[obm-l] vetores e baricentro

[Hermann]

Boa noite.

Existe baricentro de um polígono? 
Se não. Perdoem minha ignorância.
Se sim. 
Eis um exercício que gostaria de uma ajuda:

Dado um polígono formado pelos pontos A1, A2, An. Provar que o Somatório dos 
vetores GAi = vetor nulo. Onde G é o baricentro do polígono.

Muito obrigado
Hermann

Re: [obm-l] vetores e baricentro

[Ralph Teixeira]

Bom, a minha definicao de baricentro eh vetorial: o baricentro do poligono
A1A2...An eh o ponto correspondente ao vetor (A1+A2+A3+...+An)/n. Seria o
centro de massa de um conjunto de n particulas de mesma massa colocadas nos
vertices.

Infelizmente (ou felizmente?), esta definicao eh virtualmente equivalente ao
seu problema, pois as seguintes linhas sao equivalentes:

SUM (G-Ai)=0
SUM G = SUM Ai
nG = SUM Ai
G= (SUM Ai)/n
(SUM eh somatorio, i=1 a n)

Ajudou?

Abraco,
Ralph
2010/5/11 Hermann 

>  Boa noite.
>
> Existe baricentro de um polígono?
> Se *não*. Perdoem minha ignorância.
> Se *sim*.
> Eis um exercício que gostaria de uma ajuda:
>
> Dado um polígono formado pelos pontos A1, A2, An. Provar que o Somatório
> dos vetores GAi = vetor nulo. Onde G é o baricentro do polígono.
>
> Muito obrigado
> Hermann
>

Re: [obm-l] vetores e baricentro

[Johann Dirichlet]

Uma definição mais física seria: o baricentro é o centro de gravidade
de uma figura, supondo que ela fose feita de um material homogeneo.

Em 11 de maio de 2010 23:20, Ralph Teixeira  escreveu:
> Bom, a minha definicao de baricentro eh vetorial: o baricentro do poligono
> A1A2...An eh o ponto correspondente ao vetor (A1+A2+A3+...+An)/n. Seria o
> centro de massa de um conjunto de n particulas de mesma massa colocadas nos
> vertices.
>
> Infelizmente (ou felizmente?), esta definicao eh virtualmente equivalente ao
> seu problema, pois as seguintes linhas sao equivalentes:
>
> SUM (G-Ai)=0
> SUM G = SUM Ai
> nG = SUM Ai
> G= (SUM Ai)/n
> (SUM eh somatorio, i=1 a n)
>
> Ajudou?
>
> Abraco,
>     Ralph
> 2010/5/11 Hermann 
>>
>> Boa noite.
>>
>> Existe baricentro de um polígono?
>> Se não. Perdoem minha ignorância.
>> Se sim.
>> Eis um exercício que gostaria de uma ajuda:
>>
>> Dado um polígono formado pelos pontos A1, A2, An. Provar que o Somatório
>> dos vetores GAi = vetor nulo. Onde G é o baricentro do polígono.
>>
>> Muito obrigado
>> Hermann
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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] vetores e baricentro

[Carlos Nehab]

Oi, Ralph e Hermann,

(tô tão ausente da lista, mas com muitas saudades)
 
Pois é Ralph: mas já andei provocando meus alunos a pensar no manjado
polígono de cartolina recortado com tesoura... Coisa bem no concreto. 
(eu prefiro sair fora de particulas iguais nos vértices, pois acho mais
natural "pensar na massa distribuída na superfície" do polígono e
tentar fazê-los ver o "baricentro" como o ponto do "equilíbrio".  
Daí começo com o óbvio:

a) Num segmento, é o ponto médio (tá bom, não é polígono);
b) Num triângulo é a "sabida" interseção das medianas;
c) Num quadrilátero é o ponto médio do segmento que une os pontos
médios das diagonais...

Ou seja, a pergunta que costumo fazer é: 
Dá pra gente "ver" geometricamente isto continuar? Se o polígono tem n
vértices, há algum tipo de n para o qual a gente continua a achar o
"equilíbrio" pensando de alguma forma nas diagonais? E nas médias de
suas coordenadas (como você abordou)? No pentágono, hexagono e
heptágono as coisas funcionam? Onde dá zebra?

E se agora a gente for pro R^3. Num tetraedro do R^3; ou paralelepípedo
no R3; etc.

