Re: [obm-l] Luz em algebra
,Ola Thiago, Temos que x(x+1)(x+2)(x+3) + 1 = k^2 x(x+1)(x+2)(x+3) = (k-1)(k+1) Multiplicando o 1 fator com o ultimo, e os dois do meio teremos : (x^2+3x)(x^2+3x+2) = (k-1)(k+1) Agora repare que a diferença entre os dois termos da esquerda é = a diferença entre os dois termos da direita = 2. Fazendo entao : x^2+3x = k -1 e x^2+3x+2 = k + 1 temos k = x^2+3x+1 em ambos o casos. Ou seja, para qualquer inteiro x, (x^2+3x)(x^2+3x+2) -1 representa um deteminado k^2. Abs Felipe --- Em dom, 31/1/10, Thiago Tarraf Varella thiago_...@hotmail.com escreveu: De: Thiago Tarraf Varella thiago_...@hotmail.com Assunto: [obm-l] Luz em algebra Para: OBM Lista obm-l@mat.puc-rio.br Data: Domingo, 31 de Janeiro de 2010, 1:59 Eu vi aí na internet que a multiplicação de 4 naturais consecutivos mais um dará sempre um quadrado perfeito... tentei provar isso mas só levei ferro :/ Olha, primeiro eu tentei fatorar: (x-1)x(x+1)(x+2)+1 (x²-1)x(x+2) (x³-x)(x+2) - x4+2x³-x²-2x+1 - Tentei: x²(x²) + 2x(x²) - 1(x²) - 2x+1 x²(x²+2x-1)-2x+1 ... Tentei: x³(x) + 2x²(x) - x(x) - 2(x) + 1 x(x³+2x-x-2)+1 ... Resolvi procurar alguma semelhança nisso: RAIZ[1*2*3*4+1]=5 RAIZ[2*3*4*5+1]=11 RAIZ[3*4*5*6+1]=19 RAIZ[4*5*6*7+1]=29 Os resultados darão sempre assim: 5 +6 11 +8 19 +10 29 +12 41 +14 55 +16 ... + 18 ... Mas não concluí nada com isso... alguém pode me dar uma luz aí por favor? Quer brincar com as suas fotos e fazer álbuns divertidos? Clique aqui e saiba como. Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com
Re: [obm-l] Luz em algebra
Oi, Thiago... Este problema clssico e mostra como umas continhas ajudam para se entender o que est acontecendo. Faamos uns exemplinhos: 3.4.5.6 + 1 = 19^2 (3.6 = 18 e 4.5 = 20) 5.6.7.8 +1 = 41^2 (5.8 = 40 e 6.7 = 42) Ento a questo : se o produto 5.6.7.8 d quase um quadrado e 5.8 = 40 e 6.7 = 42, possivelmente o cara procurado o 41, no acha? Ora a(a+1)(a+2)(a+3) + 1 = (a^2+3a).(a^2+3a+2) +1 e ento parece que o cara procurado deve ser o a^2 + 3a +1 que est exatamente entre a^2 + 3a e a^2 +3a + 2, no acha? Agora s confirmar o agora bvio... (a^2+3a).(a^2+3a+2) + 1 = (X - 1)(X +1) + 1 = X^2, onde o raio do X a^2+3a+1, como desconfivamos... Abraos, Nehab Thiago Tarraf Varella escreveu: Eu vi a na internet que amultiplicao de 4 naturais consecutivos mais um dar sempre um quadrado perfeito... tentei provar isso mas s levei ferro :/ Olha, primeiro eu tentei fatorar: (x-1)x(x+1)(x+2)+1 (x-1)x(x+2) (x-x)(x+2) - x4+2x-x-2x+1 - Tentei: x(x) + 2x(x) - 1(x) - 2x+1 x(x+2x-1)-2x+1 ... Tentei: x(x) + 2x(x) - x(x) - 2(x) + 1 x(x+2x-x-2)+1 ... Resolvi procurar alguma semelhana nisso: RAIZ[1*2*3*4+1]=5 RAIZ[2*3*4*5+1]=11 RAIZ[3*4*5*6+1]=19 RAIZ[4*5*6*7+1]=29 Os resultados daro sempreassim: 5 +6 11 +8 19 +10 29 +12 41 +14 55 +16 ... + 18 ... Mas no conclu nada com isso... algum pode me dar uma luz a por favor? Quer brincar com as suas fotos e fazer lbuns divertidos? Clique aqui e saiba como. