minha estimativa inicial com polinômios interpoladores de Lagrange. Para quem quiser ver o que me inspirou, a primeira página de http://arxiv.org/pdf/1011.1686 não é tão difícil assim de se ler. Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Curvas e Equações
2011/9/16 luiz silva > Prezados, > > Alguém sabe se exsite algum teorema que defina as condições para que, dado um > conjunto de n pontos (no R2, por exemplo), exsita uma equação para a curva > Cx,y que passe por estes pontos. Assim, sem nenhuma condição sobre a curva, sempre há. Agora, se você quiser que a curva seja dada por uma função polinomial em duas variáveis (tipo X^2 + XY + Y^3 = 4 X^4 Y^5 + 2 X^2 Y) daí eu acho que se você permitir um grau beeem alto (tipo igual a n-1) então existe uma curva que passará por esses pontos. Isso tem um pouco a ver com polinômios interpoladores de Lagrange, por exemplo, se todas as abscissas forem diferentes, então você consegue achar uma função Y = P(X) com P de grau <= n - 1. Em seguida, note que, como você tem um número finito de pontos, existe um número finito de retas que passam por eles. Assim, você pode conseguir uma outra reta, sobre a qual todas as projeções dos pontos são diferentes. Nesse novo sistema de coordenadas, a solução anterior te dá W = P(Z), e temos Z = aX + bY + c, W = dX + eY + f. Substituindo tudo, você chega numa equação de grau n-1 que passa por todos os pontos que você pediu. Não que essa seja a solução mais elegante, mas pelo menos ela funciona sempre. Por exemplo, usando esse método você não chegará no círculo para (0,1), (1, 0) (-1, 0) e (0, -1), mas sim numa equação de grau 3. Um teorema "ótimo" no sentido de achar o menor grau (combinado) do polinômio me parece *bastante* difícil de demonstrar... > Abs > Felipe Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Curvas e Equações
Prezados, Alguém sabe se exsite algum teorema que defina as condições para que, dado um conjunto de n pontos (no R2, por exemplo), exsita uma equação para a curva Cx,y que passe por estes pontos. Abs Felipe
[obm-l] Curvas retificaveis e integraveis, particoes
Me ajudem a resolver este problema, esta no Elon de Analise, vol.2 Se f:[a,b]->R^m é diferenciável, com |f´| integrável, entao para cada natural n, existe uma P partição de [a,b] com |P|<1/n tq |f(s_i+1) - f(s_i) - f´(s_i)*(s_i+1 - s_i)|<(s_i+1 - s_i)/n para todo intervalo [s_i,s_i+1] da partição P!!! Obrigado desde ja!
[obm-l] curvas
O que significa pendente de uma curva? Vi esse termo no Demidovich (se tiver certa a escrita)... Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador do Yahoo! agora.
RE: [obm-l] curvas em R^3 (geom. diferencial)
Questao 1: Faca a expansao de f(t) em serie de Taylor em torno de t=0, f(t) = f(0) + f’(0)t + f’’(0)t^2/2! + …… Note que a partir do enunciado temos =0 o que implica (derivando em relacao a t e usando o fato que v e um vetor fixo de R^3) =0, =0,…,etc, para todo t em J. Aplicando o produto interno em ambos os lados da equacao acima, = + t + t^2/2! () + …… = 0. Portanto f(t) e ortogonal a v para todo t em J. -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of Lista OBM Sent: Thursday, September 30, 2004 3:40 AM To: [EMAIL PROTECTED] Subject: RE: [obm-l] curvas em R^3 (geom. diferencial) De fato a parte final da questão estah com o enunciado errado. Trocar "Prove que f(t) é ortogonal a f´(t) para todo t em J." por "Prove que f(t) é ortogonal a v para todo t em J." Grato desde já, Éder. 1) Sejam f: J --> R^3 uma curva parametrizada e v um vetor fixado de em R^3. Suponha que v é ortogonal a f´(t) e a f(0) para todo t em J. Prove qe f(t) é ortogonal a f´(t) para todo t em J. 2) Seja f: J --> R^3 uma curva parametrizada, com f´(t)<>0 para todo t em J. Prove que | f(t) | = cte não nula <=> f(t) é ortogonal a f´(t) para todo t em J. Grato desdes já, Éder Lopes da Silva. __ Do You Yahoo!? Tired of spam? Yahoo! Mail has the best spam protection around http://mail.yahoo.com Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora!