Abraços a todos,
Nehab

Ralph Teixeira escreveu:

  Bom, a minha definicao de baricentro eh vetorial: o baricentro
do poligono A1A2...An eh o ponto correspondente ao vetor
(A1+A2+A3+...+An)/n. Seria o centro de massa de um conjunto de n
particulas de mesma massa colocadas nos vertices.
   
  Infelizmente (ou felizmente?), esta definicao eh virtualmente
equivalente ao seu problema, pois as seguintes linhas sao equivalentes:
   
  SUM (G-Ai)=0  
  SUM G = SUM Ai
  nG = SUM Ai
  G= (SUM Ai)/n
  
  (SUM eh somatorio, i=1 a n)
   
  Ajudou?
   
  Abraco,
      Ralph
  
  2010/5/11 Hermann 
  

Boa noite.
 
Existe baricentro de um polígono? 
Se não. Perdoem
minha ignorância.
Se sim. 
Eis um exercício que gostaria de
uma ajuda:
 
Dado um polígono formado pelos
pontos A1, A2, An. Provar que o Somatório dos vetores GAi = vetor nulo.
Onde G é o baricentro do polígono.
 
Muito obrigado
Hermann

  
  
  




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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] vetores e baricentro

[Ralph Teixeira]

Oi, Nehab.

Pensando vetorialmente, dah para pensar no baricentro de varias formas
distintas... Afinal, voce pode agrupar o somatorio SUM Ai de varias
maneiras... Por exemplo:

-- O baricentro do hexagono A1A2...A6 eh o baricentro do triangulo cujos
vertices sao os medios das diagonais A1A4, A2A5 e A3A6;
-- ...alias, escolha quaisquer 3 diagonais que nao tenham vertice em comum,
tome seus medios, e a propriedade acima estah valendo, o ponto eh o mesmo.
-- ... se preferir, olhe os baricentros dos triangulos A1A3A5 e A2A4A6; o
medio do segmento que os une tambem eh o baricentro do poligono.
-- ... ou, tome o baricentro M de A1A2A3A4 e o medio N de A5A6; o baricentro
divide o segmento MN na razao 4:2, isto eh, 2:1.

(Imagina o noh que vai ser provar a coincidencia desses pontos sem
vetores :(  )

Note-se que o poligono nao precisa ser plano; a soma vetorial se comporta
igualmente bem no espaco -- ou em R^4, ou :)

Para heptagono, por falta de divisores de 7, teriamos que ser mais
criativos... Tipo, tome o baricentro de A1A2A3 e o baricentro de A4A5A6.
Tome o medio M do segmento que liga estes dois baricentros. O baricentro do
heptagono A1...A7 divide o segmento MA7 na razao 1:6. (Os triangulos
poderiam ser agrupados de varios jeitos)

(Para quem usa softwares de Geometria Dinamica, isto dah ideia de milhoes de
figurinhas legais para fazer)

Abraco, Ralph.

2010/5/12 Carlos Nehab 

> Oi, Ralph e Hermann,
>
> (tô tão ausente da lista, mas com muitas saudades)
>
> Pois é Ralph: mas já andei provocando meus alunos a pensar no manjado
> polígono de cartolina recortado com tesoura... Coisa bem no concreto.
> (eu prefiro sair fora de particulas iguais nos vértices, pois acho mais
> natural "pensar na massa distribuída na superfície" do polígono e tentar
> fazê-los ver o "baricentro" como o ponto do "equilíbrio".
> Daí começo com o óbvio:
>
> a) Num segmento, é o ponto médio (tá bom, não é polígono);
> b) Num triângulo é a "sabida" interseção das medianas;
> c) Num quadrilátero é o ponto médio do segmento que une os pontos médios
> das diagonais...
>
> Ou seja, a pergunta que costumo fazer é:
> Dá pra gente "ver" geometricamente isto continuar? Se o polígono tem n
> vértices, há algum tipo de n para o qual a gente continua a achar o
> "equilíbrio" pensando de alguma forma nas diagonais? E nas médias de suas
> coordenadas (como você abordou)? No pentágono, hexagono e heptágono as
> coisas funcionam? Onde dá zebra?
>
> E se agora a gente for pro R^3. Num tetraedro do R^3; ou paralelepípedo no
> R3; etc.
>
> Abraços a todos,
> Nehab
>
> Ralph Teixeira escreveu:
>
> Bom, a minha definicao de baricentro eh vetorial: o baricentro do poligono
> A1A2...An eh o ponto correspondente ao vetor (A1+A2+A3+...+An)/n. Seria o
> centro de massa de um conjunto de n particulas de mesma massa colocadas nos
> vertices.
>
> Infelizmente (ou felizmente?), esta definicao eh virtualmente equivalente
> ao seu problema, pois as seguintes linhas sao equivalentes:
>
> SUM (G-Ai)=0
> SUM G = SUM Ai
> nG = SUM Ai
> G= (SUM Ai)/n
> (SUM eh somatorio, i=1 a n)
>
> Ajudou?
>
> Abraco,
> Ralph
> 2010/5/11 Hermann 
>
>>  Boa noite.
>>
>> Existe baricentro de um polígono?
>> Se *não*. Perdoem minha ignorância.
>> Se *sim*.
>> Eis um exercício que gostaria de uma ajuda:
>>
>> Dado um polígono formado pelos pontos A1, A2, An. Provar que o Somatório
>> dos vetores GAi = vetor nulo. Onde G é o baricentro do polígono.
>>
>> Muito obrigado
>> Hermann
>>
>
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html=

