Re: [obm-l] raiz(2+raiz(2+raiz(....
Soh pra completar o que o Artur disse: a sua solucao alternativa estah correta, mas da mesma forma que antes, estah incompleta, faltando provar que a sequencia que origina os radicais encaixados converge (o que o Artur chama de "comprovacao matematica que leva aos resultados desejados") Agora, pode ser que a banca do vestibular - mesmo um puxado como o do IME - queira apenas a resposta - o valor do limite - e considere como dada a convergencia da sequencia correspondente. A questao passa, assim, a medir a engenhosidade do candidato em manipulacoes algebricas, mas nao o seu conhecimento dos fundamentos de analise matematica. Acredito que, numa prova de um curso serio de analise, a sua solucao ganharia apenas credito parcial. * Sobre o problema que voce mencionou, da equacao x^x^x^... = raiz(2), acho que dah pra provar que existe um real a tal que a sequencia (x(n)), definida por: x(1) = b; x(n+1) = b^x(n) (n >= 1) converge se e somente se b <= a (pode ser que seja b < a). Isso eh razoavel se voce considerar que a sequencia converge para 1 se b = 1 e diverge se b = 2. Logo, a deve pertencer a (1,2). Se nao me engano, a = e^(1/e) ~ 1,444667... mas nao tenho 100% de certeza... []s, Claudio. on 11.10.04 17:17, Artur Costa Steiner at [EMAIL PROTECTED] wrote: > Acho que uma resposta geral aa sua pergunta eh dificil. No caso da sequencia > que ciculou na lista, era, de fato, essencial provar que a mesma era > convergente antes de de resolvermos a equacao f(x) = x. Mas isto nao eh um > conceito "superior", eh algo basico para que estuda sequencias. > O que se costuma chamar de artificio eh um processo, envolvendo manipulacoes > algebricas, que permite resolver algum problema de forma rapida. O nome > artificio vem de artificial, o que me parece uma denominacao infeliz. Como > podemos definir o que eh natural e o que eh artificial? O importante eh que > qualquer processo tem que ser matematicamente consistente e soh pode ser > aplicado se houver comprovacao matematica de que leva aos resultados > desejados. O problema eh que algumas vezes se aplicam estes processos > chamados de artificios a situacoes e que eles nao soa validos. > Quanto a se eh possivel resolver um problema sem recorrer a a conceitos de > nivel superior, temos antes de mais nada que estabelecer o que eh conceito > de nivel superior. Eh dificil dar uma resposta geral. As vezes eh possivel, > dependendo do que se considera como superior. Por exemplo, eh possivel > demonstrar recorrendo apenas aa Algebra, sem calculo diferencial, que > trinomios do segundo grau tem um unico maximo ou um minimo, assim como eh > possivel soh com a Algebra determinar para que valor ocorre este maximo ou > minimo. Eh bem mais complicado do que com o calculo - com o qual a solucao > eh imediata -, mas eh possivel. > Mas soh com a Agebra me parece dificil mostrar que f(x) = x*e^x tem um > minimo em x=-1. > Artur > > --------- Mensagem Original > De: [EMAIL PROTECTED] > Para: "obm-l" <[EMAIL PROTECTED]> > Assunto: [obm-l] raiz(2+raiz(2+raiz( > Data: 08/10/04 19:29 > > > Para Claudio, e os amigos da lista > Há pouco tempo enviei a solução abaixo e vc disse que > soh estaria correta se soubesse que a serie realmente > convergia. Corcordei plenamente, mas por outro lado > fiquei pensando, pois esta questão e outras parecidas > com ela (tipo x^x^x... = sqrt2) são questões que jah > cairam no vestibular do ime, e a resolução apresentada > foi justamente essa por "artifíco". Pergunta existiria > uma maneira de resolvê-las sem usar conceitos de nivel > superior? > []s > > Outra soluçao: > x = sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+... (*) > Seja u = sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+... > Note que (*) pode ser reescrita como: > x = sqrt (u +2) e portanto: > x = sqrt (x + 2) > Elevando ambos os membros ao quadrado e resolv. a eq. > do segundo grau , obtemos as raizes 2 e -1. > Portanto a soluçao eh dois. > []s > > > > -- Início da mensagem original --- > > De: [EMAIL PROTECTED] > Para: "obm-l" [EMAIL PROTECTED] > Cc: > Data: Wed, 6 Oct 2004 18:18:15 -0300 > Assunto: [obm-l] raiz(2+raiz(2+raiz( > >> Seja (x(n)) a sequência definida por: >> x(1) = raiz(2) >> x(n+1) = raiz(2 + x(n)), para n >= 1. >> >> 1. (x(n)) é limitada: >> Basta provar que x(n) < 2, para todo n. >> Para n = 1 é óbvio. >> Supondo que x(n-1) < 2, teremos que x(n) = raiz(2 + x > (n-1)) < raiz(2 + 2) = 2 e acabou. >> >> 2. (x(n)) é monótona crescente: >> Obviamente os x(n) são todos positivos. >> Assim, basta mostrar que x(n+1)^2 > x(n)^2. >> Mas x(n+1)^2 - x(n)^2 = 2 + x(n) - x(n)^2 > 0 para 0 > < x(n) < 2.