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Luz em algebra
Olá Thiago, continuando de onde vc chegou: x^4+2x^3-x^2-2x+1 Veja que isso é um polinomio reciproco. Vamos colocar x^2 em evidência: x^2(x^2 + 2x - 1 - 2/x + 1/x^2) x^2[x^2 + 1/x^2 + 2(x - 1/x) - 1] Opa! Vamos fazer (x - 1/x) = y Assim: y^2 = x^2 - 2 + 1/x^2, logo: x^2 + 1/x^2 = y^2 + 2 Logo: x^2[y^2 + 2 + 2y - 1] x^2(y+1)^2 Substituindo (x - 1/x) = y, temos: x^2(x - 1/x + 1)^2 [x(x - 1/x + 1)]^2 (x^2 - 1 + x)^2 (x^2 + x - 1)^2 Que é um quadrado perfeito! ;) Obviamente existem outras maneiras de fatorar, só te apresentei a maneira clássica de polinomios reciprocos. Apenas para te mostrar o que vc percebeu qdo testou para vários casos, vamos chamar: f(x) = x^2 + x - 1 Vamos analisar a diferença de dois termos consecutivos: f(x+1) - f(x) = (x+1)^2 + (x+1) - 1 - x^2 - x + 1 = (x^2 + 2x + 1) + 1 - x^2 = 2x + 2 = 2(x+1) Que é justamente a PA de 2a. ordem que vc encontrou! abraços, Salhab 2010/1/31 Thiago Tarraf Varella thiago_...@hotmail.com Eu vi aí na internet que a multiplicação de 4 naturais consecutivos mais um dará sempre um quadrado perfeito... tentei provar isso mas só levei ferro :/ Olha, primeiro eu tentei fatorar: (x-1)x(x+1)(x+2)+1 (x²-1)x(x+2) (x³-x)(x+2) - x4+2x³-x²-2x+1 - Tentei: x²(x²) + 2x(x²) - 1(x²) - 2x+1 x²(x²+2x-1)-2x+1 ... Tentei: x³(x) + 2x²(x) - x(x) - 2(x) + 1 x(x³+2x-x-2)+1 ... Resolvi procurar alguma semelhança nisso: RAIZ[1*2*3*4+1]=5 RAIZ[2*3*4*5+1]=11 RAIZ[3*4*5*6+1]=19 RAIZ[4*5*6*7+1]=29 Os resultados darão sempre assim: 5 +6 11 +8 19 +10 29 +12 41 +14 55 +16 ... + 18 ... Mas não concluí nada com isso... alguém pode me dar uma luz aí por favor? -- Quer brincar com as suas fotos e fazer álbuns divertidos? Clique aqui e saiba como.http://www.eutenhomaisnowindowslive.com.br/?utm_source=MSN_Hotmailutm_medium=Taglineutm_campaign=InfuseSocial
Re: [obm-l] Luz em algebra