Re: [obm-l] vetores e baricentro

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

O Ralph e Nehab,

bom, eu vou dar uma de intrometido e tentar adivinhar o que o Nehab
queria, e que o Ralph não respondeu. Talvez seja só porquê o que eu
vou dizer em seguida foi (e continua sendo) uma das coisas que mais me
fascina e perturba. Mas é o seguinte:

Tá, ok, você (Ralph) definiu o baricentro como sendo o ponto de
equilíbrio de massas pontuais no vértice de um polígono. Muito bem,
essa noção é interessante, e simples, o que é fundamental para
trabalhar. Mas acontece que o Nehab acha (e eu também) que uma coisa
importante de um baricentro é poder "pegar o baricentro e segurar a
figura sem ela se mexer". E infelizmente, ninguém vai segurar um
polígono que não tem massa no centro pelo centro dele. Pelo menos não
na escola, sem forças que agem à distância como a gravidade. Daí que
eu acho que a idéia do Nehab é muito boa, "não, galera, o baricentro é
o centro da figura plana inteira !" (leia-se com massa uniforme, é
claro). Parece mais palpável, e inclusive é isso que a gente vai fazer
com os polígonos, né? Mas surge um problema mais profundo: e como a
gente calcula agora esse baricentro de uma infinidade de pontos? E o
pior de tudo, como é que a gente prova que vai sempre dar a mesma
coisa que só botar massas pontuais nos vértices? E mais grave ainda:
será que essas mesmas contas continuam válidas para os sólidos (que
são os únicos objetos realmente reais que existem!!!)? Indo um pouco
mais a frente, surge uma outra interpretação: "e se em vez de massas
pontuais - um pouco forçado, ainda mais para ser uma estrutura rígida
- fosse somente o bordo do polígono?". Puxa, mais uma outra definição,
que também pode ser útil, e paf, mais um problema de tentar provar que
dá tudo igual...

Depois que eu me acostumei com integração, isso mudou de cara, e
principalmente de método. Eu sabia como fazer as contas, não precisava
mais de algumas fórmulas mágicas (mesmo que na maior parte do tempo
fossem elas que eu usasse, porque vai muito mais rápido!!) e me sentia
capaz de resolver qualquer problema do gênero. Mas persiste o espanto
que muitas dessas noções coincidam, e principalmente o fato de nem
sempre coincidirem me faz pensar que talvez a gente tenha "deixado
passar" alguma coisa importante...

-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

P.S.: para quem é físico de corpo e alma, além de matemático, os
exemplos de segurar no baricentro só funcionam se não houver momento
no dito-cujo, senão mesmo que a gente segure no ponto certo, a figura
vai "rodar sem perder o eixo", mas como um dedo não é como um ponto
material, vai escorregar e cair. Ou então, espere dar 180° e vai ficar
embaixo do dedo ;-)