RE: [obm-l] curvas em R^3 (geom. diferencial)
De fato a parte final da questão estah com o enunciado errado. Trocar "Prove que f(t) é ortogonal a f´(t) para todo t em J." por "Prove que f(t) é ortogonal a v para todo t em J." Grato desde já, Éder. Leandro Lacorte Recova <[EMAIL PROTECTED]> wrote: Questao 2) ð Seja t em J. Entao, |f(t)|=k implica em |f(t)|^2 = k^2 => =k^2 Derive a ultima equacao em relação a t, 2 =0 => = 0 => f(t) é ortogonal a f(t) para todo t em J. (<,> denota o produto interno em R^3) <= A volta é imediata. Questão 1: O enunciado está correto ??? Pode conferir ??? -Original Message-From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of Lista OBMSent: Wednesday, September 29, 2004 8:54 AMTo: [EMAIL PROTECTED]Subject: [obm-l] curvas em R^3 (geom. diferencial) Gostaria que alguém me ajudasse com os exercícios abaixo: 1) Sejam f: J --> R^3 uma curva parametrizada e v um vetor fixado de em R^3. Suponha que v é ortogonal a f´(t) e a f(0) para todo t em J. Prove qe f(t) é ortogonal a f´(t) para todo t em J. 2) Seja f: J --> R^3 uma curva parametrizada, com f´(t)<>0 para todo t em J. Prove que | f(t) | = cte não nula <=> f(t) é ortogonal a f´(t) para todo t em J. Grato desdes já, Éder Lopes da Silva. __Do You Yahoo!?Tired of spam? Yahoo! Mail has the best spam protection around http://mail.yahoo.com Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora!
RE: [obm-l] curvas em R^3 (geom. diferencial)
Questao 2) ð Seja t em J. Entao, |f(t)|=k implica em |f(t)|^2 = k^2 => =k^2 Derive a ultima equacao em relação a t, 2 =0 => = 0 => f(t) é ortogonal a f’(t) para todo t em J. (<,> denota o produto interno em R^3) <= A volta é imediata. Questão 1: O enunciado está correto ??? Pode conferir ??? -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of Lista OBM Sent: Wednesday, September 29, 2004 8:54 AM To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] curvas em R^3 (geom. diferencial) Gostaria que alguém me ajudasse com os exercícios abaixo: 1) Sejam f: J --> R^3 uma curva parametrizada e v um vetor fixado de em R^3. Suponha que v é ortogonal a f´(t) e a f(0) para todo t em J. Prove qe f(t) é ortogonal a f´(t) para todo t em J. 2) Seja f: J --> R^3 uma curva parametrizada, com f´(t)<>0 para todo t em J. Prove que | f(t) | = cte não nula <=> f(t) é ortogonal a f´(t) para todo t em J. Grato desdes já, Éder Lopes da Silva. __ Do You Yahoo!? Tired of spam? Yahoo! Mail has the best spam protection around http://mail.yahoo.com
[obm-l] curvas em R^3 (geom. diferencial)
Gostaria que alguém me ajudasse com os exercícios abaixo: 1) Sejam f: J --> R^3 uma curva parametrizada e v um vetor fixado de em R^3. Suponha que v é ortogonal a f´(t) e a f(0) para todo t em J. Prove qe f(t) é ortogonal a f´(t) para todo t em J. 2) Seja f: J --> R^3 uma curva parametrizada, com f´(t)<>0 para todo t em J. Prove que | f(t) | = cte não nula <=> f(t) é ortogonal a f´(t) para todo t em J. Grato desdes já, Éder Lopes da Silva.__Do You Yahoo!?Tired of spam? Yahoo! Mail has the best spam protection around http://mail.yahoo.com
[obm-l] curvas
Quanto as curvas, vao ao endereço www.mathworld.wolfram.com/topics/Roullettes.html Divirtam-se. Eh muito bom. Morgado = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Curvas
Caro Fábio, você conhece algum site que demonstre essa relação R/r ? Um abraço. Davidson Estanislau -Mensagem Original- De: "Fabio Henrique" <[EMAIL PROTECTED]> Para: <[EMAIL PROTECTED]> Enviada em: Terça-feira, 22 de Julho de 2003 09:27 Assunto: Re: [obm-l] Curvas > O primeiro hipociclóide é formado por uma circunferência que gira > internamente a uma outra maior. Se não estou enganado, o raio da interna é a > terça parte do raio da maior. O número de vértices é igual a relação R/r, > onde R é o raio da maior (externa) e r o da menor (interna). > > > > Em 21 Jul 2003, [EMAIL PROTECTED] escreveu: > > >-- > > > > Caros amigos, as curvas abaixo possuem algum nome > >especial? Como elas são feitas? > > > > Desde já agradeço! > > > > Davidson Estanislau = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Curvas
