Re: [obm-l] Algebra linear : Wronkisano e indicacao de livro
Obrigado a todos! A solucao que voces me enviaram sao mais ou menos parecidas (com excessao da que utiliza variaveis complexas, que infelizmente não posso apreciar ainda). Vi outra parecida tambem no livro do Apostol (volume 2). E quem quiser uma direto pelo Wronskiano (identificando uma matriz de Vandermonde) leia no livro do Rabenstein!! mais uma vez obrigado = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Algebra linear : Wronkisano e indicacao de livro
On Sat, Sep 20, 2003 at 08:49:39AM -0700, niski wrote:
> Ola pessoal. Inicialmente, agradeco ao incansavel Claudio Bufarra pela
> resolucao lá da equacao da involute da circunferencia.
> Bom estou com o seguinte problema
> Seja A = {e^a[1].x, e^a[2].x, e^a[3].x, ..., e^a[n]x} *(obs lê-se e
> elevado a a indicie n vezes x)
> onde a[1] != a[2] != ... != a[n] e pertencem a R.
> Prove que A é L.I.
Em tempo, este problema está no livro do Elon.
Lá ele dá uma sugestão de como resolver que é basicamente a seguinte.
=
Suponha por absurdo que a coisa seja falsa e tome um contra-exemplo
com n mínimo, isto é, temos a1 < a2 < ... < an, todos os ci diferentes de 0 e
f(x) = c1 e^(a1 x) + ... + cn e^(an x)
identicamente nula. Se f é identicamente nula então g(x) = e^(-a1 x) f(x)
também é donde podemos supor a1 = 0 < a2 < ... < an.
Derivando f temos
f'(x) = a2 c2 e^(a2 x) + ... + an cn e^(an x)
que também é identicamente nula mas tem menos termos, o que é uma contradição.
[]s, N.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Algebra linear : Wronkisano e indicacao de livro
On Sat, Sep 20, 2003 at 08:49:39AM -0700, niski wrote:
> Ola pessoal. Inicialmente, agradeco ao incansavel Claudio Bufarra pela
> resolucao lá da equacao da involute da circunferencia.
> Bom estou com o seguinte problema
> Seja A = {e^a[1].x, e^a[2].x, e^a[3].x, ..., e^a[n]x} *(obs lê-se e
> elevado a a indicie n vezes x)
> onde a[1] != a[2] != ... != a[n] e pertencem a R.
> Prove que A é L.I.
>
> Eu pensei em contruir o Wronskiano e se ele for identicamente nulo então
> seria L.I certo?
Não está errado; há várias soluções.
=
A minha favorita é olhar o comportamento em infinito.
Desculpe mas vou tirar os [] da sua notação.
Suponha sem perda a1 < a2 < ... < an. Suponha por absurdo que
f(x) = c1 * e^(a1 x) + ... + cn * e^(an x) seja identicamente igual a 0
com pelo menos um dos coeficientes não nulo, sem perda cn.
Assim
lim_{x -> infinito} e^(-an x)*f(x) = cn
mas por outro lado como f(x) = 0 temos cn = 0.
=
Outra solução é por variável complexa.
A função f(z) = c1 * e^(a1 z) + ... + cn * e^(an z)
é inteira (holomorfa em C). Vamos observar a função
g(z) = e^(- ak z) * f(z)
= ck + somatório_{j diferente de k} cj * e^((aj - ak) z)
Na reta imaginária (parte real igual a 0) cada um dos termos
do somatório oscila tendo média zero. Assim o valor médio de g(z)
em um grande intervalo nesta reta é ck. Ou seja, se f é identicamente 0
então cada coeficiente é igual a 0, como queríamos provar.
=
[]s, N.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Algebra linear : Wronkisano e indicacao de livro
> Seja A = {e^a[1].x, e^a[2].x, e^a[3].x, ..., e^a[n]x} *(obs lê-se e
> elevado a a indicie n vezes x)
> onde a[1] != a[2] != ... != a[n] e pertencem a R.
> Prove que A é L.I.
Oi, Niski:
Antes de mais nada, apenas uma observacao quanto a precisao:
Ao dizer que a(1) <> a(2) <> a(3) voce nao estah excluindo a possibilidade
de que a(1) = a(3). Assim, talvez seja melhor dizer que os a(i) sao
distintos dois a dois.
Sobre o problema em si, voce pode supor s.p.d.g. que a(1) < a(2) < ... <
a(n).
Assim, se F(x) = c_1*exp(a(1)*x) + ... + c_n*exp(a(n)*x) eh a funcao
identicamente nula, entao:
G(x) = exp(-a(n)*x)*F(x) tambem eh a funcao identicamente nula.
Fazendo x -> + infinito, teremos que G(x) -> c_n (por que?), o que implica
que c_n = 0.