2010/5/13 Ralph Teixeira :
> Oi, Nehab.
>
> Pensando vetorialmente, dah para pensar no baricentro de varias formas
> distintas... Afinal, voce pode agrupar o somatorio SUM Ai de varias
> maneiras... Por exemplo:
>
> -- O baricentro do hexagono A1A2...A6 eh o baricentro do triangulo cujos
> vertices sao os medios das diagonais A1A4, A2A5 e A3A6;
> -- ...alias, escolha quaisquer 3 diagonais que nao tenham vertice em comum,
> tome seus medios, e a propriedade acima estah valendo, o ponto eh o mesmo.
> -- ... se preferir, olhe os baricentros dos triangulos A1A3A5 e A2A4A6; o
> medio do segmento que os une tambem eh o baricentro do poligono.
> -- ... ou, tome o baricentro M de A1A2A3A4 e o medio N de A5A6; o baricentro
> divide o segmento MN na razao 4:2, isto eh, 2:1.
>
> (Imagina o noh que vai ser provar a coincidencia desses pontos sem
> vetores :(  )
>
> Note-se que o poligono nao precisa ser plano; a soma vetorial se comporta
> igualmente bem no espaco -- ou em R^4, ou :)
>
> Para heptagono, por falta de divisores de 7, teriamos que ser mais
> criativos... Tipo, tome o baricentro de A1A2A3 e o baricentro de A4A5A6.
> Tome o medio M do segmento que liga estes dois baricentros. O baricentro do
> heptagono A1...A7 divide o segmento MA7 na razao 1:6. (Os triangulos
> poderiam ser agrupados de varios jeitos)
>
> (Para quem usa softwares de Geometria Dinamica, isto dah ideia de milhoes de
> figurinhas legais para fazer)
>
> Abraco, Ralph.
>
> 2010/5/12 Carlos Nehab 
>>
>> Oi, Ralph e Hermann,
>>
>> (tô tão ausente da lista, mas com muitas saudades)
>>
>> Pois é Ralph: mas já andei provocando meus alunos a pensar no manjado
>> polígono de cartolina recortado com tesoura... Coisa bem no concreto.
>> (eu prefiro sair fora de particulas iguais nos vértices, pois acho mais
>> natural "pensar na massa distribuída na superfície" do polígono e tentar
>> fazê-los ver o "baricentro" como o ponto do "equilíbrio".
>> Daí começo com o óbvio:
>>
>> a) Num segmento, é o ponto médio (tá bom, não é polígono);
>> b) Num triângulo é a "sabida" interseção das medianas;
>> c) Num quadrilátero é o ponto médio do segmento que une os pontos médios
>> das diagonais...
>>
>> Ou seja, a pergunta que costumo fazer é:
>> Dá pra gente "ver" geometricamente isto continuar? Se o polígono tem n
>> vértices, há algum tipo de n para o qual a gente continua 

Re: [obm-l] vetores e baricentro

[Ralph Teixeira]

Bom, ok, neste caso: vale a pena notar que as diferentes nocoes de
baricentro que o Bernardo mencionou NAO sao identicas.

Por exemplo, tome um triangulo retangulo isosceles ABC, hipotenusa BC. O
baricentro que eu gosto de usar eh o centro de massa "dos vertices", que
neste caso coincide com o centro de massa do "interior do triangulo". Mas o
centro de massa "do perimetro" eh outro! Afinal, os medios de AB e AC entram
com peso 1, mas o medio de BC entra com peso raiz(2)...

No espaco, ha outros problemas. Dado o poligono ABCD, o centro de massa dos
vertices seria (A+B+C+D)/4; o do "perimetro" fica em outro lugar que depende
um pouco mais dos comprimentos dos lados. E o do "interior 2D do poligono"
nem estah definido, porque nao eh claro quais sao as "faces 2D do poligono
ABCD". Enfim, tem o centro de massa do tetraedro ABCD, este sim que coincide
com o centro de massa dos vertices; se eu entendi bem, era deste tipo de
surpresa que o Bernardo falava.

Entao, em suma, concordo com o Nehab e o Bernardo: pensar nessas coisas eh
bem instigante e divertido... :)

Abraco, Ralph.

