RE: [obm-l] teorema de dandelin
Title: Re: [obm-l] teorema de dandelin Oh! De fato! Obrigado pela correcao. Artur -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of Eduardo Wagner Sent: Monday, August 25, 2003 9:58 PM To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] teorema de dandelin Epa! Um engano na mensagem abaixo. O certo eh: a) se o plano for paralelo a uma das geratrizes obtemos uma parabola. b) se cortar apenas uma das partes do duplo cone obtemos uma elipse (ou uma circunferencia) c) se cortar as duas partes do duplo cone obtemos uma hiperbole. -- From: "Artur Costa Steiner" <[EMAIL PROTECTED]> To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] teorema de dandelin Date: Mon, Aug 25, 2003, 6:09 PM O Teorema de Dandelin eh aquela que trata das chamadas conicas, ou seja das curvas que se obtem ao se seccionar um cone reto com um plano. Se o plano for paralelo ao eixo do cone, obtemos uma parabola; se for paralelo a uma de suas geratrizes, obtemos uma hiperbole; e se cortar toda a supeficie lateral do cone, obtemos uma elipse (que eh um circulo se o plano for perpendicular ao eixo do cone). A demonstracao eh muito bonita e pode ser encontrada nos bons livros de geometria. Abracos Artur OPEN Internet @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] teorema de dandelin
Title: Re: [obm-l] teorema de dandelin Epa! Um engano na mensagem abaixo. O certo eh: a) se o plano for paralelo a uma das geratrizes obtemos uma parabola. b) se cortar apenas uma das partes do duplo cone obtemos uma elipse (ou uma circunferencia) c) se cortar as duas partes do duplo cone obtemos uma hiperbole. -- From: "Artur Costa Steiner" <[EMAIL PROTECTED]> To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] teorema de dandelin Date: Mon, Aug 25, 2003, 6:09 PM O Teorema de Dandelin eh aquela que trata das chamadas conicas, ou seja das curvas que se obtem ao se seccionar um cone reto com um plano. Se o plano for paralelo ao eixo do cone, obtemos uma parabola; se for paralelo a uma de suas geratrizes, obtemos uma hiperbole; e se cortar toda a supeficie lateral do cone, obtemos uma elipse (que eh um circulo se o plano for perpendicular ao eixo do cone). A demonstracao eh muito bonita e pode ser encontrada nos bons livros de geometria. Abracos Artur OPEN Internet @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] teorema de dandelin
Aqui tem que tomar um pouco de cuidado. É bom pensar no cone reto duplo, solução em R^3 da equação z^2=x^2 + y^2. Se o plano passa pela origem então a intersecção pode ser um dos casos: a) só 1 ponto (a origem); b) 2 retas que se cruzam na origem; c) 1 única reta; Mas esses não são os casos mais interessantes. Se o plano não passa pela origem, então a intersecção pode ser: d) elipse, quando a interseção do plano com o cone fica contido num conjunto limitado; e) uma parábola, quando o plano é paralelo a uma geratriz do cone, ou seja, a intersecção do cone duplo com o plano tem apenas 1 componente conexa; f) uma hipérbole, quando o ângulo entre o plano e o cone é tal que sua interseção possui 2 componentes conexas, uma em cada semi-espaço z>0 e z<0. Repare que esse caso inclui quando o plano é paralelo ao eixo do cone, dando também uma hipérbole. Para se ter uma idéia do porque disso, pode-se escolher um plano com equação bastante simplificada pela simetria do problema, substituí-la na equação do cone e encontrar a projeção da curva no plano xy, xz ou yz. Também precisa lembrar que transformações lineares invertíveis (no caso, as projeções) não vão mudar o tipo da cônica. Se pensarmos na solução da equação quadrática geral com 2 variáveis: ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0 então as soluções possíveis no plano são as cônicas já mencionadas, podendo ocorrer também: a) 2 retas paralelas; b) vazio; que não podem ser obtidas pela intersecção do cone duplo com um plano. Por curiosidade, alguém sabe dizer se, por definição, essas últimas soluções também são chamadas de cônicas? Um abraço. Pedro. Em Mon, 25 Aug 2003 18:09:09 -0300, Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: O Teorema de Dandelin eh aquela que trata das chamadas conicas, ou seja das curvas que se obtem ao se seccionar um cone reto com um plano. Se o plano for paralelo ao eixo do cone, obtemos uma parabola; se for paralelo a uma de suas geratrizes, obtemos uma hiperbole; e se cortar toda a supeficie lateral do cone, obtemos uma elipse (que eh um circulo se o plano for perpendicular ao eixo do cone). A demonstracao eh muito bonita e pode ser encontrada nos bons livros de geometria. Abracos Artur OPEN Internet @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- Using M2, Opera's revolutionary e-mail client: http://www.opera.com/m2/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] teorema de dandelin
Ou ainda na pagina que o Nicolau apresentou no email anterior. -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of Artur Costa Steiner Sent: Monday, August 25, 2003 2:09 PM To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] teorema de dandelin O Teorema de Dandelin eh aquela que trata das chamadas conicas, ou seja das curvas que se obtem ao se seccionar um cone reto com um plano. Se o plano for paralelo ao eixo do cone, obtemos uma parabola; se for paralelo a uma de suas geratrizes, obtemos uma hiperbole; e se cortar toda a supeficie lateral do cone, obtemos uma elipse (que eh um circulo se o plano for perpendicular ao eixo do cone). A demonstracao eh muito bonita e pode ser encontrada nos bons livros de geometria. Abracos Artur OPEN Internet @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] teorema de dandelin
O Teorema de Dandelin eh aquela que trata das chamadas conicas, ou seja das curvas que se obtem ao se seccionar um cone reto com um plano. Se o plano for paralelo ao eixo do cone, obtemos uma parabola; se for paralelo a uma de suas geratrizes, obtemos uma hiperbole; e se cortar toda a supeficie lateral do cone, obtemos uma elipse (que eh um circulo se o plano for perpendicular ao eixo do cone). A demonstracao eh muito bonita e pode ser encontrada nos bons livros de geometria. AbracosArtur OPEN Internet @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] teorema de dandelin
On Mon, Aug 25, 2003 at 03:14:14PM +, leonardo mattos wrote: > Ola pessoal, > Ha algum tempo quando vcs estavam discutindo sobre os mais belos > teoremas da matematica algumas pessoas citaram o teorema de dandelin. Oq > seria este teorema? Sera q alguem poderia explicar c possivel do q c trata? Acho que é o teorema belga, aquele que leva o Wagner a fazer os desenhos no quadro de que o Morgado falou. Se é mesmo isso, o assunto foi tratado meio tangencialmente nesta lista. O objetivo é provar que a interseção de um plano com um cone é uma das três curvas abaixo: * sejam dados dois pontos fixos F1 e F2 no plano (os focos) e um número real positivo 2c: a curva é o conjunto dos pontos P tais que a soma das distâncias PF1 e PF2 é igual a 2c; * sejam dados dois pontos fixos F1 e F2 no plano e um número real positivo 2c: a curva é o conjunto dos pontos P tais que o módulo da diferença entre as distâncias PF1 e PF2 é igual a 2c; * sejam dado um ponto fixo F (o foco) e uma reta r no plano: a curva é o conjunto dos pontos P tais que as distâncias PF e Pr são iguais. O primeiro tipo de curva se chama elipse, o segundo hipérbole e o terceiro parábola. O círculo é um caso especial de elipse (F1 = F2) e a parábola é um caso limite de elipse ou de hipérbole. Estas curvas todas são chamadas de cônicas. Imagine um cone circular reto e um plano cortando o cone em uma curva simples fechada com toda a cara de ser uma elipse: vamos provar que esta curva é mesmo uma elipse. Não é difícil ver que há duas esferas tangentes ao plano e ao cone: cada uma destas esferas tangencia o cone em um círculo inteiro que está claramente contido em um plano perpendicular ao eixo do cone. Chame os círculos de C1 e C2 e os pontos de tangência entre as esferas e o plano de F1 e F2. Seja P um ponto da interseção. A distância PF1 é igual à distância PC1 já que ambos segmentos tangenciam a esfera. Analogamente PF2 = PC2. Mas PC1 + PC2 é a distância entre os dois círculos, que é claramente constante. Os outros casos são análogos. Claro, com uma figura fica bem melhor. Toda a graça parece ser fazer isso de forma que Euclides entendesse, sem usar geometria analítica nenhuma. Usando geometria analítica, e sabendo que as curvas acima são exatamente as de grau 2, temos também a demonstração que eu dei em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.200308/msg00263.html e que repito abaixo: > Por mim a demonstração "certa" consiste em observar que o cone tem equação > de grau 2 (x^2 + y^2 = z^2) e rodar ou transladar não altera o grau. > Tomar a interseção com um plano, digamos o plano z=0, já que rodamos, > também não altera o grau (só estamos eliminando os termos que envolvem z). > Logo a interseção é uma curva de grau 2 e já sabemos o que estas curvas são. Wagner e eu já debatemos os méritos relativos das duas demonstrações. Acho que nossos pontos de vista ficaram claros nas mensagens que se seguem á minha, já citada acima. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] teorema de dandelin
Acompanhe a lista e tu veras algo sobre teoremas belgas.E a mesma coisa... -- Mensagem original -- >Ola pessoal, > Ha algum tempo quando vcs estavam discutindo sobre os mais belos >teoremas da matematica algumas pessoas citaram o teorema de dandelin. Oq > >seria este teorema? Sera q alguem poderia explicar c possivel do q c trata? > > > > Um abraço, Leonardo > >_ >MSN Messenger: converse com os seus amigos online. >http://messenger.msn.com.br > >= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >= > -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] teorema de dandelin
Ola pessoal, Ha algum tempo quando vcs estavam discutindo sobre os mais belos teoremas da matematica algumas pessoas citaram o teorema de dandelin. Oq seria este teorema? Sera q alguem poderia explicar c possivel do q c trata? Um abraço, Leonardo _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