Repetindo o mesmo procedimento mais n-1 vezes voce conclui que cada c_i eh
igual a zero ==>
o conjunta A eh L.I.
Um abraco,
Claudio.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
RE: [obm-l] Algebra linear : Wronkisano e indicacao de livro
Um livro de Algebra Linear de que gosto muito eh o do Sege Lang. Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Algebra linear : Wronkisano e indicacao de livro
Oi Niski,
Acho que podemos provar da seguinte maneira:
Como a funcao e^(a_1*x) jamais se anula, a proposicao eh valida para
n=1.
Suponhamos agora que seja valida para algum natural n e admitamos, por
via de contradicao, que nao seja valida para n+1. Temos entao que
existem c_1,...c_n, c_n+1, nao todos nulos, tais que
c1*e^(a_1*x)...+...c_n*e^(a_n*x) + c_n+1*e^(a_n+1*x) = 0 (1) para todo
real x. Dado que, para n, o conjunto, por hipotese, eh L.I., segue-se
entao, necessariamente, que c_n+1<>0 e que nem todos os c_1,...c_n sao
nulos. Para ver isto, observemos que, se c_n+1=0, entao, como para n o
conjunto eh L.I., a unica forma de satisfazer a (1) seria termos tambem
c_1=...c_n=0, e todos os c1,...c_n+1 seriam nulos. E como c_n+1<>0,
anulando-se todos os c_1,...c_n nao poderiamos satisfazer a (1).
Temos entao que c_n+1*e^(a_n+1)x = -c_1*e*(a_1*x) -c_n*e^(a_n*x)(2)
para todo real x. Diferenciando-se os 2 membros, temos, para todo real
x, que a_n+1*c_n+1*e^(a_n+1*x) = -a_1*c_1*e*(a_1*x)
-a_n*c_n*e*(a_n*x) (3).
Se a_n+1<>0, entao, combinando-se (2) e (3), temos, tambem para todo
real x, que Soma (i=1,n) [(a_i*c_i)/(a_n+1*c_n+1)-(c_i/c_n+1)]e^(a_i)*x
=0 --> Soma (i=1,n) (c_i/c_n+1)*(a_i/a_n+1 -1))*e^(a_i*x) =0 (4). Como
os numeros a_1,...a_n+1 sao distintos 2 a 2, entao a_i/a_n+1 -1 <>0 para
todo i=1,...n; e como os numeros c_i, i=1, 2...n nao sao todos nulos,
segue-se que pelo menos um dos coeficientes das funcoes exponenciais na
soma de (4) nao eh nulo. Isto, porem, contraria a hipotese de que, para
n, o conjunto ek L.I.
Se a_n+1=0, entao nenhum dos a_1,...a_n eh nulo, e (3), cujo primeiro
membro se anula, nos mostra que, para n, o conjunto nao eh L.I, mais uma
vez uma contradicao.
Concluimos assim que, se o conjunto for L.I. para algum natural n,
tambem o serah para n+1. Dado que ele eh L.I, para n=1, a inducao fica
completa, comprovando-se a afirmacao feita.
Abracos
Artur
Logo, (a_n+1-1)c_n+1*e^(a_n+1*x) = c_1(1-a_1)*e^(a_1x)...+..
c_n(1-a_n)*e^(a_nx) (2). Se a_n+1<>1, entao o primeiro membro de (2)
nunca se anula e, para satisfazer a esta igualdade,
Se a_n+1<>0, entao e^(a_n+1*x)=
(1/(a_n+1*c_n+1))*[-a_1*c_1*e^(a_1*x)...- a_n*c_n*e^(a_n*x) e,
consequentemente,
Se a_n+1 <>0, entao, para todo x real, temos que
(1/c_n+1)*[(a_1*c_1/a_n+1*c_n+1 -c1)*e^(a_1*x)
Original Message-
> From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:owner-obm-
> [EMAIL PROTECTED] On Behalf Of niski
> Sent: Saturday, September 20, 2003 12:50 PM
> To: [EMAIL PROTECTED]
> Subject: [obm-l] Algebra linear : Wronkisano e indicacao de livro
>
> Ola pessoal. Inicialmente, agradeco ao incansavel Claudio Bufarra pela
> resolucao lá da equacao da involute da circunferencia.
> Bom estou com o seguinte problema
> Seja A = {e^a[1].x, e^a[2].x, e^a[3].x, ..., e^a[n]x} *(obs lê-se e
> elevado a a indicie n vezes x)
> onde a[1] != a[2] != ... != a[n] e pertencem a R.
> Prove que A é L.I.
>
> Eu pensei em contruir o Wronskiano e se ele for identicamente nulo
então
> seria L.I certo?