Olá Thiago. No ano passado eu estava olhando umas Eurekas e tinha um problema que chegava numa fatoração muito parecida. Dá pra resolver do jeito que o Salhab mostrou. Pra quem quiser, o problema era esse: Eureka nº 10, p. 49. *76. (Moldávia-2000) *Os números inteiros a, b, c satisfazem à relação a + b + c = 0. Mostre que o número 2a^4 + 2b^4 + 2c^4 é um quadrado perfeito. []s Rafael 2010/1/31 Marcelo Salhab Brogliato msbro...@gmail.com Olá Thiago, continuando de onde vc chegou: x^4+2x^3-x^2-2x+1 Veja que isso é um polinomio reciproco. Vamos colocar x^2 em evidência: x^2(x^2 + 2x - 1 - 2/x + 1/x^2) x^2[x^2 + 1/x^2 + 2(x - 1/x) - 1] Opa! Vamos fazer (x - 1/x) = y Assim: y^2 = x^2 - 2 + 1/x^2, logo: x^2 + 1/x^2 = y^2 + 2 Logo: x^2[y^2 + 2 + 2y - 1] x^2(y+1)^2 Substituindo (x - 1/x) = y, temos: x^2(x - 1/x + 1)^2 [x(x - 1/x + 1)]^2 (x^2 - 1 + x)^2 (x^2 + x - 1)^2 Que é um quadrado perfeito! ;) Obviamente existem outras maneiras de fatorar, só te apresentei a maneira clássica de polinomios reciprocos. Apenas para te mostrar o que vc percebeu qdo testou para vários casos, vamos chamar: f(x) = x^2 + x - 1 Vamos analisar a diferença de dois termos consecutivos: f(x+1) - f(x) = (x+1)^2 + (x+1) - 1 - x^2 - x + 1 = (x^2 + 2x + 1) + 1 - x^2 = 2x + 2 = 2(x+1) Que é justamente a PA de 2a. ordem que vc encontrou! abraços, Salhab 2010/1/31 Thiago Tarraf Varella thiago_...@hotmail.com Eu vi aí na internet que a multiplicação de 4 naturais consecutivos mais um dará sempre um quadrado perfeito... tentei provar isso mas só levei ferro :/ Olha, primeiro eu tentei fatorar: (x-1)x(x+1)(x+2)+1 (x²-1)x(x+2) (x³-x)(x+2) - x4+2x³-x²-2x+1 - Tentei: x²(x²) + 2x(x²) - 1(x²) - 2x+1 x²(x²+2x-1)-2x+1 ... Tentei: x³(x) + 2x²(x) - x(x) - 2(x) + 1 x(x³+2x-x-2)+1 ... Resolvi procurar alguma semelhança nisso: RAIZ[1*2*3*4+1]=5 RAIZ[2*3*4*5+1]=11 RAIZ[3*4*5*6+1]=19 RAIZ[4*5*6*7+1]=29 Os resultados darão sempre assim: 5 +6 11 +8 19 +10 29 +12 41 +14 55 +16 ... + 18 ... Mas não concluí nada com isso... alguém pode me dar uma luz aí por favor? -- Quer brincar com as suas fotos e fazer álbuns divertidos? Clique aqui e saiba como.http://www.eutenhomaisnowindowslive.com.br/?utm_source=MSN_Hotmailutm_medium=Taglineutm_campaign=InfuseSocial
Re: [obm-l] Luz em algebra
Olá Rafael, estava pensando no seu problema e achei mto interessante! Se c=0, o resultado é imediato. Se c!=0, temos: c = -(a+b) Assim, queremos mostrar que 2a^4 + 2b^4 + 2(a+b)^4 é um quadrado perfeito, para todo a e b inteiros. Mas, (a+b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4 Portanto, temos: 4a^4 + 4b^4 + 8a^3b + 12a^2b^2 + 8ab^3 4(a^4 + 2a^3b + 3a^2b^2 + 2ab^3 + b^4) Bom, como sei que quero chegar em um quadrado perfeito, vou brincar com a seguinte expressão: (a^2 + vab + b^2)^2 = a^4 + v^2a^2b^2 + b^4 + 2va^3b + 2a^2b^2 + 2vab^3 hummm... interessante, pois ficamos com a^4 + 2va^3b + (v^2+2)a^2b^2 + 2vab^3 + b^4 Logo, fazendo v=1, temos exatamente a expressão que queremos. Assim, continuando a fatoração inicial: 4(a^2 + ab + b^2)^2, logo, é um quadrado perfeito! Não testei, mas pelo comentário do Rafael, acho que colocar a^2b^2 em evidência funciona. 