O primeiro hipociclóide é formado por uma circunferência que gira internamente a uma outra maior. Se não estou enganado, o raio da interna é a terça parte do raio da maior. O número de vértices é igual a relação R/r, onde R é o raio da maior (externa) e r o da menor (interna). Em 21 Jul 2003, [EMAIL PROTECTED] escreveu: >-- > > Caros amigos, as curvas abaixo possuem algum nome >especial? Como elas são feitas? > > Desde já agradeço! > > Davidson Estanislau > >-- _ Voce quer um iGMail protegido contra vírus e spams? Clique aqui: http://www.igmailseguro.ig.com.br Ofertas imperdíveis! Link: http://www.americanas.com.br/ig/ Ofertas imperdíveis! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Curvas
Ambas as curvas são hipociclóides. Como disse o Dirichlet, são obtidas através do "rastro" de um ponto fixo numa circunferência pequena rodando dentro de uma maior. Só para não deixar margens a dúvidas, vale ressaltar que são circunferências tangetes internamente. A figura 1 é um hipociclóide tricúspide ou, se vc preferir, um deltóide. Possui diversas propriedades interessantes - por exemplo, a envoltória das tangentes é um outro deltóide. Tb está intimamente ligado ao desenho da elipse. Já a figura 2 especificamente eu não conheço. Se tivesse que chutar diria que não possui nenhum nome exclusivo. Contudo, certamente tem algum nome "genérico" e propriedades "genéricas". Se vc realmente estiver interesado, posso depois vasculhar meus alfarrábios para te dar maiores detalhes de como construir, propriedades, equações, curvas relacionadas, etc. Só pedir que eu venço minha preguiça :) []'s Alexandre Tessarollo -- __ Sign-up for your own FREE Personalized E-mail at Mail.com http://www.mail.com/?sr=signup CareerBuilder.com has over 400,000 jobs. Be smarter about your job search http://corp.mail.com/careers = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Curvas
Elas se parecem com hipocicloides.Pra fazer pegue um lapis e grude numa roda dentada que roda dentro de outra roda dentada. --- Davidson Estanislau <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > > Caros amigos, as curvas abaixo possuem > algum nome especial? Como elas são feitas? > > Desde já agradeço! > >Davidson Estanislau > > ___ Yahoo! Mail Mais espaço, mais segurança e gratuito: caixa postal de 6MB, antivírus, proteção contra spam. http://br.mail.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Curvas
Batize-as como "Curvas de Estanislau" - Mensagem Original De: [EMAIL PROTECTED]Para: "[EMAIL PROTECTED]" <[EMAIL PROTECTED]>Assunto: [obm-l] CurvasData: 21/07/03 11:09 Caros amigos, as curvas abaixo possuem algum nome especial? Como elas são feitas? Desde já agradeço! Davidson Estanislau B = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Curvas
Caros amigos, as curvas abaixo possuem algum nome especial? Como elas são feitas? Desde já agradeço! Davidson Estanislau <<1.gif>><<2.gif>>
[obm-l] curvas
Gente, alguém pode me ajudar a resolver os problemas 1. Sejam e uma elipse e h uma hiperbole tendo focos em comum. Mostre que e e h se cortam perpedicularmente. (alguém podria exibir uma solução usando derivadas, é pq estou tentando e não consegui) 2.Seja c:I->R^2 uma curva com segunda derivada e tq c'(t) dif de (0,0) para todo t. Suponha ainda que a aceleração normal não se anule. A evoluta de c é a curva a:I->R^2 t --> (x(t),y(t))+(1/k(t)(x'(t)^2+y'(t)^2)^(1/2))*(-y'(t),x'(t)), onde c(t)=(x(t),y(t)) e k(t) = (-y'x''+x'y'')/(x'^2+y'^2)^(3/2) (omiti t) I) Mostre que a reta tangente a a em a(t) coincide com a normal a c em c(t). valeu []'s, Marcelo _ MSN Messenger: instale grátis e converse com seus amigos. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Curvas de Bezier
Alguem poderia explicar o que é issoNão entendi para que o polinomio de Bernstein.Donde esse polinomio surgiu? ___ Busca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet http://br.busca.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] curvas elipticas e formas modulares
Oi Fernanda,
Nao entendi o seu comentario, segundo o qual formas modulares sao objetos
quadridimensionais. A definicao que eu conheco e' a seguinte:
Uma forma modular de peso 2k e' uma funcao holomorfa definida em
H={a+bi em C | b>0} que satisfaz f(z)=(cz+d)^(-2k).f((az+b)/(cz+d)) para
todos os a,b,c,d inteiros com ad-bc=1 e que e' holomorfa no infinito, no
seguinte sentido:temos f(z)=g(e^(2.Pi.i.z)) (note que, pela definicao acima,
f(z+1)=f((1.z+1)/(0.z+1))=f(z), para todo z em H), onde g se estende a uma
funcao holomorfa em {w em C| |w|<1}.