Re: [obm-l] raiz(2+raiz(2+raiz(....
Acho que uma resposta geral aa sua pergunta eh dificil. No caso da sequencia que ciculou na lista, era, de fato, essencial provar que a mesma era convergente antes de de resolvermos a equacao f(x) = x. Mas isto nao eh um conceito "superior", eh algo basico para que estuda sequencias. O que se costuma chamar de artificio eh um processo, envolvendo manipulacoes algebricas, que permite resolver algum problema de forma rapida. O nome artificio vem de artificial, o que me parece uma denominacao infeliz. Como podemos definir o que eh natural e o que eh artificial? O importante eh que qualquer processo tem que ser matematicamente consistente e soh pode ser aplicado se houver comprovacao matematica de que leva aos resultados desejados. O problema eh que algumas vezes se aplicam estes processos chamados de artificios a situacoes e que eles nao soa validos. Quanto a se eh possivel resolver um problema sem recorrer a a conceitos de nivel superior, temos antes de mais nada que estabelecer o que eh conceito de nivel superior. Eh dificil dar uma resposta geral. As vezes eh possivel, dependendo do que se considera como superior. Por exemplo, eh possivel demonstrar recorrendo apenas aa Algebra, sem calculo diferencial, que trinomios do segundo grau tem um unico maximo ou um minimo, assim como eh possivel soh com a Algebra determinar para que valor ocorre este maximo ou minimo. Eh bem mais complicado do que com o calculo - com o qual a solucao eh imediata -, mas eh possivel. Mas soh com a Agebra me parece dificil mostrar que f(x) = x*e^x tem um minimo em x=-1. Artur - Mensagem Original De: [EMAIL PROTECTED] Para: "obm-l" <[EMAIL PROTECTED]> Assunto: [obm-l] raiz(2+raiz(2+raiz( Data: 08/10/04 19:29 Para Claudio, e os amigos da lista Há pouco tempo enviei a solução abaixo e vc disse que soh estaria correta se soubesse que a serie realmente convergia. Corcordei plenamente, mas por outro lado fiquei pensando, pois esta questão e outras parecidas com ela (tipo x^x^x... = sqrt2) são questões que jah cairam no vestibular do ime, e a resolução apresentada foi justamente essa por "artifíco". Pergunta existiria uma maneira de resolvê-las sem usar conceitos de nivel superior? []s Outra soluçao: x = sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+... (*) Seja u = sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+... Note que (*) pode ser reescrita como: x = sqrt (u +2) e portanto: x = sqrt (x + 2) Elevando ambos os membros ao quadrado e resolv. a eq. do segundo grau , obtemos as raizes 2 e -1. Portanto a soluçao eh dois. []s -- Início da mensagem original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: "obm-l" [EMAIL PROTECTED] Cc: Data: Wed, 6 Oct 2004 18:18:15 -0300 Assunto: [obm-l] raiz(2+raiz(2+raiz( > Seja (x(n)) a sequência definida por: > x(1) = raiz(2) > x(n+1) = raiz(2 + x(n)), para n >= 1. > > 1. (x(n)) é limitada: > Basta provar que x(n) < 2, para todo n. > Para n = 1 é óbvio. > Supondo que x(n-1) < 2, teremos que x(n) = raiz(2 + x (n-1)) < raiz(2 + 2) = 2 e acabou. > > 2. (x(n)) é monótona crescente: > Obviamente os x(n) são todos positivos. > Assim, basta mostrar que x(n+1)^2 > x(n)^2. > Mas x(n+1)^2 - x(n)^2 = 2 + x(n) - x(n)^2 > 0 para 0 < x(n) < 2. > > (1) e (2) implicam que (x(n)) converge. Seja x = lim x (n). > > Então, x^2 = 2 + x ==> x^2 - x - 2 = 0 ==> x = 2 ou x = -1. > A raiz negativa deve ser