P.S.: mesmo no caso 2D, quando o poligono nao eh convexo, o centro de massa
pode ficar fora do interior do poligono, entao aas vezes a gente vai ter que
"segurar o poligono pelo ponto sem massa" de qualquer jeito... :)

2010/5/13 Bernardo Freitas Paulo da Costa 

> O Ralph e Nehab,
>
> bom, eu vou dar uma de intrometido e tentar adivinhar o que o Nehab
> queria, e que o Ralph não respondeu. Talvez seja só porquê o que eu
> vou dizer em seguida foi (e continua sendo) uma das coisas que mais me
> fascina e perturba. Mas é o seguinte:
>
> Tá, ok, você (Ralph) definiu o baricentro como sendo o ponto de
> equilíbrio de massas pontuais no vértice de um polígono. Muito bem,
> essa noção é interessante, e simples, o que é fundamental para
> trabalhar. Mas acontece que o Nehab acha (e eu também) que uma coisa
> importante de um baricentro é poder "pegar o baricentro e segurar a
> figura sem ela se mexer". E infelizmente, ninguém vai segurar um
> polígono que não tem massa no centro pelo centro dele. Pelo menos não
> na escola, sem forças que agem à distância como a gravidade. Daí que
> eu acho que a idéia do Nehab é muito boa, "não, galera, o baricentro é
> o centro da figura plana inteira !" (leia-se com massa uniforme, é
> claro). Parece mais palpável, e inclusive é isso que a gente vai fazer
> com os polígonos, né? Mas surge um problema mais profundo: e como a
> gente calcula agora esse baricentro de uma infinidade de pontos? E o
> pior de tudo, como é que a gente prova que vai sempre dar a mesma
> coisa que só botar massas pontuais nos vértices? E mais grave ainda:
> será que essas mesmas contas continuam válidas para os sólidos (que
> são os únicos objetos realmente reais que existem!!!)? Indo um pouco
> mais a frente, surge uma outra interpretação: "e se em vez de massas
> pontuais - um pouco forçado, ainda mais para ser uma estrutura rígida
> - fosse somente o bordo do polígono?". Puxa, mais uma outra definição,
> que também pode ser útil, e paf, mais um problema de tentar provar que
> dá tudo igual...
>
> Depois que eu me acostumei com integração, isso mudou de cara, e
> principalmente de método. Eu sabia como fazer as contas, não precisava
> mais de algumas fórmulas mágicas (mesmo que na maior parte do tempo
> fossem elas que eu usasse, porque vai muito mais rápido!!) e me sentia
> capaz de resolver qualquer problema do gênero. Mas persiste o espanto
> que muitas dessas noções coincidam, e principalmente o fato de nem
> sempre coincidirem me faz pensar que talvez a gente tenha "deixado
> passar" alguma coisa importante...
>
> --
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>
> P.S.: para quem é físico de corpo e alma, além de matemático, os
> exemplos de segurar no baricentro só funcionam se não houver momento
> no dito-cujo, senão mesmo que a gente segure no ponto certo, a figura
> vai "rodar sem perder o eixo", mas como um dedo não é como um ponto
> material, vai escorregar e cair. Ou então, espere dar 180° e vai ficar
> embaixo do dedo ;-)
>
> 2010/5/13 Ralph Teixeira :
> > Oi, Nehab.
> >
> > Pensando vetorialmente, dah para pensar no baricentro de varias formas
> > distintas... Afinal, voce pode agrupar o somatorio SUM Ai de varias
> > maneiras... Por exemplo:
> >
> > -- O baricentro do hexagono A1A2...A6 eh o baricentro do triangulo cujos
> > vertices sao os medios das diagonais A1A4, A2A5 e A3A6;
> > -- ...alias, escolha quaisquer 3 diagonais que nao tenham vertice em
> comum,
> > tome seus medios, e a propriedade acima estah valendo, o ponto eh o
> mesmo.
> > -- ... se preferir, olhe os baricentros dos triangulos A1A3A5 e A2A4A6; o
> > medio do segmento que os une tambem eh o baricentro do poligono.
> > -- ... ou, tome o baricentro M de A1A2A3A4 e o medio N de A5A6; o
> baricentro
> > divide o segmento MN na razao 4:2, isto eh, 2:1.
> >
> > (Imagina o noh que vai ser provar a coincidencia desses pontos sem
> > vetores :(  )
> >
> > Note-

Re: [obm-l] vetores e baricentro

[Carlos Nehab]

Oi, Ralph e Bernardo e demais colegas da Lista,

Ficou legal esta história e aí eu resolvi conversar com meu melhor
amigo (que também é craque nestas coisas, como vocês) e fomos adiante.

