[obm-l] limite de uma serie
Bom dia A série Soma(n>=1) ((-1)^(n-1)) * (1/sqrt(n)) eh alternada e seus termos decrescem em valor absoluto para 0, de modo que a serie eh convergente. Usando o Maple, me iformaram que seun limite eh 1 - Sqrt(2)) zeta(1/2). Como podemos provar este fato, que fornece o limite envolvendo a funcao zeta de Riemann? Obrigado Artur
Re:[obm-l] limite de uma serie
Bom dia A série Soma(n>=1) ((-1)^(n-1)) * (1/sqrt(n)) eh alternada e seus termos decrescem em valor absoluto para 0, de modo que a serie eh convergente. Usando o Maple, me iformaram que seun limite eh 1 - Sqrt(2)) zeta(1/2). Como podemos provar este fato, que fornece o limite envolvendo a funcao zeta de Riemann? == Bom , vamos la , Sabemos que a funcao zeta de riemann eh , R(z) = 1 + [1/(2^z )] + [1/(3^z )] +[1/(4^z )] + ... , para todo z da forma a +bi. Vamos ao problema , Soma(n>=1) ((-1)^(n-1)) * (1/sqrt(n)) = 1 + [(-1)/sqrt(2)] + [(1)/sqrt(3)] + [(-1)/sqrt(4)] + ... Mas repare que podemos somar e subtrair termos iguais que nao afetara a serie , Soma(n>=1) ((-1)^(n-1)) * (1/sqrt(n)) = 1 + [(-1)/sqrt(2)] + [(1)/sqrt(3)] + [(-1)/sqrt(4)] + ... = 1 + [(-2)/sqrt(2)]+ [(1)/sqrt(2)] + [(1)/sqrt(3)] + [(-2)/sqrt(4)] + [(1)/sqrt(4)] + ... , assim fazemos para todos os termos que possuem nos denominadores raizes de numeros pares. Organizando , Soma(n>=1) ((-1)^(n-1)) * (1/sqrt(n)) = 1 + [(-1)/sqrt(2)] + [(1)/sqrt(3)] + [(-1)/sqrt(4)] + ... = 1 + [(-2)/sqrt(2)]+ [(1)/sqrt(2)] + [(1)/sqrt(3)] + [(-2)/sqrt(4)] + [(1)/sqrt(4)]+ ... = {1 +[(1)/sqrt(2)] + [(1)/sqrt(3)] + [(1)/sqrt(4)]+ ...} - 2{[(1)/sqrt(2)]+[(1)/sqrt(4)]+[(1)/sqrt(6)]+ ... } A primeira parte eh a funcao zeta de riemann para z = 1/2, entao , Soma(n>=1) ((-1)^(n-1)) * (1/sqrt(n)) = R(1/2) - 2{[(1)/sqrt(2)]*[1+[(1)/sqrt(2)] + [(1)/sqrt(3)] + [(1)/sqrt(4)]+ ...]} Novamente a funcao R(1/2) aparece ,desta vez na segunda parte, Soma(n>=1) ((-1)^(n-1)) * (1/sqrt(n)) = R(1/2) - [(2)/sqrt(2)]*R(1/2) = R(1/2)*{1 - [(2)/sqrt(2)]} Abracos, Luiz H. Barbosa
RES: [obm-l] limite de uma serie
Legal, muito obrigado! Artur -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de Luiz H. BarbosaEnviada em: quarta-feira, 4 de janeiro de 2006 14:16Para: obm-lAssunto: Re:[obm-l] limite de uma serie Bom dia A série Soma(n>=1) ((-1)^(n-1)) * (1/sqrt(n)) eh alternada e seus termos decrescem em valor absoluto para 0, de modo que a serie eh convergente. Usando o Maple, me iformaram que seun limite eh 1 - Sqrt(2)) zeta(1/2). Como podemos provar este fato, que fornece o limite envolvendo a funcao zeta de Riemann? == Bom , vamos la , Sabemos que a funcao zeta de riemann eh , R(z) = 1 + [1/(2^z )] + [1/(3^z )] +[1/(4^z )] + ... , para todo z da forma a +bi. Vamos ao problema , Soma(n>=1) ((-1)^(n-1)) * (1/sqrt(n)) = 1 + [(-1)/sqrt(2)] + [(1)/sqrt(3)] + [(-1)/sqrt(4)] + ... Mas repare que podemos somar e subtrair termos iguais que nao afetara a serie , Soma(n>=1) ((-1)^(n-1)) * (1/sqrt(n)) = 1 + [(-1)/sqrt(2)] + [(1)/sqrt(3)] + [(-1)/sqrt(4)] + ... = 1 + [(-2)/sqrt(2)]+ [(1)/sqrt(2)] + [(1)/sqrt(3)] + [(-2)/sqrt(4)] + [(1)/sqrt(4)] + ... , assim fazemos para todos os termos que possuem nos denominadores raizes de numeros pares. Organizando , Soma(n>=1) ((-1)^(n-1)) * (1/sqrt(n)) = 1 + [(-1)/sqrt(2)] + [(1)/sqrt(3)] + [(-1)/sqrt(4)] + ... = 1 + [(-2)/sqrt(2)]+ [(1)/sqrt(2)] + [(1)/sqrt(3)] + [(-2)/sqrt(4)] + [(1)/sqrt(4)]+ ... = {1 +[(1)/sqrt(2)] + [(1)/sqrt(3)] + [(1)/sqrt(4)]+ ...} - 2{[(1)/sqrt(2)]+[(1)/sqrt(4)]+[(1)/sqrt(6)]+ ... } A primeira parte eh a funcao zeta de riemann para z = 1/2, entao , Soma(n>=1) ((-1)^(n-1)) * (1/sqrt(n)) = R(1/2) - 2{[(1)/sqrt(2)]*[1+[(1)/sqrt(2)] + [(1)/sqrt(3)] + [(1)/sqrt(4)]+ ...]} Novamente a funcao R(1/2) aparece ,desta vez na segunda parte, Soma(n>=1) ((-1)^(n-1)) * (1/sqrt(n)) = R(1/2) - [(2)/sqrt(2)]*R(1/2) = R(1/2)*{1 - [(2)/sqrt(2)]} Abracos, Luiz H. Barbosa