[obm-l] vetores e baricentro
Boa noite. Existe baricentro de um polígono? Se não. Perdoem minha ignorância. Se sim. Eis um exercício que gostaria de uma ajuda: Dado um polígono formado pelos pontos A1, A2, An. Provar que o Somatório dos vetores GAi = vetor nulo. Onde G é o baricentro do polígono. Muito obrigado Hermann
Re: [obm-l] vetores e baricentro
Bom, a minha definicao de baricentro eh vetorial: o baricentro do poligono A1A2...An eh o ponto correspondente ao vetor (A1+A2+A3+...+An)/n. Seria o centro de massa de um conjunto de n particulas de mesma massa colocadas nos vertices. Infelizmente (ou felizmente?), esta definicao eh virtualmente equivalente ao seu problema, pois as seguintes linhas sao equivalentes: SUM (G-Ai)=0 SUM G = SUM Ai nG = SUM Ai G= (SUM Ai)/n (SUM eh somatorio, i=1 a n) Ajudou? Abraco, Ralph 2010/5/11 Hermann > Boa noite. > > Existe baricentro de um polígono? > Se *não*. Perdoem minha ignorância. > Se *sim*. > Eis um exercício que gostaria de uma ajuda: > > Dado um polígono formado pelos pontos A1, A2, An. Provar que o Somatório > dos vetores GAi = vetor nulo. Onde G é o baricentro do polígono. > > Muito obrigado > Hermann >
Re: [obm-l] vetores e baricentro
Uma definição mais física seria: o baricentro é o centro de gravidade de uma figura, supondo que ela fose feita de um material homogeneo. Em 11 de maio de 2010 23:20, Ralph Teixeira escreveu: > Bom, a minha definicao de baricentro eh vetorial: o baricentro do poligono > A1A2...An eh o ponto correspondente ao vetor (A1+A2+A3+...+An)/n. Seria o > centro de massa de um conjunto de n particulas de mesma massa colocadas nos > vertices. > > Infelizmente (ou felizmente?), esta definicao eh virtualmente equivalente ao > seu problema, pois as seguintes linhas sao equivalentes: > > SUM (G-Ai)=0 > SUM G = SUM Ai > nG = SUM Ai > G= (SUM Ai)/n > (SUM eh somatorio, i=1 a n) > > Ajudou? > > Abraco, > Ralph > 2010/5/11 Hermann >> >> Boa noite. >> >> Existe baricentro de um polígono? >> Se não. Perdoem minha ignorância. >> Se sim. >> Eis um exercício que gostaria de uma ajuda: >> >> Dado um polígono formado pelos pontos A1, A2, An. Provar que o Somatório >> dos vetores GAi = vetor nulo. Onde G é o baricentro do polígono. >> >> Muito obrigado >> Hermann > -- /**/ Quadrinista e Taverneiro! http://tavernadofimdomundo.blogspot.com >> Histórias, Poemas, Quadrinhos e Afins http://baratoeletrico.blogspot.com />> Ativismo Digital (?) http://bridget-torres.blogspot.com/ >> Personal! Do not edit! = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] vetores e baricentro
Oi, Ralph e Hermann, (tô tão ausente da lista, mas com muitas saudades) Pois é Ralph: mas já andei provocando meus alunos a pensar no manjado polígono de cartolina recortado com tesoura... Coisa bem no concreto. (eu prefiro sair fora de particulas iguais nos vértices, pois acho mais natural "pensar na massa distribuída na superfície" do polígono e tentar fazê-los ver o "baricentro" como o ponto do "equilíbrio". Daí começo com o óbvio: a) Num segmento, é o ponto médio (tá bom, não é polígono); b) Num triângulo é a "sabida" interseção das medianas; c) Num quadrilátero é o ponto médio do segmento que une os pontos médios das diagonais... Ou seja, a pergunta que costumo fazer é: Dá pra gente "ver" geometricamente isto continuar? Se o polígono tem n vértices, há algum tipo de n para o qual a gente continua a achar o "equilíbrio" pensando de alguma forma nas diagonais? E nas médias de suas coordenadas (como você abordou)? No pentágono, hexagono e heptágono as coisas funcionam? Onde dá zebra? E se agora a gente for pro R^3. Num tetraedro do R^3; ou paralelepípedo no R3; etc. Abraços a todos, Nehab Ralph Teixeira escreveu: Bom, a minha definicao de baricentro eh vetorial: o baricentro do poligono A1A2...An eh o ponto correspondente ao vetor (A1+A2+A3+...