Mas antes, uma palavrinha de esclarecimento: meu conhecimento de
Análise Real / etc circunscrito a poucos mas ótimos cursos/livros: um
curso de Análise com o Elon e de Análise Funcional com o João Bosco
Prolla (em 1969) - não foi erro de digitação não... (lá no Impa da
Praça Tiradentes); outro baseado no Diedonné com o Barbosa na UFF (ele
era prof de Lógica e outros delírios no IME e depois foi Reitor da
UFF); outro curso muito interessante foi com o Luis Oswaldo, uma
figuraça, baseado no livro Irrational Numbers (do Niven). 

Portanto, no Parque dos Dinossauros VII, farei uma pontinha...  Depois
andei perturbando a cabeça de algumas turmas do IME com o Burbaki
(Theory of Sets) e o Kitchens (cálculo para a galera do 1 ano básico lá
no IME). 

Feitas estas ressalvas, talvez fique claro que minha paixão e
competência são maiores na arte de ensinar do que na arte de resolver
problemas, e me delicio com as soluções geniais que rolam por ai. Mas
confesso que minha praia é "como ensinar determinado tópico de forma
mais esclarecedora e/ou facilitar o processo de amadurecimento
matemático dos meninos...". 

Ai vão portanto duas questões, onde a primeira eu penso que sei a
resposta completa, mas a segunda não tenho a menor idéia.  

a) O Conjunto de Cantor (e seus "derivados", como o triângulo de
Sierpinski e o Floco de Neve de Koch)  por exemplo, possuem quais dos
"centros de equilíbrio" que foram discutidos? 
b) Será que dá para exibir algum conjunto em R2, limitado e sem centro
de gravidade (seja lá em qualquer uma das definições discutidas) ? Será
que tal conjunto tem que ser MUITO sinistro?

Abração a vocês
Nehab

Ralph Teixeira escreveu:

  Bom, ok, neste caso: vale a pena notar que as diferentes nocoes
de baricentro que o Bernardo mencionou NAO sao identicas.
   
  Por exemplo, tome um triangulo retangulo isosceles ABC,
hipotenusa BC. O baricentro que eu gosto de usar eh o centro de massa
"dos vertices", que neste caso coincide com o centro de massa do
"interior do triangulo". Mas o centro de massa "do perimetro" eh outro!
Afinal, os medios de AB e AC entram com peso 1, mas o medio de BC entra
com peso raiz(2)...
   
  No espaco, ha outros problemas. Dado o poligono ABCD, o centro
de massa dos vertices seria (A+B+C+D)/4; o do "perimetro" fica em outro
lugar que depende um pouco mais dos comprimentos dos lados. E o do
"interior 2D do poligono" nem estah definido, porque nao eh claro quais
sao as "faces 2D do poligono ABCD". Enfim, tem o centro de massa do
tetraedro ABCD, este sim que coincide com o centro de massa dos
vertices; se eu entendi bem, era deste tipo de surpresa que o Bernardo
falava.
   
  Entao, em suma, concordo com o Nehab e o Bernardo: pensar nessas
coisas eh bem instigante e divertido... :)
   
  Abraco, Ralph.
   
  P.S.: mesmo no caso 2D, quando o poligono nao eh convexo, o
centro de massa pode ficar fora do interior do poligono, entao aas
vezes a gente vai ter que "segurar o poligono pelo ponto sem massa" de
qualquer jeito... :)
   
  2010/5/13 Bernardo Freitas Paulo da Costa 
  O Ralph e Nehab,

bom, eu vou dar uma de intrometido e tentar adivinhar o que o Nehab
queria, e que o Ralph não respondeu. Talvez seja só porquê o que eu
vou dizer em seguida foi (e continua sendo) uma das coisas que mais me
fascina e perturba. Mas é o seguinte:

Tá, ok, você (Ralph) definiu o baricentro como sendo o ponto de
equilíbrio de massas pontuais no vértice de um polígono. Muito bem,
essa noção é interessante, e simples, o que é fundamental para
trabalhar. Mas acontece que o Nehab acha (e eu também) que uma coisa
importante de um baricentro é poder "pegar o baricentro e segurar a
figura sem ela se mexer". E infelizmente, ninguém vai segurar um
polígono que não tem massa no centro pelo centro dele. Pelo menos não
na escola, sem forças que agem à distância como a gravidade. Daí que
eu acho que a idéia do Nehab é muito boa, "não, galera, o baricentro é
o centro da figura plana inteira !" (leia-se com massa uniforme, é
claro). Parece mais palpável, e inclusive é isso que a gente vai fazer
com os polígonos, né? Mas surge um problema mais profundo: e como a
gente calcula agora esse baricentro de uma infinidade de pontos? E o
pior de tudo, como é que a gente prova que vai sempre dar a mesma
coisa que só botar massas pontuais nos vértices? E mais grave ainda:
será que essas mesmas contas continuam válidas para os sólidos (que
são os únicos objetos realmente reais que existem!!!)? Indo um pouco
mais a frente, surge uma outra interpretação: "e se em vez de massas
pontuais - um pouco forçado, ainda mais para ser uma estrutura rígida
- fosse somente o bordo do polígono?". Puxa, mais uma outra definição,
que também pode ser útil, e paf, mais um problema de tentar provar que
dá tudo igual...