descartada pois cada x(n) é positivo. > > Assim, só pode ser lim x(n) = 2. > > []s, > Claudio. > > De:[EMAIL PROTECTED] > > Para:"obm-l" [EMAIL PROTECTED] > > Cópia: > > Data:Wed, 6 Oct 2004 16:59:33 -0300 > > Assunto:[obm-l] Re:[obm-l] Re: [obm-l] Exercício > > > > > > x = sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+... > > > > > > x^2 = 2 + sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+... > > > x^2 - 2 = sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+... > > > > > > > > > Nesta etapa aqui eh necessario a analise da convergencia de sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+... > > Certamente convergira, alguem sabe para qual numero isto converge ? > > > x^2 - 2 = x > > > x^2 - x - 2 = 0 > > > > > > __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = OPEN Internet e Informática @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] raiz(2+raiz(2+raiz(....
Para Claudio, e os amigos da lista Há pouco tempo enviei a solução abaixo e vc disse que soh estaria correta se soubesse que a serie realmente convergia. Corcordei plenamente, mas por outro lado fiquei pensando, pois esta questão e outras parecidas com ela (tipo x^x^x... = 2) são questões que jah cairam no vestibular do ime, e a resolução apresentada foi justamente essa por "artifíco". Pergunta existiria uma maneira de resolvê-las sem usar conceitos de nivel superior? []s Outra soluçao: x = sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+... (*) Seja u = sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+... Note que (*) pode ser reescrita como: x = sqrt (u +2) e portanto: x = sqrt (x + 2) Elevando ambos os membros ao quadrado e resolv. a eq. do segundo grau , obtemos as raizes 2 e -1. Portanto a soluçao eh dois. []s -- Início da mensagem original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: "obm-l" [EMAIL PROTECTED] Cc: Data: Wed, 6 Oct 2004 18:18:15 -0300 Assunto: [obm-l] raiz(2+raiz(2+raiz( > Seja (x(n)) a sequência definida por: > x(1) = raiz(2) > x(n+1) = raiz(2 + x(n)), para n >= 1. > > 1. (x(n)) é limitada: > Basta provar que x(n) < 2, para todo n. > Para n = 1 é óbvio. > Supondo que x(n-1) < 2, teremos que x(n) = raiz(2 + x (n-1)) < raiz(2 + 2) = 2 e acabou. > > 2. (x(n)) é monótona crescente: > Obviamente os x(n) são todos positivos. > Assim, basta mostrar que x(n+1)^2 > x(n)^2. > Mas x(n+1)^2 - x(n)^2 = 2 + x(n) - x(n)^2 > 0 para 0 < x(n) < 2. > > (1) e (2) implicam que (x(n)) converge. Seja x = lim x (n). > > Então, x^2 = 2 + x ==> x^2 - x - 2 = 0 ==> x = 2 ou x = -1. > A raiz negativa deve ser descartada pois cada x(n) é positivo. > > Assim, só pode ser lim x(n) = 2. > > []s, > Claudio. > > De:[EMAIL PROTECTED] > > Para:"obm-l" [EMAIL PROTECTED] > > Cópia: > > Data:Wed, 6 Oct 2004 16:59:33 -0300 > > Assunto:[obm-l] Re:[obm-l] Re: [obm-l] Exercício > > > > > > x = sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+... > > > > > > x^2 = 2 + sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+... > > > x^2 - 2 = sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+... > > > > > > > > > Nesta etapa aqui eh necessario a analise da convergencia de sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+... > > Certamente convergira, alguem sabe para qual numero isto converge ? > > > x^2 - 2 = x > > > x^2 - x - 2 = 0 > > > > > > __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] raiz(2+raiz(2+raiz(....
