Re: [obm-l] fracoes parciais
Sauda,c~oes,
Obrigado Gugu (como vc mesmo se assina),
vou dar uma olhada.
Agora podemos demonstrar a la Euler que
\sum_{n >= 1} 1 / (n^2 + 1) = (\pi\coth\pi - 1) / 2.
Sejam
P(z) = 1 + z^2/2 + ... + z^{2n}/(2n)!e
Q(z) = z + z^3/3! + ... + z^{2n+1}/(2n+1)! .
Observe agora que:
i) grau de P < grau de Q;
ii) Q' = P;
iii) lim P = \cosh z; lim Q = \sinh z
iv) \cosh z / \sinh z = \coth z.
v) Q tem 2n+1 raízes simples
vi) as raízes de \sinh z são ik\pi, k = 0,+-1,+-2,...
Conclua que lim P(z)/Q(z)=\coth z =
1/z + 2z [1/(z^2 + \pi^2) + 1/(z^2 + 4\pi^2) + ]
E coloque z=\pi no resultado acima.
Não é totalmente rigoroso mas é interessante.
[]'s
Luís
-Mensagem Original-
De: "Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira" <[EMAIL PROTECTED]>
Para: <[EMAIL PROTECTED]>
Enviada em: sexta-feira, 28 de março de 2003 22:47
Assunto: Re: [obm-l] fracoes parciais
> Caro Luis,
> Isso so' vale se o grau de P for menor que n, por exemplo: x/(x-1) nao
e'
> igual a 1/(x-1), como o seu enunciado implicaria...
> Seja R(x)=soma(k=1 ate' n)([P(a_k) / Q'(a_k)] . [1 / x - a_k]).
> R(x) e' uma funcao racional cujo denominador e' o produto para k variando
> entre 1 e n de (x-a_k), ou seja,Q(x). Ao multiplicarmos a soma acima por
> Q(x), obtemos um polinomio de grau menor que n. Vamos calcular o valor
desse
> polinomio em a_k: como Q(a_k) vale 0, todos os termos se anulam exceto o
> termo [P(a_k) / Q'(a_k)] . [1 / x - a_k]. O produto de Q(x) por esse termo
> e' [P(a_k) / Q'(a_k)] . [Q(x) / x - a_k]. Como, pela definicao de
derivada,
> lim(x->a_k)(Q(x)/(x-a_k))=Q'(a_k), que nao e' 0, pois a_k e' raiz simples
> de Q(x), segue que Q(x).R(x) tende a P(a_k) quando x tende a a_k, para
todo
> k. Isso mostra que Q(x).R(x)=P(x), pois a diferenca entre os dois lados e'
> um polinomio de grau menor que n que se anula nos n pontos
a_1,a_2,...,a_n.
>O item ii) e' um corolario imediato do item i).
>Abracos,
>Gugu
>
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>
=
Re: [obm-l] fracoes parciais
Caro Luis,
Isso so' vale se o grau de P for menor que n, por exemplo: x/(x-1) nao e'
igual a 1/(x-1), como o seu enunciado implicaria...
Seja R(x)=soma(k=1 ate' n)([P(a_k) / Q'(a_k)] . [1 / x - a_k]).
R(x) e' uma funcao racional cujo denominador e' o produto para k variando
entre 1 e n de (x-a_k), ou seja,Q(x). Ao multiplicarmos a soma acima por
Q(x), obtemos um polinomio de grau menor que n. Vamos calcular o valor desse
polinomio em a_k: como Q(a_k) vale 0, todos os termos se anulam exceto o
termo [P(a_k) / Q'(a_k)] . [1 / x - a_k]. O produto de Q(x) por esse termo
e' [P(a_k) / Q'(a_k)] . [Q(x) / x - a_k]. Como, pela definicao de derivada,
lim(x->a_k)(Q(x)/(x-a_k))=Q'(a_k), que nao e' 0, pois a_k e' raiz simples
de Q(x), segue que Q(x).R(x) tende a P(a_k) quando x tende a a_k, para todo
k. Isso mostra que Q(x).R(x)=P(x), pois a diferenca entre os dois lados e'
um polinomio de grau menor que n que se anula nos n pontos a_1,a_2,...,a_n.
