Obrigado Claudio. Vou olhar o livro do Elon.
Eu tive a confirmacao de que a afirmacao feita eh verdadeira. Recebi agora
uma sugestao de como prova-la.
Assim, se uma f satisfizer a f((x+y)/2) = (f(x) + f(y))/2 para todos x e y
de um intervalo aberto I e, mesmo assim, conseguir nao ser convexa, entao
esta funcao tem mesmo um comportamento terrivel. Eh ilimitada e nao eh
Lebesgue mensuravel. Acho que so se constroem funcoes que nao sejam Lebesgue
mesuraveis com uso do axioma da escolha. Para conjuntos, de fato so com o
axioma da escolha.
Artur
-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
nome de Claudio Buffara
Enviada em: sexta-feira, 30 de setembro de 2005 10:25
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] f((x+y)/2) = (f(x) + f(y))/2
on 29.09.05 15:45, Artur Costa Steiner at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Oi a todos,
Supomhamos que f seja seja definida em um intervalo aberto I e que
satisfaca
a f((x+y)/2) = (f(x) + f(y))/2 para todos x e y de I. Sabemos que se f
for
continua, entao f eh convexa em I. Sabemos tambem que se f for Lebesgue
mensuravel, entao f eh continua e, portanto, convexa.
Eu nao estou certo e ainda nao consegui chegar a uma conclusao, mas me
parece que, se alem de satisfazer aa dada equacao funcional, f for
limitada
em I, entao f eh continua e, portanto, convexa. Alguem ja tentou
demonstrar
isto? (foi-me afirmado que isto eh verdade, mesmo que I seja ilimitado).
Artur
=
Oi, Artur:
No livro Analise Real - vol. 1 do Elon ha uma secao que trata exclusivamente
de funcoes convexas e prova a maioria dos resultados basicos sobre o
assunto.
[]s,
Claudio.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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