Para Claudio, e os amigos da lista Há pouco tempo enviei a solução abaixo e vc disse que soh estaria correta se soubesse que a serie realmente convergia. Corcordei plenamente, mas por outro lado fiquei pensando, pois esta questão e outras parecidas com ela (tipo x^x^x... = sqrt2) são questões que jah cairam no vestibular do ime, e a resolução apresentada foi justamente essa por "artifíco". Pergunta existiria uma maneira de resolvê-las sem usar conceitos de nivel superior? []s Outra soluçao: x = sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+... (*) Seja u = sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+... Note que (*) pode ser reescrita como: x = sqrt (u +2) e portanto: x = sqrt (x + 2) Elevando ambos os membros ao quadrado e resolv. a eq. do segundo grau , obtemos as raizes 2 e -1. Portanto a soluçao eh dois. []s -- Início da mensagem original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: "obm-l" [EMAIL PROTECTED] Cc: Data: Wed, 6 Oct 2004 18:18:15 -0300 Assunto: [obm-l] raiz(2+raiz(2+raiz( > Seja (x(n)) a sequência definida por: > x(1) = raiz(2) > x(n+1) = raiz(2 + x(n)), para n >= 1. > > 1. (x(n)) é limitada: > Basta provar que x(n) < 2, para todo n. > Para n = 1 é óbvio. > Supondo que x(n-1) < 2, teremos que x(n) = raiz(2 + x (n-1)) < raiz(2 + 2) = 2 e acabou. > > 2. (x(n)) é monótona crescente: > Obviamente os x(n) são todos positivos. > Assim, basta mostrar que x(n+1)^2 > x(n)^2. > Mas x(n+1)^2 - x(n)^2 = 2 + x(n) - x(n)^2 > 0 para 0 < x(n) < 2. > > (1) e (2) implicam que (x(n)) converge. Seja x = lim x (n). > > Então, x^2 = 2 + x ==> x^2 - x - 2 = 0 ==> x = 2 ou x = -1. > A raiz negativa deve ser descartada pois cada x(n) é positivo. > > Assim, só pode ser lim x(n) = 2. > > []s, > Claudio. > > De:[EMAIL PROTECTED] > > Para:"obm-l" [EMAIL PROTECTED] > > Cópia: > > Data:Wed, 6 Oct 2004 16:59:33 -0300 > > Assunto:[obm-l] Re:[obm-l] Re: [obm-l] Exercício > > > > > > x = sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+... > > > > > > x^2 = 2 + sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+... > > > x^2 - 2 = sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+... > > > > > > > > > Nesta etapa aqui eh necessario a analise da convergencia de sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+... > > Certamente convergira, alguem sabe para qual numero isto converge ? > > > x^2 - 2 = x > > > x^2 - x - 2 = 0 > > > > > > __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] raiz(2+raiz(2+raiz(....