Depo

Re: [obm-l] vetores e baricentro [Quase off-topic]

[Carlos Nehab]

Oi, Bernardo

Caramba: você leu meus pensamentos !  Pegar o baricentro!  Você tocou no 
ponto e na alma e este é um dos aspectos mais fascinantes desta Lista. 
"Vários olhares sobre uma mesma questão". 
E de intrometido não tem nada, pois me é extremamente prazeroso ler suas 
intervenções na lista. Elas me fascinam, são cuidadosas e acolhedoras.


E de fato, às vezes eu lanço apenas um idéia vinculada a "como ensinar 
determinada geringonça de outra forma", sem necessariamente ser um 
problema a resolver. Como se eu estivesse escrevendo um pensamento. 

Quanto à interpretação de usar a borda (que também adoro) a gente tem 
algumas surpresas: já postei na Lista o caso do triângulo e, pasme, o 
eleito é o incentro - caso a densidade linear seja uniforme e a mesma 
nos 3 lados do triângulo.  Não acho muito intuitivo não, mas lembro que 
o Rogério Ponce (amigo de longa data) adorou o problema na época.


Grande abraço,
Nehab

Bernardo Freitas Paulo da Costa escreveu:

O Ralph e Nehab,

bom, eu vou dar uma de intrometido e tentar adivinhar o que o Nehab
queria, e que o Ralph não respondeu. Talvez seja só porquê o que eu
vou dizer em seguida foi (e continua sendo) uma das coisas que mais me
fascina e perturba. Mas é o seguinte:

Tá, ok, você (Ralph) definiu o baricentro como sendo o ponto de
equilíbrio de massas pontuais no vértice de um polígono. Muito bem,
essa noção é interessante, e simples, o que é fundamental para
trabalhar. Mas acontece que o Nehab acha (e eu também) que uma coisa
importante de um baricentro é poder "pegar o baricentro e segurar a
figura sem ela se mexer". E infelizmente, ninguém vai segurar um
polígono que não tem massa no centro pelo centro dele. Pelo menos não
na escola, sem forças que agem à distância como a gravidade. Daí que
eu acho que a idéia do Nehab é muito boa, "não, galera, o baricentro é
o centro da figura plana inteira !" (leia-se com massa uniforme, é
claro). Parece mais palpável, e inclusive é isso que a gente vai fazer
com os polígonos, né? Mas surge um problema mais profundo: e como a
gente calcula agora esse baricentro de uma infinidade de pontos? E o
pior de tudo, como é que a gente prova que vai sempre dar a mesma
coisa que só botar massas pontuais nos vértices? E mais grave ainda:
será que essas mesmas contas continuam válidas para os sólidos (que
são os únicos objetos realmente reais que existem!!!)? Indo um pouco
mais a frente, surge uma outra interpretação: "e se em vez de massas
pontuais - um pouco forçado, ainda mais para ser uma estrutura rígida
- fosse somente o bordo do polígono?". Puxa, mais uma outra definição,
que também pode ser útil, e paf, mais um problema de tentar provar que
dá tudo igual...

Depois que eu me acostumei com integração, isso mudou de cara, e
principalmente de método. Eu sabia como fazer as contas, não precisava
mais de algumas fórmulas mágicas (mesmo que na maior parte do tempo
fossem elas que eu usasse, porque vai muito mais rápido!!) e me sentia
capaz de resolver qualquer problema do gênero. Mas persiste o espanto
que muitas dessas noções coincidam, e principalmente o fato de nem
sempre coincidirem me faz pensar que talvez a gente tenha "deixado
passar" alguma coisa importante...

  


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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