4a^2b^2[(a/b)^2 + 2a/b + 3 + 2b/a + (b/a)^2] Gostei! (Dica: Faça y=a/b+b/a) Nunca tinha tentado com duas variáveis! ;) abraços, Salhab 2010/1/31 Rafael Cano rgc...@gmail.com Olá Thiago. No ano passado eu estava olhando umas Eurekas e tinha um problema que chegava numa fatoração muito parecida. Dá pra resolver do jeito que o Salhab mostrou. Pra quem quiser, o problema era esse: Eureka nº 10, p. 49. *76. (Moldávia-2000) *Os números inteiros a, b, c satisfazem à relação a + b + c = 0. Mostre que o número 2a^4 + 2b^4 + 2c^4 é um quadrado perfeito. []s Rafael 2010/1/31 Marcelo Salhab Brogliato msbro...@gmail.com Olá Thiago, continuando de onde vc chegou: x^4+2x^3-x^2-2x+1 Veja que isso é um polinomio reciproco. Vamos colocar x^2 em evidência: x^2(x^2 + 2x - 1 - 2/x + 1/x^2) x^2[x^2 + 1/x^2 + 2(x - 1/x) - 1] Opa! Vamos fazer (x - 1/x) = y Assim: y^2 = x^2 - 2 + 1/x^2, logo: x^2 + 1/x^2 = y^2 + 2 Logo: x^2[y^2 + 2 + 2y - 1] x^2(y+1)^2 Substituindo (x - 1/x) = y, temos: x^2(x - 1/x + 1)^2 [x(x - 1/x + 1)]^2 (x^2 - 1 + x)^2 (x^2 + x - 1)^2 Que é um quadrado perfeito! ;) Obviamente existem outras maneiras de fatorar, só te apresentei a maneira clássica de polinomios reciprocos. Apenas para te mostrar o que vc percebeu qdo testou para vários casos, vamos chamar: f(x) = x^2 + x - 1 Vamos analisar a diferença de dois termos consecutivos: f(x+1) - f(x) = (x+1)^2 + (x+1) - 1 - x^2 - x + 1 = (x^2 + 2x + 1) + 1 - x^2 = 2x + 2 = 2(x+1) Que é justamente a PA de 2a. ordem que vc encontrou! abraços, Salhab 2010/1/31 Thiago Tarraf Varella thiago_...@hotmail.com Eu vi aí na internet que a multiplicação de 4 naturais consecutivos mais um dará sempre um quadrado perfeito... tentei provar isso mas só levei ferro :/ Olha, primeiro eu tentei fatorar: (x-1)x(x+1)(x+2)+1 (x²-1)x(x+2) (x³-x)(x+2) - x4+2x³-x²-2x+1 - Tentei: x²(x²) + 2x(x²) - 1(x²) - 2x+1 x²(x²+2x-1)-2x+1 ... Tentei: x³(x) + 2x²(x) - x(x) - 2(x) + 1 x(x³+2x-x-2)+1 ... Resolvi procurar alguma semelhança nisso: RAIZ[1*2*3*4+1]=5 RAIZ[2*3*4*5+1]=11 RAIZ[3*4*5*6+1]=19 RAIZ[4*5*6*7+1]=29 Os resultados darão sempre assim: 5 +6 11 +8 19 +10 29 +12 41 +14 55 +16 ... + 18 ... Mas não concluí nada com isso... alguém pode me dar uma luz aí por favor? -- Quer brincar com as suas fotos e fazer álbuns divertidos? Clique aqui e saiba como.http://www.eutenhomaisnowindowslive.com.br/?utm_source=MSN_Hotmailutm_medium=Taglineutm_campaign=InfuseSocial