Essa sua solucao soh estarah completa se voce provar que a sequencia: sqrt(2), sqrt(2+sqrt(2)), sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2))), ... converge. Foi isso o que eu fiz abaixo. on 06.10.04 19:25, eritotutor at [EMAIL PROTECTED] wrote: > Outra soluçao: > x = sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+... (*) > Seja u = sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+... > Note que (*) pode ser reescrita como: > x = sqrt (u +2) e portanto: > x = sqrt (x + 2) > Elevando ambos os membros ao quadrado e resolv. a eq. > do segundo grau , obtemos as raizes 2 e -1. > Portanto a soluçao eh dois. > []s > > > > -- Início da mensagem original --- > > De: [EMAIL PROTECTED] > Para: "obm-l" [EMAIL PROTECTED] > Cc: > Data: Wed, 6 Oct 2004 18:18:15 -0300 > Assunto: [obm-l] raiz(2+raiz(2+raiz( > >> Seja (x(n)) a sequência definida por: >> x(1) = raiz(2) >> x(n+1) = raiz(2 + x(n)), para n >= 1. >> >> 1. (x(n)) é limitada: >> Basta provar que x(n) < 2, para todo n. >> Para n = 1 é óbvio. >> Supondo que x(n-1) < 2, teremos que x(n) = raiz(2 + x > (n-1)) < raiz(2 + 2) = 2 e acabou. >> >> 2. (x(n)) é monótona crescente: >> Obviamente os x(n) são todos positivos. >> Assim, basta mostrar que x(n+1)^2 > x(n)^2. >> Mas x(n+1)^2 - x(n)^2 = 2 + x(n) - x(n)^2 > 0 para 0 > < x(n) < 2. >> >> (1) e (2) implicam que (x(n)) converge. Seja x = lim x > (n). >> >> Então, x^2 = 2 + x ==> x^2 - x - 2 = 0 ==> x = 2 ou x > = -1. >> A raiz negativa deve ser descartada pois cada x(n) é > positivo. >> >> Assim, só pode ser lim x(n) = 2. >> >> []s, >> Claudio. >> >> De:[EMAIL PROTECTED] >> >> Para:"obm-l" [EMAIL PROTECTED] >> >> Cópia: >> >> Data:Wed, 6 Oct 2004 16:59:33 -0300 >> >> Assunto:[obm-l] Re:[obm-l] Re: [obm-l] Exercício >> >> >> >>>> x = sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+... >>>> >>>> x^2 = 2 + sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+... >>>> x^2 - 2 = sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+... >>>> >>> >>> >>> Nesta etapa aqui eh necessario a analise da > convergencia de sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+... >>> Certamente convergira, alguem sabe para qual numero > isto converge ? >>>> x^2 - 2 = x >>>> x^2 - x - 2 = 0 >>>> >>>> > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] raiz(2+raiz(2+raiz(....
Eh interessante notar que x(n-1) = 2cos (pi / 2^n) para todo n natural, e portanto tende a 2 de fato. - Original Message - From: claudio.buffara To: obm-l Sent: Wednesday, October 06, 2004 6:18 PM Subject: [obm-l] raiz(2+raiz(2+raiz( Seja (x(n)) a sequência definida por: x(1) = raiz(2) x(n+1) = raiz(2 + x(n)), para n >= 1. 1. (x(n)) é limitada: Basta provar que x(n) < 2, para todo n. Para n = 1 é óbvio. Supondo que x(n-1) < 2, teremos que x(n) = raiz(2 + x(n-1)) < raiz(2 + 2) = 2 e acabou. 2. (x(n)) é monótona crescente: Obviamente os x(n) são todos positivos. Assim, basta mostrar que x(n+1)^2 > x(n)^2. Mas x(n+1)^2 - x(n)^2 = 2 + x(n) - x(n)^2 > 0 para 0 < x(n) < 2. (1) e (2) implicam que (x(n)) converge. Seja x = lim x(n). Então, x^2 = 2 + x ==> x^2 - x - 2 = 0 ==> x = 2 ou x = -1. A raiz negativa deve ser descartada pois cada x(n) é positivo. Assim, só pode ser lim x(n) = 2. []s, Claudio. De: [EMAIL PROTECTED] Para: "obm-l" [EMAIL PROTECTED] Cópia: Data: Wed, 6 Oct 2004 16:59:33 -0300 Assunto: [obm-l] Re:[obm-l] Re: [obm-l] Exercício > > x = sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+... > > > > x^2 = 2 + sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+... > > x^2 - 2 = sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+... > > > > > Nesta etapa aqui eh necessario a analise da convergencia de sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+... > Certamente convergira, alguem sabe para qual numero isto converge ? > > x^2 - 2 = x > > x^2 - x - 2 = 0 > > > >
[obm-l] raiz(2+raiz(2+raiz(....