+An)/n. Seria o centro de massa de um conjunto de n particulas de mesma massa colocadas nos vertices. Infelizmente (ou felizmente?), esta definicao eh virtualmente equivalente ao seu problema, pois as seguintes linhas sao equivalentes: SUM (G-Ai)=0 SUM G = SUM Ai nG = SUM Ai G= (SUM Ai)/n (SUM eh somatorio, i=1 a n) Ajudou? Abraco, Ralph 2010/5/11 HermannBoa noite. Existe baricentro de um polígono? Se não. Perdoem minha ignorância. Se sim. Eis um exercício que gostaria de uma ajuda: Dado um polígono formado pelos pontos A1, A2, An. Provar que o Somatório dos vetores GAi = vetor nulo. Onde G é o baricentro do polígono. Muito obrigado Hermann = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] vetores e baricentro
Oi, Nehab. Pensando vetorialmente, dah para pensar no baricentro de varias formas distintas... Afinal, voce pode agrupar o somatorio SUM Ai de varias maneiras... Por exemplo: -- O baricentro do hexagono A1A2...A6 eh o baricentro do triangulo cujos vertices sao os medios das diagonais A1A4, A2A5 e A3A6; -- ...alias, escolha quaisquer 3 diagonais que nao tenham vertice em comum, tome seus medios, e a propriedade acima estah valendo, o ponto eh o mesmo. -- ... se preferir, olhe os baricentros dos triangulos A1A3A5 e A2A4A6; o medio do segmento que os une tambem eh o baricentro do poligono. -- ... ou, tome o baricentro M de A1A2A3A4 e o medio N de A5A6; o baricentro divide o segmento MN na razao 4:2, isto eh, 2:1. (Imagina o noh que vai ser provar a coincidencia desses pontos sem vetores :( ) Note-se que o poligono nao precisa ser plano; a soma vetorial se comporta igualmente bem no espaco -- ou em R^4, ou :) Para heptagono, por falta de divisores de 7, teriamos que ser mais criativos... Tipo, tome o baricentro de A1A2A3 e o baricentro de A4A5A6. Tome o medio M do segmento que liga estes dois baricentros. O baricentro do heptagono A1...A7 divide o segmento MA7 na razao 1:6. (Os triangulos poderiam ser agrupados de varios jeitos) (Para quem usa softwares de Geometria Dinamica, isto dah ideia de milhoes de figurinhas legais para fazer) Abraco, Ralph. 2010/5/12 Carlos Nehab > Oi, Ralph e Hermann, > > (tô tão ausente da lista, mas com muitas saudades) > > Pois é Ralph: mas já andei provocando meus alunos a pensar no manjado > polígono de cartolina recortado com tesoura... Coisa bem no concreto. > (eu prefiro sair fora de particulas iguais nos vértices, pois acho mais > natural "pensar na massa distribuída na superfície" do polígono e tentar > fazê-los ver o "baricentro" como o ponto do "equilíbrio". > Daí começo com o óbvio: > > a) Num segmento, é o ponto médio (tá bom, não é polígono); > b) Num triângulo é a "sabida" interseção das medianas; > c) Num quadrilátero é o ponto médio do segmento que une os pontos médios > das diagonais... > > Ou seja, a pergunta que costumo fazer é: > Dá pra gente "ver" geometricamente isto continuar? Se o polígono tem n > vértices, há algum tipo de n para o qual a gente continua a achar o > "equilíbrio" pensando de alguma forma nas diagonais? E nas médias de suas > coordenadas (como você abordou)? No pentágono, hexagono e heptágono as > coisas funcionam? Onde dá zebra? > > E se agora a gente for pro R^3. Num tetraedro do R^3; ou paralelepípedo no > R3; etc. > > Abraços a todos, > Nehab > > Ralph Teixeira escreveu: > > Bom, a minha definicao de baricentro eh vetorial: o baricentro do poligono > A1A2...An eh o ponto correspondente ao vetor (A1+A2+A3+...+An)/n. Seria o > centro de massa de um conjunto de n particulas de mesma massa colocadas nos > vertices. > > Infelizmente (ou felizmente?), esta definicao eh virtualmente equivalente > ao seu problema, pois as seguintes linhas sao equivalentes: > > SUM (G-Ai)=0 > SUM G = SUM Ai > nG = SUM Ai > G= (SUM Ai)/n > (SUM eh somatorio, i=1 a n) > > Ajudou? > > Abraco, > Ralph > 2010/5/11 Hermann > >> Boa noite. >> >> Existe baricentro de um polígono? >> Se *não*. Perdoem minha ignorância. >> Se *sim*. >> Eis um exercício que gostaria de uma ajuda: >> >> Dado um polígono formado pelos pontos A1, A2, An. Provar que o Somatório >> dos vetores GAi = vetor nulo. Onde G é o baricentro do polígono. >> >> Muito obrigado >> Hermann >> > > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html=