Abracos,
Gugu
>
>
>Oi pessoal,
>Se não me engano, esta relação é a relação presente na conjectura
>Tanyiama-Shimura, provada por Wiles. Se não me engano, equações elipticas
>são da forma y^2=x^3+ax^2+bx+c...qnt às formas modulares, parece-me
>impossivel imaginar ou desenhar tais formas pois elas sao
>quadridimensionais.
>Té+
>[]´s
>Fê
>
>
>
>
>
>>From: Wendel Scardua <[EMAIL PROTECTED]>
>>Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
>>To: [EMAIL PROTECTED]
>>Subject: Re: [obm-l] curvas elipticas e formas modulares
>>Date: Mon, 11 Nov 2002 15:16:39 -0200 (BRST)
>>
>>
>> > Acho que era isso, se nao for, estou aqui ainda :)
>>
>>É, acho q não era disso que ele tava falando...
>>Se não me engano (e é fácil eu me enganar : ) ele falava
>> das funções elípticas usadas, por exemplo, na demonstração
>> do Teorema de Fermat... (eu nem sei direito o q são... mas
>> acho q eram algo do tipo Y^2 = polinômio(X,Y) )
>>E funções modulares tb tinha a ver com esse teorema, mas
>>novamente, não conheço nada de nada sobre esse assunto...
>>
>>Alguém aí tem uma informação mais, 'concreta' ?
>>
>>
>> Wendel
>>
>>
>>=
>>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>>O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>
>>=
>
>
>_
>MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com
>
>=
>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>
>=
>
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>
=
Re: [obm-l] curvas elipticas e formas modulares
Po, agora q vi teu email... Valeu Paulão! Cara, eu tinha o endereço do Goro Shimura, mas tava no outro PC e deu um troço nele lah, vou ver se consigo de novo... (endereço mesmo, ele nao tem email... ;) ) Vou estudar aqui pra podermos conversar sobre isso,falou? Té+ Henrique From: "Paulo Santa Rita" <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] curvas elipticas e formas modulares Date: Mon, 11 Nov 2002 20:38:33 + Ola Fernanda e demais colegas desta lista, E isso mesmo ! E a prova da conjectura de Tanyiama-Shimura e o nucleo do trabalho do Wiles : seo ultimo Teorema de Fermat fosse falso entao haverima curvas elipticas que nao seriam modulares, que foi o que o Wiles provou. Seja Y^2=f(x) uma curva eliptica ( o nome "curva eliptica" deriva da funcao que aparece quanto se pretende retificar a elipse, no problema de Pedrayes ), a todo N natural se associal o conjunto de inteiros modulo N que satisfazem a curva. Esse conjunto e chamado conjunto M. A toda forma modular, se associa, igualmente, um conjunto de simetrias. Seja S esse conjunto. O que Wiles provou, a grosso modo e que o conjunto M e igual o conjunto S, isto e, a todo connunto de solucoes modulo N de uma curva eliptica esta associado um e somente um conjunto de simetrias de uma forma modular. Se o teorema de fermat fosse falso, haveria uma curva eliptica que nao seria modular, o que e um absurdo. Parece que ha muito poucas pessoas no Brasil que conhecem a fundo as formas modulares ... O Luiz Manoel Silva de Figueiredo, Ph em Matematica por Cambridge (1996) e um Prof-Pesquisador da UFF que forma um grupo que estuda as formas modulares e, em particular, a conjectura do Serre. O Luizinho foi orientado pelo Richard Taylor, que foi o cara que ajudou o Wiles a corrigir o erro da primeira demonstracao, aquela apresentada no Instituto Isaac Newton. O trabalho desse cara, o Luiz, e sobre a conjectura de Serre e representacoes de Galois, e uma continuacao da tese de doutorado dele. Escreve pra ele. ( talvez eu peca pra ele fazer uma exposicao aqui na lista )E um cara manero, sem frescuras ou beicinhos. Um abraco Paulo Santa Rita 2,1836,02 From: "Fernanda Medeiros" <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] curvas elipticas e formas modulares Date: Mon, 11 Nov 2002 20:14:51 + Oi pessoal, Se não me engano, esta relação é a relação presente na conjectura Tanyiama-Shimura, provada por Wiles. Se não me engano, equações elipticas são da forma y^2=x^3+ax^2+bx+c...qnt às formas modulares, parece-me impossivel imaginar ou desenhar tais formas pois elas sao quadridimensionais. Té+ []´s Fê From: Wendel Scardua <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] curvas elipticas e formas modulares Date: Mon, 11 Nov 2002 15:16:39 -0200 (BRST) > Acho que era isso, se nao for, estou aqui ainda :) É, acho q não era disso que ele tava falando... Se não me engano (e é fácil eu me enganar : ) ele falava das funções elípticas usadas, por exemplo, na demonstração do Teorema de Fermat... (eu nem sei direito o q são... mas acho q eram algo do tipo Y^2 = polinômio(X,Y) ) E funções modulares tb tinha a ver com esse teorema, mas novamente, não conheço nada de nada sobre esse assunto... Alguém aí tem uma informação mais, 'concreta' ? Wendel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> = _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> = _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> = _ Protect your PC - get McAfee.com VirusScan Online http://clinic.mcafee.com/clinic/ibuy/campaign.asp?cid=3963 ===
Re: [obm-l] curvas elipticas e formas modulares
ae fellows,valeu! de fato, a relação entre curvas elipticas e formas modulares foi apresentada por Goro Shimura (de princeton) e Yutaka Taniyama (q cometeu suicidio em 58), era a famosa conjectura taniyama-shimura. as curvas elipticas sao equações da forma y^2=x^3+ax^2+bx+c ,a,b,c inteiros,como disse a Fernanda,mas não faço a menor ideia de como se relacionam formas modulares com curvas elipticas...as formas modulares sao muito complicadas de se entender(pelo menos pra mim), talvez por isso seja ainda mais dificil ver tal associação, sei q as formas modulares exibem simetria infinita (sendo quadridimensionais), ou seja, qq movimento q se faça com elas ainda as deixarao imutaveis, acho q sao os objetos matematicos mais simetricos q existem (!) , eh muito dificil de imaginá-las; acho q fui meio infeliz qnd pedi uma definição menos abstrata... acho q todos temos (obviamente) dificuldade de entender esse universo hiperbolico (espaço hiperbolico eh o espaço quadridimensional).informações adicionais: uma forma modular eh definida por 2 eixos, ambos complexos. acho q a relação eh entre series M e series E (ou L, sei lá), mas nao sei o q eh isso...se alguem puder esclarecer... qm associou na verdade a conj. Tanyiama-Shimura ao UTF foi Gerhard Frey...outra duvida, serah q alguem pode esclarecer como Frey rearrumou a equação A^n+B^n=C^n (supondo A,B,C soluções pro UTF) pra chegar a y^2=x^3+(A^n+B^n)x^2 -A^nB^n (equação eliptica de Frey) ? dai Ken Ribet provou q a equação eliptica de Frey nao poderia ser modular, dai Wiles provou q toda equação eliptica eh modular e dai fica demonstrado o UTF! minhas duvias sao: o q sao series M e series E ? como Frey chegou a sua equação eliptica e qual a serie E da qeuação eliptica de Frey? valeu! Henrique From: "Fernanda Medeiros" <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] curvas elipticas e formas modulares Date: Mon, 11 Nov 2002 20:14:51 + Oi pessoal, Se não me engano, esta relação é a relação presente na conjectura Tanyiama-Shimura, provada por Wiles. Se não me engano, equações elipticas são da forma y^2=x^3+ax^2+bx+c...qnt às formas modulares, parece-me impossivel imaginar ou desenhar tais formas pois elas sao quadridimensionais. Té+ []´s Fê From: Wendel Scardua <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] curvas elipticas e formas modulares Date: Mon, 11 Nov 2002 15:16:39 -0200 (BRST) > Acho que era isso, se nao for, estou aqui ainda :) É, acho q não era disso que ele tava falando... Se não me engano (e é fácil eu me enganar : ) ele falava das funções elípticas usadas, por exemplo, na demonstração do Teorema de Fermat... (eu nem sei direito o q são... mas acho q eram algo do tipo Y^2 = polinômio(X,Y) ) E funções modulares tb tinha a ver com esse teorema, mas novamente, não conheço nada de nada sobre esse assunto... Alguém aí tem uma informação mais, 'concreta' ? Wendel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> = _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> = _ Add photos to your e-mail with MSN 8. Get 2 months FREE*. http://join.msn.com/?page=features/featuredemail = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] curvas elipticas e formas modulares