Outra soluçao: x = sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+... (*) Seja u = sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+... Note que (*) pode ser reescrita como: x = sqrt (u +2) e portanto: x = sqrt (x + 2) Elevando ambos os membros ao quadrado e resolv. a eq. do segundo grau , obtemos as raizes 2 e -1. Portanto a soluçao eh dois. []s -- Início da mensagem original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: "obm-l" [EMAIL PROTECTED] Cc: Data: Wed, 6 Oct 2004 18:18:15 -0300 Assunto: [obm-l] raiz(2+raiz(2+raiz( > Seja (x(n)) a sequência definida por: > x(1) = raiz(2) > x(n+1) = raiz(2 + x(n)), para n >= 1. > > 1. (x(n)) é limitada: > Basta provar que x(n) < 2, para todo n. > Para n = 1 é óbvio. > Supondo que x(n-1) < 2, teremos que x(n) = raiz(2 + x (n-1)) < raiz(2 + 2) = 2 e acabou. > > 2. (x(n)) é monótona crescente: > Obviamente os x(n) são todos positivos. > Assim, basta mostrar que x(n+1)^2 > x(n)^2. > Mas x(n+1)^2 - x(n)^2 = 2 + x(n) - x(n)^2 > 0 para 0 < x(n) < 2. > > (1) e (2) implicam que (x(n)) converge. Seja x = lim x (n). > > Então, x^2 = 2 + x ==> x^2 - x - 2 = 0 ==> x = 2 ou x = -1. > A raiz negativa deve ser descartada pois cada x(n) é positivo. > > Assim, só pode ser lim x(n) = 2. > > []s, > Claudio. > > De:[EMAIL PROTECTED] > > Para:"obm-l" [EMAIL PROTECTED] > > Cópia: > > Data:Wed, 6 Oct 2004 16:59:33 -0300 > > Assunto:[obm-l] Re:[obm-l] Re: [obm-l] Exercício > > > > > > x = sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+... > > > > > > x^2 = 2 + sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+... > > > x^2 - 2 = sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+... > > > > > > > > > Nesta etapa aqui eh necessario a analise da convergencia de sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+... > > Certamente convergira, alguem sabe para qual numero isto converge ? > > > x^2 - 2 = x > > > x^2 - x - 2 = 0 > > > > > > __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] raiz(2+raiz(2+raiz(....
Seja (x(n)) a sequência definida por: x(1) = raiz(2) x(n+1) = raiz(2 + x(n)), para n >= 1. 1. (x(n)) é limitada: Basta provar que x(n) < 2, para todo n. Para n = 1 é óbvio. Supondo que x(n-1) < 2, teremos que x(n) = raiz(2 + x(n-1)) < raiz(2 + 2) = 2 e acabou. 2. (x(n)) é monótona crescente: Obviamente os x(n) são todos positivos. Assim, basta mostrar que x(n+1)^2 > x(n)^2. Mas x(n+1)^2 - x(n)^2 = 2 + x(n) - x(n)^2 > 0 para 0 < x(n) < 2. (1) e (2) implicam que (x(n)) converge. Seja x = lim x(n). Então, x^2 = 2 + x ==> x^2 - x - 2 = 0 ==> x = 2 ou x = -1. A raiz negativa deve ser descartada pois cada x(n) é positivo. Assim, só pode ser lim x(n) = 2. []s, Claudio. De: [EMAIL PROTECTED] Para: "obm-l" [EMAIL PROTECTED] Cópia: Data: Wed, 6 Oct 2004 16:59:33 -0300 Assunto: [obm-l] Re:[obm-l] Re: [obm-l] Exercício > > x = sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+... > > > > x^2 = 2 + sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+... > > x^2 - 2 = sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+... > > > > > Nesta etapa aqui eh necessario a analise da convergencia de sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+... > Certamente convergira, alguem sabe para qual numero isto converge ? > > x^2 - 2 = x > > x^2 - x - 2 = 0 > > > >