Re: [obm-l] vetores e baricentro
O Ralph e Nehab, bom, eu vou dar uma de intrometido e tentar adivinhar o que o Nehab queria, e que o Ralph não respondeu. Talvez seja só porquê o que eu vou dizer em seguida foi (e continua sendo) uma das coisas que mais me fascina e perturba. Mas é o seguinte: Tá, ok, você (Ralph) definiu o baricentro como sendo o ponto de equilíbrio de massas pontuais no vértice de um polígono. Muito bem, essa noção é interessante, e simples, o que é fundamental para trabalhar. Mas acontece que o Nehab acha (e eu também) que uma coisa importante de um baricentro é poder "pegar o baricentro e segurar a figura sem ela se mexer". E infelizmente, ninguém vai segurar um polígono que não tem massa no centro pelo centro dele. Pelo menos não na escola, sem forças que agem à distância como a gravidade. Daí que eu acho que a idéia do Nehab é muito boa, "não, galera, o baricentro é o centro da figura plana inteira !" (leia-se com massa uniforme, é claro). Parece mais palpável, e inclusive é isso que a gente vai fazer com os polígonos, né? Mas surge um problema mais profundo: e como a gente calcula agora esse baricentro de uma infinidade de pontos? E o pior de tudo, como é que a gente prova que vai sempre dar a mesma coisa que só botar massas pontuais nos vértices? E mais grave ainda: será que essas mesmas contas continuam válidas para os sólidos (que são os únicos objetos realmente reais que existem!!!)? Indo um pouco mais a frente, surge uma outra interpretação: "e se em vez de massas pontuais - um pouco forçado, ainda mais para ser uma estrutura rígida - fosse somente o bordo do polígono?". Puxa, mais uma outra definição, que também pode ser útil, e paf, mais um problema de tentar provar que dá tudo igual... Depois que eu me acostumei com integração, isso mudou de cara, e principalmente de método. Eu sabia como fazer as contas, não precisava mais de algumas fórmulas mágicas (mesmo que na maior parte do tempo fossem elas que eu usasse, porque vai muito mais rápido!!) e me sentia capaz de resolver qualquer problema do gênero. Mas persiste o espanto que muitas dessas noções coincidam, e principalmente o fato de nem sempre coincidirem me faz pensar que talvez a gente tenha "deixado passar" alguma coisa importante... -- Bernardo Freitas Paulo da Costa P.S.: para quem é físico de corpo e alma, além de matemático, os exemplos de segurar no baricentro só funcionam se não houver momento no dito-cujo, senão mesmo que a gente segure no ponto certo, a figura vai "rodar sem perder o eixo", mas como um dedo não é como um ponto material, vai escorregar e cair. Ou então, espere dar 180° e vai ficar embaixo do dedo ;-) 2010/5/13 Ralph Teixeira : > Oi, Nehab. > > Pensando vetorialmente, dah para pensar no baricentro de varias formas > distintas... Afinal, voce pode agrupar o somatorio SUM Ai de varias > maneiras... Por exemplo: > > -- O baricentro do hexagono A1A2...A6 eh o baricentro do triangulo cujos > vertices sao os medios das diagonais A1A4, A2A5 e A3A6; > -- ...alias, escolha quaisquer 3 diagonais que nao tenham vertice em comum, > tome seus medios, e a propriedade acima estah valendo, o ponto eh o mesmo. > -- ... se preferir, olhe os baricentros dos