> Eu tentei utilizar a definicao de determinante com aqueles somatorios
e
> trocas de sinais malucos...sem resultado..
> Alguem poderia provar por gentileza?
> Aproveito o ensejo para pedir aos membros da lista referencias sobre
> algebra linear e equacoes diferenciais (lineares).
> Agradeco antecipadamente.
>
> Niski
>
>
=
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>
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=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] Re: [obm-l] Algebra linear : Wronkisano e indicacao de livro
Oi Niski,
Eu acho que dá pra fazer pelo wronskiano mesmo. Vamos lá:
Derivando e^(a(j).x) i vezes, ficamos com a(j)^i.e^(a(j).x). Logo:
W= W(e^(a(1).x),...,e^(a(n).x))= det((a(j)^(i-1).e^(a(j).x)), onde i representa
a linha e j a coluna. Agora observe que todos os elementos da coluna j têm
e^(a(j).x). Logo podemos colocar esse valor para fora do determinante. Fazendo
isso com todas as colunas, ficamos com
W= e^(a(1).x)...e^(a(n).x).det(a(j)^(i-1))
Mas det(a(j)^(i-1)) é o determinante de Vardemont dos números a(1),...,a(n),que
é igual
Prod(1<=i0, para todo k, segue que W é diferente de zero, como queríamos
demonstrar.
Ateh mais,
Yuri
-- Mensagem original --
>Ola pessoal. Inicialmente, agradeco ao incansavel Claudio Bufarra pela
>resolucao lá da equacao da involute da circunferencia.
>Bom estou com o seguinte problema
>Seja A = {e^a[1].x, e^a[2].x, e^a[3].x, ..., e^a[n]x} *(obs lê-se e
>elevado a a indicie n vezes x)
>onde a[1] != a[2] != ... != a[n] e pertencem a R.
>Prove que A é L.I.
>
>Eu pensei em contruir o Wronskiano e se ele for identicamente nulo então
>
>seria L.I certo?
>Eu tentei utilizar a definicao de determinante com aqueles somatorios e
>trocas de sinais malucos...sem resultado..
>Alguem poderia provar por gentileza?
>Aproveito o ensejo para pedir aos membros da lista referencias sobre
>algebra linear e equacoes diferenciais (lineares).
>Agradeco antecipadamente.
>
>Niski
>
>=
>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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[]'s, Yuri
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Re: [obm-l] Algebra linear : Wronkisano e indicacao de livro
On Sat, 20 Sep 2003 08:49:39 -0700, niski <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
Ola pessoal. Inicialmente, agradeco ao incansavel Claudio Bufarra pela
resolucao lá da equacao da involute da circunferencia.
Bom estou com o seguinte problema
Seja A = {e^a[1].x, e^a[2].x, e^a[3].x, ..., e^a[n]x} *(obs lê-se e
elevado a a indicie n vezes x)
onde a[1] != a[2] != ... != a[n] e pertencem a R.
Prove que A é L.I.
Hmmm, acho que indução resolve o problema. Suponha que este conjunto seja
LI quando tem n-1 elementos. Vamos olhar para o caso de n elementos. Se
este conjunto fosse LD, existiriam numeros c_i reais (estou supondo que o
corpo é o corpo dos reais), nem todos nulos, tais que
c_1 * e^(a_1*x) + c_2 * e^(a_2*x) + ... + c_n * e^(a_n*x) = 0
Bom, c_n nao pode ser zero, pois neste caso todos os c_i o seriam (o
conjunto de n-1 elementos é LI por hipotese). Entao podemos isolar a última
parcela desta soma e obter e^(a_n*x) como combinação linear dos outros
vetores. Resumindo, poderíamos escrever e^(a_n*x) como combinação linear
dos outros vetores.
e^(a_n*x) = soma ( -(c_i/c_n) * e^(a_i*x), 1<=i<=(n-1) )
ou
e^(a_n*x) = soma ( b_i * e^(a_i*x), 1<=i<=(n-1) ) onde b_i = -(c_i/c_n)
Mas isto é um absurdo porque esta igualdade vale para todo x real. A idéia
é que temos poucos graus de liberdade (os n-1 coeficientes b_i) para
satisfazer muitas igualdades. Escolhendo n valores espertos para x,
descobriremos que não existem os tais coeficientes b_i que satisfaçam todos
os nossos pedidos. Logo, quaisquer que sejam os coeficientes b_i, sempre
existe algum ponto na função e^(a_n*x) que não é atingido pelo lado direito
da igualdade. Então conjunto em questão (de n elementos) deve ser LI.
Resta apenas mostrar que este conjunto é LI para n = 1 (caso base da
indução). Mas
c * e^(a_1*x) = 0 => c = 0 ou e^(a_1*x) = 0 => c = 0.
[]s
Felipe Pina
=
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=