Ola Fernanda e demais colegas desta lista, E isso mesmo ! E a prova da conjectura de Tanyiama-Shimura e o nucleo do trabalho do Wiles : seo ultimo Teorema de Fermat fosse falso entao haverima curvas elipticas que nao seriam modulares, que foi o que o Wiles provou. Seja Y^2=f(x) uma curva eliptica ( o nome "curva eliptica" deriva da funcao que aparece quanto se pretende retificar a elipse, no problema de Pedrayes ), a todo N natural se associal o conjunto de inteiros modulo N que satisfazem a curva. Esse conjunto e chamado conjunto M. A toda forma modular, se associa, igualmente, um conjunto de simetrias. Seja S esse conjunto. O que Wiles provou, a grosso modo e que o conjunto M e igual o conjunto S, isto e, a todo connunto de solucoes modulo N de uma curva eliptica esta associado um e somente um conjunto de simetrias de uma forma modular. Se o teorema de fermat fosse falso, haveria uma curva eliptica que nao seria modular, o que e um absurdo. Parece que ha muito poucas pessoas no Brasil que conhecem a fundo as formas modulares ... O Luiz Manoel Silva de Figueiredo, Ph em Matematica por Cambridge (1996) e um Prof-Pesquisador da UFF que forma um grupo que estuda as formas modulares e, em particular, a conjectura do Serre. O Luizinho foi orientado pelo Richard Taylor, que foi o cara que ajudou o Wiles a corrigir o erro da primeira demonstracao, aquela apresentada no Instituto Isaac Newton. O trabalho desse cara, o Luiz, e sobre a conjectura de Serre e representacoes de Galois, e uma continuacao da tese de doutorado dele. Escreve pra ele. ( talvez eu peca pra ele fazer uma exposicao aqui na lista )E um cara manero, sem frescuras ou beicinhos. Um abraco Paulo Santa Rita 2,1836,02 From: "Fernanda Medeiros" <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] curvas elipticas e formas modulares Date: Mon, 11 Nov 2002 20:14:51 + Oi pessoal, Se não me engano, esta relação é a relação presente na conjectura Tanyiama-Shimura, provada por Wiles. Se não me engano, equações elipticas são da forma y^2=x^3+ax^2+bx+c...qnt às formas modulares, parece-me impossivel imaginar ou desenhar tais formas pois elas sao quadridimensionais. Té+ []´s Fê From: Wendel Scardua <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] curvas elipticas e formas modulares Date: Mon, 11 Nov 2002 15:16:39 -0200 (BRST) > Acho que era isso, se nao for, estou aqui ainda :) É, acho q não era disso que ele tava falando... Se não me engano (e é fácil eu me enganar : ) ele falava das funções elípticas usadas, por exemplo, na demonstração do Teorema de Fermat... (eu nem sei direito o q são... mas acho q eram algo do tipo Y^2 = polinômio(X,Y) ) E funções modulares tb tinha a ver com esse teorema, mas novamente, não conheço nada de nada sobre esse assunto... Alguém aí tem uma informação mais, 'concreta' ? Wendel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> = _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> = _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] curvas elipticas e formas modulares
Oi pessoal, Se não me engano, esta relação é a relação presente na conjectura Tanyiama-Shimura, provada por Wiles. Se não me engano, equações elipticas são da forma y^2=x^3+ax^2+bx+c...qnt às formas modulares, parece-me impossivel imaginar ou desenhar tais formas pois elas sao quadridimensionais. Té+ []´s Fê From: Wendel Scardua <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] curvas elipticas e formas modulares Date: Mon, 11 Nov 2002 15:16:39 -0200 (BRST) > Acho que era isso, se nao for, estou aqui ainda :) É, acho q não era disso que ele tava falando... Se não me engano (e é fácil eu me enganar : ) ele falava das funções elípticas usadas, por exemplo, na demonstração do Teorema de Fermat... (eu nem sei direito o q são... mas acho q eram algo do tipo Y^2 = polinômio(X,Y) ) E funções modulares tb tinha a ver com esse teorema, mas novamente, não conheço nada de nada sobre esse assunto... Alguém aí tem uma informação mais, 'concreta' ? Wendel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> = _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] curvas elipticas e formas modulares
Te dou uma referência. No livro "O ÚLTIMO TEOREMA DE FERMAT" Simon Singh, da Editora Record tem uma parte que explica sobre isto. Em termos históricos resumidos: - Havia o último teorema de fermat; - Os estudantes japoneses Yutaka Taniyama e Goro Shimura (este último ainda vivo) conjecturaram que para cada equação elíptica há uma forma modular correspondente; - Foi provado que se a conjectura dos japoneses estivesse certa, o último teorema de fermat seria verdadeiro. Desta feita, Andrew Wiles na verdade foi resolver a Conjectura Taniyama-Shimura e não o Último Teorema de Fermat; provando um ele provou o outro. --- Wendel Scardua <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > > > Acho que era isso, se nao for, estou aqui ainda :) > > É, acho q não era disso que ele tava falando... > Se não me engano (e é fácil eu me enganar : ) ele > falava > das funções elípticas usadas, por exemplo, na > demonstração > do Teorema de Fermat... (eu nem sei direito o q > são... mas > acho q eram algo do tipo Y^2 = polinômio(X,Y) ) > E funções modulares tb tinha a ver com esse teorema, > mas > novamente, não conheço nada de nada sobre esse > assunto... > > Alguém aí tem uma informação mais, 'concreta' ? > > > Wendel > > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é > <[EMAIL PROTECTED]> > = = JOÃO CARLOS PAREDE ___ Yahoo! GeoCities Tudo para criar o seu site: ferramentas fáceis de usar, espaço de sobra e acessórios. http://br.geocities.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] curvas elipticas e formas modulares
Por acaso as funções modulares e equação elípticas que vc quer saber são aquelas que foram provadas que são iguais (me corrigam se estiver errado) de acordo com a antiga Conjectura Taniyama-shimura que foi a sua prova que provou o Último Teorema de Fermat ou é isto que foi descrito? --- Marcelo Leitner <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > > ae, alguem sabe como se relacionam as equações > elipticas com as formas > > modulares? a proposito, alguem pode me definir nao > abstratamente formas > > modulares? segundo Eichler elas estão entre as 5 > operações basicas da > > matematica... > > falou > > Henrique > > Bom Henrique, eu acho que nao entendi muito bem, mas > acho que voce procura > saber algo como o modulo da equacao x²/25 + y²/9 = 1 > eh representado num > grafico, certo? > Se for, lembramos que a equacao de elipses e de > circunferencias nao sao > funcoes, sao equacoes, mas nao funcoes, pois para > serem funcoes elas devem > ter apenas um y p/ cada x, compreende? p/ ser funcao > nao posso ter algo como: > f(x) e ter f(1) = 1 e ao mesmo tempo f(1) = -1, como > acontece nas equacoes das > elipses. > Entao para fazer o modulo duma equacao de elipse, eu > acho que voce deveria > isolar uma das variaveis, obter as 2 funcoes que > compoe a equacao, e aplicar > o modulo em cada uma delas. Aih entao eh que voce > pode analizar alguma coisa. > Como as elipses sao simetricas em relacao ao > qualquer um dos 2 eixos > principais dela, a analize da primeira funcao serah > igual ao da segunda, entao > voce soh precisa analizar uma delas. > > Acho que era isso, se nao for, estou aqui ainda :) > []'s > -- > Marcelo R Leitner <[EMAIL PROTECTED]> > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é > <[EMAIL PROTECTED]> > = = JOÃO CARLOS PAREDE ___ Yahoo! GeoCities Tudo para criar o seu site: ferramentas fáceis de usar, espaço de sobra e acessórios. http://br.geocities.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] curvas elipticas e formas modulares
On Mon, Nov 11, 2002 at 03:16:39PM -0200, Wendel Scardua wrote: > > > Acho que era isso, se nao for, estou aqui ainda :) > > É, acho q não era disso que ele tava falando... > Se não me engano (e é fácil eu me enganar : ) ele falava > das funções elípticas usadas, por exemplo, na demonstração > do Teorema de Fermat... (eu nem sei direito o q são... mas > acho q eram algo do tipo Y^2 = polinômio(X,Y) ) > E funções modulares tb tinha a ver com esse teorema, mas > novamente, não conheço nada de nada sobre esse assunto... > > Alguém aí tem uma informação mais, 'concreta' ? ---end quoted text--- Ahm, entao como jah deu p/ notar, por enquanto isso foge do meu conhecimento hehehe malz ae :) []'s -- Marcelo R Leitner <[EMAIL PROTECTED]> = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] curvas elipticas e formas modulares
> Acho que era isso, se nao for, estou aqui ainda :) É, acho q não era disso que ele tava falando... Se não me engano (e é fácil eu me enganar : ) ele falava das funções elípticas usadas, por exemplo, na demonstração do Teorema de Fermat... (eu nem sei direito o q são... mas acho q eram algo do tipo Y^2 = polinômio(X,Y) ) E funções modulares tb tinha a ver com esse teorema, mas novamente, não conheço nada de nada sobre esse assunto... Alguém aí tem uma informação mais, 'concreta' ? Wendel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] curvas elipticas e formas modulares
> ae, alguem sabe como se relacionam as equações elipticas com as formas > modulares? a proposito, alguem pode me definir nao abstratamente formas > modulares? segundo Eichler elas estão entre as 5 operações basicas da > matematica... > falou > Henrique Bom Henrique, eu acho que nao entendi muito bem, mas acho que voce procura saber algo como o modulo da equacao x²/25 + y²/9 = 1 eh representado num grafico, certo? Se for, lembramos que a equacao de elipses e de circunferencias nao sao funcoes, sao equacoes, mas nao funcoes, pois para serem funcoes elas devem ter apenas um y p/ cada x, compreende? p/ ser funcao nao posso ter algo como: f(x) e ter f(1) = 1 e ao mesmo tempo f(1) = -1, como acontece nas equacoes das elipses. Entao para fazer o modulo duma equacao de elipse, eu acho que voce deveria isolar uma das variaveis, obter as 2 funcoes que compoe a equacao, e aplicar o modulo em cada uma delas. Aih entao eh que voce pode analizar alguma coisa. Como as elipses sao simetricas em relacao ao qualquer um dos 2 eixos principais dela, a analize da primeira funcao serah igual ao da segunda, entao voce soh precisa analizar uma delas. Acho que era isso, se nao for, estou aqui ainda :) []'s -- Marcelo R Leitner <[EMAIL PROTECTED]> = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] curvas elipticas e formas modulares
ae, alguem sabe como se relacionam as equações elipticas com as formas modulares? a proposito, alguem pode me definir nao abstratamente formas modulares? segundo Eichler elas estão entre as 5 operações basicas da matematica... falou Henrique _ Tired of spam? Get advanced junk mail protection with MSN 8. http://join.msn.com/?page=features/junkmail = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] RES: [obm-l] curvas e superfícies
Oi, Marcos, galera. Não há uma regra que funcione sempre, mas há idéias... Uma coisa que às vezes funciona: se você conseguir colocar todas as variáveis em função de uma única, use-a como parâmetro. Se você conseguir eliminar algumas variáveis e chegar a algo que você já saiba parametrizar, use isso. Neste sentido, você tem de saber algumas parametrizações clássicas (como acos(t), bsin(t) sempre que tivermos algo da forma x^2/a^2+y^2/b^2=1). Nos seus dois exemplos: >> 1-) Encontar uma parametrização para a intersecção de f(x,y) = (4x^2 + y^2)^(1/2) >> e z = 2*x + 1. Imagino que seja a intersecção entre o gráfico de f (isto é, z=sqrt(4x^2+y^2) ) e a superfície z=2x+1... Da primeira equação, z^2=4x^2+y^2. Substitua a segunda, fica 4x^2+4x+1=4x^2+y^2, isto é, 4x+1=y^2. Isto sugere que a gente parametrize tudo por y (como já temos z em função de x, z em função de y vai sair também). Então fica: y(t)=t x(t)=(y^2-1)/4=(t^2-1)/4 z(t)=2x+1=(t^2-1)/2+1=(t^2+1)/2 (t real qualquer) Note que não surgiram "soluções estranhas" quando eu elevei a primeira equação ao quadrado (z(t) é sempre positivo, como deveria ser), então esta parametrização funciona. >> 2-) Encontar uma parametrização para a intersecção de x^2 + y^2 - 2*z^2 = 1 e >> y = 2*z + 1. Note que já temos y em função de z... Se a gente conseguir uma parametrização para x e z, acabou. Substituindo a segunda equação na primeira... x^2+(4z^2+4z+1)-2z^2=1 x^2+2z^2+4z=0 Não saiu tudo em função de uma variável única Mas esta equação é a equação de uma elipse (transladada) no plano xz (mais exatamente, é um cilindro com base elíptica no espaço xyz), então a gente tem de saber parametrizar. Primeiro complete os quadrados: x^2+2(z^2+2z+1)=2 x^2+2(z+1)^2=2 x^2/2+(z+1)^2=1 Esta pode ser parametrizada assim: x(t)=sqrt(2)cos(t) z(t)=-1+sin(t) (t real ou t entre 0 e 2Pi, é a mesma curva) Agora, é fácil achar o y: y(t)=2z+1=2sin(t)-1 Em suma: x(t)=sqrt(2) cos(t) y(t)=2sin(t)-1 z(t)=sin(t)-1 t em [0,2Pi]. Abraço, Ralph = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] curvas e superfícies
Estou com dificuldade para resolver os seguintes problemas: 1-) Encontar uma parametrização para a intersecção de f(x,y) = (4x^2 + y^2)^(1/2) e z = 2*x + 1. 2-) Encontar uma parametrização para a intersecção de x^2 + y^2 - 2*z^2 = 1 e y = 2*z + 1. Eu consegui resolver alguns exercícios desse tipo meio que por "tentativa e erro", mas esses dois não deu. Gostaria de saber se existe alguma técnica para resolver exercícios desse tipo. Obrigado!Yahoo! GeoCities Tudo para criar o seu site: ferramentas fáceis de usar, espaço de sobra e acessórios.