triangulos A1A3A5 e A2A4A6; o > medio do segmento que os une tambem eh o baricentro do poligono. > -- ... ou, tome o baricentro M de A1A2A3A4 e o medio N de A5A6; o baricentro > divide o segmento MN na razao 4:2, isto eh, 2:1. > > (Imagina o noh que vai ser provar a coincidencia desses pontos sem > vetores :( ) > > Note-se que o poligono nao precisa ser plano; a soma vetorial se comporta > igualmente bem no espaco -- ou em R^4, ou :) > > Para heptagono, por falta de divisores de 7, teriamos que ser mais > criativos... Tipo, tome o baricentro de A1A2A3 e o baricentro de A4A5A6. > Tome o medio M do segmento que liga estes dois baricentros. O baricentro do > heptagono A1...A7 divide o segmento MA7 na razao 1:6. (Os triangulos > poderiam ser agrupados de varios jeitos) > > (Para quem usa softwares de Geometria Dinamica, isto dah ideia de milhoes de > figurinhas legais para fazer) > > Abraco, Ralph. > > 2010/5/12 Carlos Nehab >> >> Oi, Ralph e Hermann, >> >> (tô tão ausente da lista, mas com muitas saudades) >> >> Pois é Ralph: mas já andei provocando meus alunos a pensar no manjado >> polígono de cartolina recortado com tesoura... Coisa bem no concreto. >> (eu prefiro sair fora de particulas iguais nos vértices, pois acho mais >> natural "pensar na massa distribuída na superfície" do polígono e tentar >> fazê-los ver o "baricentro" como o ponto do "equilíbrio". >> Daí começo com o óbvio: >> >> a) Num segmento, é o ponto médio (tá bom, não é polígono); >> b) Num triângulo é a "sabida" interseção das medianas; >> c) Num quadrilátero é o ponto médio do segmento que une os pontos médios >> das diagonais... >> >> Ou seja, a pergunta que costumo fazer é: >> Dá pra gente "ver" geometricamente isto continuar? Se o polígono tem n >> vértices, há algum tipo de n para o qual a gente continua
Re: [obm-l] vetores e baricentro
Bom, ok, neste caso: vale a pena notar que as diferentes nocoes de baricentro que o Bernardo mencionou NAO sao identicas. Por exemplo, tome um triangulo retangulo isosceles ABC, hipotenusa BC. O baricentro que eu gosto de usar eh o centro de massa "dos vertices", que neste caso coincide com o centro de massa do "interior do triangulo". Mas o centro de massa "do perimetro" eh outro! Afinal, os medios de AB e AC entram com peso 1, mas o medio de BC entra com peso raiz(2)... No espaco, ha outros problemas. Dado o poligono ABCD, o centro de massa dos vertices seria (A+B+C+D)/4; o do "perimetro" fica em outro lugar que depende um pouco mais dos comprimentos dos lados. E o do "interior 2D do poligono" nem estah definido, porque nao eh claro quais sao as "faces 2D do poligono ABCD". Enfim, tem o centro de massa do tetraedro ABCD, este sim que coincide com o centro de massa dos vertices; se eu entendi bem, era deste tipo de surpresa que o Bernardo falava. Entao, em suma, concordo com o Nehab e o Bernardo: pensar nessas coisas eh bem instigante e divertido... :) Abraco, Ralph. P.S.: mesmo no caso 2D, quando o poligono nao eh convexo, o centro de massa pode ficar fora do interior do poligono, entao aas vezes a gente vai ter que "segurar o poligono pelo ponto sem massa" de qualquer jeito... :) 2010/5/13 Bernardo Freitas Paulo da Costa > O Ralph e Nehab, > > bom, eu vou dar uma de intrometido e tentar adivinhar o que o Nehab > queria, e que o Ralph não respondeu. Talvez seja só porquê o que eu > vou dizer em seguida foi (e continua sendo) uma das coisas que mais me > fascina e perturba. Mas é o seguinte: > > Tá, ok, você (Ralph) definiu o baricentro como sendo o ponto de > equilíbrio de massas pontuais no vértice de um polígono. Muito bem, > essa noção é interessante, e simples, o que é fundamental para > trabalhar. Mas acontece que o Nehab acha (e eu também) que uma coisa > importante de um baricentro é