O item ii) e' um corolario imediato do item i).
Abracos,
Gugu
>
>This is a multi-part message in MIME format.
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>
>Sauda,c~oes,
>
>Sejam P(x) e Q(x) polin=F4mios e a_k as
>(todas) n ra=EDzes simples de Q(x).
>
>Mostre que P(x) / Q(x) =3D \sum_{k=3D1}^n
>
>[P(a_k) / Q'(a_k)] . [1 / x - a_k] (*)
>
>Ou em LaTeX:
>
>\frac{P(x)}{Q(x)} =3D \sum_{k=3D1}^n
>\frac{[P(a_k)}{Q'(a_k)}\frac{1}{x - a_k}
>
>Exemplos:
>
>i)
>P(x) =3D 2x + 1
>Q(x) =3D x(x - 1)(x - 2)
>Q'(x) =3D 3x^2 - 6x + 2
>
>P(0) =3D 1; P(1) =3D 3; P(2) =3D 5
>Q'(0) =3D 2; Q'(1) =3D -1; Q'(2) =3D 2
>
>P(x) / Q(x) =3D 1/2x - 3/x-1 + 5/2(x-2)=20
>
>ii)
>
>se P(x) =3D Q'(x), ent=E3o P(x)/Q(x) =3D \sum {1 / x-a_k}.
>
>Como provar (*) ?? Ou refer=EAncias???
>
>Obrigado.
>
>[]'s
>Lu=EDs
>
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>Sauda,c~oes,
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>Sejam P(x) e Q(x) polin=F4mios e a_k as
>(todas) n ra=EDzes simples de Q(x).
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>Mostre que P(x) / Q(x) =3D =
>\sum_{k=3D1}^n
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>[P(a_k) / Q'(a_k)] . [1 / x -=20
>a_k] (*)
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>Ou em LaTeX:
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>\frac{P(x)}{Q(x)} =3D \sum_{k=3D1}^n
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>a_k}
>
>Exemplos:
>
>i)
>P(x) =3D 2x + 1
>Q(x) =3D x(x - 1)(x - 2)
>Q'(x) =3D 3x^2 - 6x + 2
>
>P(0) =3D 1; P(1) =3D 3; P(2) =3D 5
>
>Q'(0) =3D 2; Q'(1) =3D -1; Q'(2) =3D 2
>
>P(x) / Q(x) =3D 1/2x - 3/x-1 + 5/2(x-2)
>
>ii)
>
>se P(x) =3D Q'(x), ent=E3o P(x)/Q(x) =3D \sum {1 / x-a_k}.
>
>Como provar (*) ?? Ou refer=EAncias???
>
>Obrigado.
>
>[]'s
>Lu=EDs
>
>
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>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>
=
[obm-l] fracoes parciais
Sauda,c~oes,
Sejam P(x) e Q(x) polinômios e a_k as
(todas) n raízes simples de Q(x).
Mostre que P(x) / Q(x) = \sum_{k=1}^n
[P(a_k) / Q'(a_k)] . [1 / x -
a_k] (*)
Ou em LaTeX:
\frac{P(x)}{Q(x)} = \sum_{k=1}^n
\frac{[P(a_k)}{Q'(a_k)}\frac{1}{x -
a_k}
Exemplos:
i)
P(x) = 2x + 1
Q(x) = x(x - 1)(x - 2)
Q'(x) = 3x^2 - 6x + 2
P(0) = 1; P(1) = 3; P(2) = 5
Q'(0) = 2; Q'(1) = -1; Q'(2) = 2
P(x) / Q(x) = 1/2x - 3/x-1 + 5/2(x-2)
ii)
se P(x) = Q'(x), então P(x)/Q(x) = \sum {1 / x-a_k}.
Como provar (*) ?? Ou referências???
Obrigado.
[]'s
Luís
