RES: [obm-l] Serie convergente
Ola a todos Hah poucos dias vimos que, se a_n eh uma sequencia de termos positivo e Soma(n=1) a_n diverge, entao Soma(n=1)(a_n)/(k + a_n), k0, tambem diverge. Suponhamos agora que Soma(n=1) a_n convirja. Entao, Soma(n=1)(a_n)/(k + a_n) tambem converge. Hah uma prova bem mais simples do que aquela que eu apresentei anteriormente e que se aplicae agora a todo k0. Para todo n, temos que (a_n)/(k + a_n) = ((a_n)/k)/(1 + (a_n)/k). Como a_n 0 e k0, segue-se que ((a_n)/k)/(1 + (a_n)/k) ((a_n)/k). Considerando-se agora que Soma(n=1)(a_n)/k) converge (pois Soma(n=1)(a_n) converge), concluimos por comparacao que Soma(n=1)(a_n)/(k + a_n) converge. Constatamos tambem que Soma(n=1)(a_n)/(k + a_n) (Soma(n=1) (a_n)/k. Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Serie convergente
Ola a todos Hah poucos dias vimos que, se a_n eh uma sequencia de termos positivo e Soma(n=1) a_n diverge, entao Soma(n=1)(a_n)/(k + a_n), k0, tambem diverge. Suponhamos agora que Soma(n=1) a_n = s, s em R. Consideremos inicialmente o caso em que s=k. Seja s_n = a_1 ...+ ...a_n. Adotando um raciocinio semelhante ao que o Claudio adotou, para todo n temos s_n s. Logo, tambem para todo n=2 temos s_(n-1) + a_n = s + a_n = k + a_n. Como s_(n-1) + a_n = s_n, para n=2 temos que s_n k + a_n e, portanto, (a_n)/(k + a_n)) (a_n)/(s_n). Conforme tambem jah vimos, o fato de Soma(n=1)a_n convergir implica que Soma(a_n)/(s_n) tambem convirja. Como se tratam de series de termos positivos, concluimos entao, por comparacao, que Soma(n=1)(a_n)/(k + a_n) tembem converge. Resta agora analisar o caso s k. Nao cheguei ainda a uma conclusao. Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Serie convergente
Hah alguns dias o Claudio Buffara propos um problema interessante, cuja solucao foi aqui apresentada. Sejam a_n eh uma sequencia de termos positivos e s_n a sequencia de suas somas parciais. Se Soma(n=1) a_n diverge, entao Soma(n=1)(a_n)/(s_n) tambem diverge. Outro ponto interessante eh que a afirmacao permanece verdadeira se substituirmos diverge por converge. Mostrar isto eh outro problema bonitinho. Assim, Soma(n=1)(a_n)/(s_n) converge se, e somente se, Soma(n=1)(a_n) converge. Eh um tanto contra-intutivo, nao eh? Se soubermos que Soma(n=1)(a_n)/(s_n) converge se Soma(n=1)(a_n) converge, entao aparentemente esta conclusao seria reforcada se esta ultima serie divergisse. Mais ainda no caso em que a_n - 0. Mas nao eh o que acontece. Artur Start your day with Yahoo! - make it your home page http://www.yahoo.com/r/hs = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] serie CONvergente!