poder "pegar o baricentro e segurar a > figura sem ela se mexer". E infelizmente, ninguém vai segurar um > polígono que não tem massa no centro pelo centro dele. Pelo menos não > na escola, sem forças que agem à distância como a gravidade. Daí que > eu acho que a idéia do Nehab é muito boa, "não, galera, o baricentro é > o centro da figura plana inteira !" (leia-se com massa uniforme, é > claro). Parece mais palpável, e inclusive é isso que a gente vai fazer > com os polígonos, né? Mas surge um problema mais profundo: e como a > gente calcula agora esse baricentro de uma infinidade de pontos? E o > pior de tudo, como é que a gente prova que vai sempre dar a mesma > coisa que só botar massas pontuais nos vértices? E mais grave ainda: > será que essas mesmas contas continuam válidas para os sólidos (que > são os únicos objetos realmente reais que existem!!!)? Indo um pouco > mais a frente, surge uma outra interpretação: "e se em vez de massas > pontuais - um pouco forçado, ainda mais para ser uma estrutura rígida > - fosse somente o bordo do polígono?". Puxa, mais uma outra definição, > que também pode ser útil, e paf, mais um problema de tentar provar que > dá tudo igual... > > Depois que eu me acostumei com integração, isso mudou de cara, e > principalmente de método. Eu sabia como fazer as contas, não precisava > mais de algumas fórmulas mágicas (mesmo que na maior parte do tempo > fossem elas que eu usasse, porque vai muito mais rápido!!) e me sentia > capaz de resolver qualquer problema do gênero. Mas persiste o espanto > que muitas dessas noções coincidam, e principalmente o fato de nem > sempre coincidirem me faz pensar que talvez a gente tenha "deixado > passar" alguma coisa importante... > > -- > Bernardo Freitas Paulo da Costa > > P.S.: para quem é físico de corpo e alma, além de matemático, os > exemplos de segurar no baricentro só funcionam se não houver momento > no dito-cujo, senão mesmo que a gente segure no ponto certo, a figura > vai "rodar sem perder o eixo", mas como um dedo não é como um ponto > material, vai escorregar e cair. Ou então, espere dar 180° e vai ficar > embaixo do dedo ;-) > > 2010/5/13 Ralph Teixeira : > > Oi, Nehab. > > > > Pensando vetorialmente, dah para pensar no baricentro de varias formas > > distintas... Afinal, voce pode agrupar o somatorio SUM Ai de varias > > maneiras... Por exemplo: > > > > -- O baricentro do hexagono A1A2...A6 eh o baricentro do triangulo cujos > > vertices sao os medios das diagonais A1A4, A2A5 e A3A6; > > -- ...alias, escolha quaisquer 3 diagonais que nao tenham vertice em > comum, > > tome seus medios, e a propriedade acima estah valendo, o ponto eh o > mesmo. > > -- ... se preferir, olhe os baricentros dos triangulos A1A3A5 e A2A4A6; o > > medio do segmento que os une tambem eh o baricentro do poligono. > > -- ... ou, tome o baricentro M de A1A2A3A4 e o medio N de A5A6; o > baricentro > > divide o segmento MN na razao 4:2, isto eh, 2:1. > > > > (Imagina o noh que vai ser provar a coincidencia desses pontos sem > > vetores :( ) > > > > Note-
Re: [obm-l] vetores e baricentro
Oi, Ralph e Bernardo e demais colegas da Lista, Ficou legal esta história e aí eu resolvi conversar com meu melhor amigo (que também é craque nestas coisas, como vocês) e fomos adiante. Mas antes, uma palavrinha de esclarecimento: meu conhecimento de Análise Real / etc circunscrito a poucos mas ótimos cursos/livros: um curso de Análise com o Elon e de Análise Funcional com o João Bosco Prolla (em 1969) - não foi erro de digitação não... (lá no Impa da Praça Tiradentes); outro baseado no Diedonné com o Barbosa na UFF (ele era prof de Lógica e outros delírios no IME e depois foi Reitor da UFF); outro curso muito interessante foi com o Luis Oswaldo, uma figuraça, baseado no livro Irrational Numbers (do Niven). Portanto, no Parque dos Dinossauros VII, farei uma pontinha... Depois andei perturbando a cabeça de algumas turmas do IME com o Burbaki (Theory of Sets) e o Kitchens (cálculo para a galera do 1 ano básico lá no IME). Feitas estas ressalvas, talvez fique claro que minha paixão e competência são maiores na arte de ensinar do que na arte de resolver problemas, e me delicio com as soluções geniais que rolam por ai. Mas confesso que minha praia é "como ensinar determinado tópico de forma mais esclarecedora e/ou facilitar o processo de amadurecimento matemático dos meninos...". Ai vão portanto duas questões, onde a primeira eu penso que sei a resposta completa, mas a segunda não tenho a menor idéia. a) O Conjunto de Cantor (e seus "derivados", como o triângulo de Sierpinski e o Floco de Neve de Koch) por exemplo, possuem quais dos "centros de equilíbrio" que foram discutidos? b) Será que dá para exibir algum conjunto em R2, limitado e sem centro de gravidade (seja lá em qualquer uma das definições discutidas) ? Será que tal conjunto tem que ser MUITO sinistro? Abração a vocês Nehab Ralph Teixeira escreveu: Bom, ok, neste caso: vale a pena notar que as diferentes nocoes de baricentro que o Bernardo mencionou NAO sao identicas. Por exemplo, tome um triangulo retangulo isosceles ABC, hipotenusa BC. O baricentro que eu gosto de usar eh o centro de massa "dos vertices", que neste caso coincide com o centro de massa do "interior do triangulo". Mas o centro de massa "do perimetro" eh outro! Afinal, os medios de AB e AC entram com peso 1, mas o medio de BC entra com peso raiz(2)... No espaco, ha outros problemas. Dado o poligono ABCD, o centro de massa dos vertices seria (A+B+C+D)/4; o do "perimetro" fica em outro lugar que depende um pouco mais dos comprimentos dos lados. E o do "interior 2D do poligono" nem estah definido, porque nao eh claro quais sao as "faces 2D do poligono ABCD". Enfim, tem o centro de massa do tetraedro ABCD, este sim que coincide com o centro de massa dos vertices; se eu entendi bem, era deste tipo de surpresa que o Bernardo falava. Entao, em suma, concordo com o Nehab e o Bernardo: pensar nessas coisas eh bem instigante e divertido... :) Abraco, Ralph. P.S.: mesmo no caso 2D, quando o poligono nao eh convexo, o centro de massa pode ficar fora do interior do poligono, entao aas vezes a gente vai ter que "segurar o poligono pelo ponto sem massa" de qualquer jeito... :) 2010/5/13 Bernardo Freitas Paulo da CostaO Ralph e Nehab, bom, eu vou dar uma de intrometido e tentar adivinhar o que o Nehab queria, e que o Ralph não respondeu. Talvez seja só porquê o que eu vou dizer em seguida foi (e continua sendo) uma das coisas que mais me fascina e perturba. Mas é o seguinte: Tá, ok, você (Ralph) definiu o baricentro como sendo o ponto de equilíbrio de massas pontuais no vértice de um polígono. Muito bem, essa noção é interessante, e simples, o que é fundamental para trabalhar. Mas acontece que o Nehab acha (e eu também) que uma coisa importante de um baricentro é poder "pegar o baricentro e segurar a figura sem ela se mexer". E infelizmente, ninguém vai segurar um polígono que não tem massa no centro pelo centro dele. Pelo menos não na escola, sem forças que agem à distância como a gravidade. Daí que eu acho que a idéia do Nehab é muito boa, "não, galera, o baricentro é o centro da figura plana inteira !" (leia-se com massa uniforme, é claro). Parece mais palpável, e inclusive é isso que a gente vai fazer com os polígonos, né? Mas surge um problema mais profundo: e como a gente calcula agora esse baricentro de uma infinidade de pontos? E o pior de tudo, como é que a gente prova que vai sempre dar a mesma coisa que só botar massas pontuais nos vértices? E mais grave ainda: será que essas mesmas contas continuam válidas para os sólidos (que são os únicos objetos realmente reais que existem!!!)? Indo um pouco mais a frente, surge uma outra interpretação: "e se em vez de massas pontuais - um pouco forçado, ainda mais para ser uma estrutura rígida - fosse somente o bordo do polígono?". Puxa, mais uma outra definição, que também pode ser útil, e paf, mais um problema de tentar provar que dá tudo igual... Depo