No lugart de 2 eu usei 10 mesmo...E caiu na famosa `inversos de potencias`"claudio.buffara" [EMAIL PROTECTED] wrote: Aqui vai, só pra chatear o Dirichlet: A primeira observação é que podemos trocar a base dos logaritmos de e para 2, pois 1/(n*ln(n)^r) = log_2(e)^r/(n*log_2(n)^r). Ou seja, a série com logs naturais é apenas um múltiplo constante da série com logs em base 2, de forma que ambas convergem ou ambas divergem. Tomemos as reduzidas de ordem 2^n - 1 da série com os logs na base 2: S(2^n - 1) = 1/(2*log(2)^r) + 1/(3*log(3)^r) + 1/(4*log(4)^r) + ... + 1/(7*log(7)^r) + ... 1/(2^(n-1)*log(2^(n-1))^r) + ... + 1/((2^n - 1)*log(2^n - 1)^r) 2/(2*log(2)^r) + 4/(4*log(4)^r) + ... 2^(n-1)/(2^(n-1)*log(2^(n-1))^r) = 1/log(2)^r + 1/log(4)^r + 1/log(8)^r + + 1/log(2^(n-1))^r = 1 + 1/2^r + 1/3^r + ... + 1/(n-1)^r = reduzida de ordem n-1 da série SOMA(k = 1) 1/k^r, a qual sabemos que converge (se não soubermos, basta aplicar a mesma técnica de se tomar as reduzidas de ordem 2^n - 1 e agrupar os termos convenientemente que obteremos uma série majorante geométrica de razão (2/2^r) 1 - essa sim temos certeza de que converge). []s, Claudio. De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Cópia: Data: Fri, 16 Apr 2004 00:53:14 -0300 Assunto: Re: [obm-l] serie CONvergente! Poxa Johann, não fique triste... se vc quiser pode tentar fazer essa: "Prove que a série de 1/[n.(log n)^r] converge para r1" (Só lembrando que não vale usar integrais)... boa sorte! Abraços!!! - Original Message - From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Friday, April 16, 2004 12:16 AM Subject: RE: [obm-l] serie divergente! (linda solução) Droga, eu tinha pensado nisso e corri desde o portao da USP so para escrever!!! A minha demo ficou parecida.A ideia e usar mesmo serie harmonica.De qualquer modo ta valendo vai... TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields)Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora!
Re: [obm-l] serie CONvergente!
Aqui vai, só pra chatear o Dirichlet: A primeira observação é que podemos trocar a base dos logaritmos de e para 2, pois 1/(n*ln(n)^r) = log_2(e)^r/(n*log_2(n)^r). Ou seja, a série com logs naturais é apenas um múltiplo constante da série com logs em base 2, de forma que ambas convergem ou ambas divergem. Tomemos as reduzidas de ordem 2^n - 1 da série com os logs na base 2: S(2^n - 1) = 1/(2*log(2)^r) + 1/(3*log(3)^r) + 1/(4*log(4)^r) + ... + 1/(7*log(7)^r) + ... 1/(2^(n-1)*log(2^(n-1))^r) + ... + 1/((2^n - 1)*log(2^n - 1)^r) 2/(2*log(2)^r) + 4/(4*log(4)^r) + ... 2^(n-1)/(2^(n-1)*log(2^(n-1))^r) = 1/log(2)^r + 1/log(4)^r + 1/log(8)^r + + 1/log(2^(n-1))^r = 1 + 1/2^r + 1/3^r + ... + 1/(n-1)^r = reduzida de ordem n-1 da série SOMA(k = 1) 1/k^r, a qual sabemos que converge (se não soubermos, basta aplicar a mesma técnica de se tomar as reduzidas de ordem 2^n - 1 e agrupar os termos convenientemente que obteremos uma série majorante geométrica de razão (2/2^r) 1 - essa sim temos certeza de que converge). []s, Claudio. De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Cópia: Data: Fri, 16 Apr 2004 00:53:14 -0300 Assunto: Re: [obm-l] serie CONvergente! Poxa Johann, não fique triste... se vc quiser pode tentar fazer essa: "Prove que a série de 1/[n.(log n)^r] converge para r1" (Só lembrando que não vale usar integrais)... boa sorte! Abraços!!! - Original Message - From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Friday, April 16, 2004 12:16 AM Subject: RE: [obm-l] serie divergente! (linda solução) Droga, eu tinha pensado nisso e corri desde o portao da USP so para escrever!!! A minha demo ficou parecida.A ideia e usar mesmo serie harmonica.De qualquer modo ta valendo vai...
Re: [obm-l] serie CONvergente!
Poxa Johann, não fique triste... se vc quiser pode tentar fazer essa: "Prove que a série de 1/[n.(log n)^r] converge para r1" (Só lembrando que não vale usar integrais)... boa sorte! Abraços!!! - Original Message - From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Friday, April 16, 2004 12:16 AM Subject: RE: [obm-l] serie divergente! (linda solução) Droga, eu tinha pensado nisso e corri desde o portao da USP so para escrever!!! A minha demo ficou parecida.A ideia e usar mesmo serie harmonica.De qualquer modo ta valendo vai...Thiago Ferraiol [EMAIL PROTECTED] wrote: Sem comentários... muito obrigadoPaulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] wrote: Ola "Thiago" e demaiscolegas desta lista ... OBM-L,A sua serie inicia para n=2. Claramente que :4*log(4) 2*log(2) e 4*log(4) 3*log(3). E portanto :1/(4*log(4)) + 1/(4*log(4)) 1/(2*log(2)) + 1/(3*log(3)). Logo :(1/2)*(1/log(4)) 1/(2*log(2)) + 1/(3*log(3))E Igualmente claro que :8*log(8) 4*log(4) , 8*log(8) 5*log(5) , 8*log(8) 6*log(6) e 8*log(8) 7*log(7).Invertendo e somando membro a membro, chegaremos a :(1/2)*(1/log(8)) 1/(4*log(4)) + 1/(5*log(5)) + 1/(6*log(6)) + 1/(7*log(7))Evidentemente que voce pode generalizar o passo acima, algo bastante facil. Apos isso noteque log(4) = 2*log(2), log(8)=3*log(2), ... Logo, voce podera colocar (1/2)*(1/log(2)) emevidencia. Isso vai fornecer :(1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ... )*(1/2)*(1/log(2)) 1/(2*log(2)! ! ) + 1/(3*log(3)) + ...Como 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ... diverge, entao, por comparacao, a sua serie diverge.O "jeitao" da sua serie - 1/(n*log(n)) - claramente SUGERE uma comparacao com a serie harmonica.Eis a razao de eu ter adotado este caminho. Mas existe muitos outros ...De maneira geral, se A1, A2, ... e uma PA entao 1/A1 + 1/A2 + ... diverge. Isso evidencia queem outros contextos pode ser mais conveniente usar uma outra serie divergente, tambemaritmetica, porem nao a harmonica. Um outro fato notabilissimo e que se A1, A2, ... e uma PAentao 1/A1 - 1/A2 + 1/A3 - ... converge. Assim, se mostrarmos que uma serie B1+B2+..e tal que B1 + B2 + B3 +... 1/A1 - 1/A2 + 1/A3 - ... onde A1, A2 e uma PA, entao concluimosque B1 + B2 + B3... converge.Estou falando de series de termos positivos. Os fatos acima podem ser facilmente provados e ficamcomo exerciciosPor fim, talvez mais interessante que tudo isso e verificar que que a toda Progressao AritmeticaA1, A2, A3, ... a serie 1/A1 - 1/A2 + 1/A3 - ... induz um TRIANGULO HARMONICO, isto e,caracteriza-o univocamente. Um exemplo classico e o TRIANGULO DE LEIBNIZ :11/2 1/21/3 1/6 1/31/4 1/12 1/12 1/4...Se fizermos NIC = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... entao para cada coluna existe uma sequenciaC1, C2, ... que devolve NIC, isto e, o valor caracteriza precisamente o triangulo.Um AbracoPaulo Santa Rita5,1902,150404From: Thiago Ferraiol <[EMAIL PROTECTED]>Reply-To: [EMAIL PROTECTED]To: [EMAIL PROTECTED]Subject: [obm-l] serie divergente!Date: Wed, 14 Apr 2004 20:30:58 -0300 (ART)Alguém sabe algum modo de mostrar que a série 1/(n.logn) é divergente "sem utilizar o critério da integral indefinida"???Tentei por comparação com outras séries, pelo critério! ! de Cauchy, blá blá blá... e etc...AbraçosThiago Ferraiolobs: Por integral é simples de mostrar, mas acontece que peguei o livro de análise (vol1) do Elon, e ele apresenta esse exercício antes de falar sobre integrais!_MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora! TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields) Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora!