Re: [obm-l] vetores e baricentro [Quase off-topic]
Oi, Bernardo Caramba: você leu meus pensamentos ! Pegar o baricentro! Você tocou no ponto e na alma e este é um dos aspectos mais fascinantes desta Lista. "Vários olhares sobre uma mesma questão". E de intrometido não tem nada, pois me é extremamente prazeroso ler suas intervenções na lista. Elas me fascinam, são cuidadosas e acolhedoras. E de fato, às vezes eu lanço apenas um idéia vinculada a "como ensinar determinada geringonça de outra forma", sem necessariamente ser um problema a resolver. Como se eu estivesse escrevendo um pensamento. Quanto à interpretação de usar a borda (que também adoro) a gente tem algumas surpresas: já postei na Lista o caso do triângulo e, pasme, o eleito é o incentro - caso a densidade linear seja uniforme e a mesma nos 3 lados do triângulo. Não acho muito intuitivo não, mas lembro que o Rogério Ponce (amigo de longa data) adorou o problema na época. Grande abraço, Nehab Bernardo Freitas Paulo da Costa escreveu: O Ralph e Nehab, bom, eu vou dar uma de intrometido e tentar adivinhar o que o Nehab queria, e que o Ralph não respondeu. Talvez seja só porquê o que eu vou dizer em seguida foi (e continua sendo) uma das coisas que mais me fascina e perturba. Mas é o seguinte: Tá, ok, você (Ralph) definiu o baricentro como sendo o ponto de equilíbrio de massas pontuais no vértice de um polígono. Muito bem, essa noção é interessante, e simples, o que é fundamental para trabalhar. Mas acontece que o Nehab acha (e eu também) que uma coisa importante de um baricentro é poder "pegar o baricentro e segurar a figura sem ela se mexer". E infelizmente, ninguém vai segurar um polígono que não tem massa no centro pelo centro dele. Pelo menos não na escola, sem forças que agem à distância como a gravidade. Daí que eu acho que a idéia do Nehab é muito boa, "não, galera, o baricentro é o centro da figura plana inteira !" (leia-se com massa uniforme, é claro). Parece mais palpável, e inclusive é isso que a gente vai fazer com os polígonos, né? Mas surge um problema mais profundo: e como a gente calcula agora esse baricentro de uma infinidade de pontos? E o pior de tudo, como é que a gente prova que vai sempre dar a mesma coisa que só botar massas pontuais nos vértices? E mais grave ainda: será que essas mesmas contas continuam válidas para os sólidos (que são os únicos objetos realmente reais que existem!!!)? Indo um pouco mais a frente, surge uma outra interpretação: "e se em vez de massas pontuais - um pouco forçado, ainda mais para ser uma estrutura rígida - fosse somente o bordo do polígono?". Puxa, mais uma outra definição, que também pode ser útil, e paf, mais um problema de tentar provar que dá tudo igual... Depois que eu me acostumei com integração, isso mudou de cara, e principalmente de método. Eu sabia como fazer as contas, não precisava mais de algumas fórmulas mágicas (mesmo que na maior parte do tempo fossem elas que eu usasse, porque vai muito mais rápido!!) e me sentia capaz de resolver qualquer problema do gênero. Mas persiste o espanto que muitas dessas noções coincidam, e principalmente o fato de nem sempre coincidirem me faz pensar que talvez a gente tenha "deixado passar" alguma coisa importante... = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =