Re: [obm-l] Particao de R
Ô Claudio, valeu você pelo retorno :-)) Foi mal os dias de silêncio, estive fora no fim de semana. Mas vc entendeu o que eu quis dizer com "mal definida" :-) Abraço Will - Original Message - From: "Claudio Buffara" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Friday, October 03, 2003 10:40 AM Subject: Re: [obm-l] Particao de R Oi, Will: Tambem notei esse problema. O que a sua construcao faz eh o seguinte: Dado um intervalo aberto qualquer (a,b) contido em [0,1], eh possivel iterar o processo um numero finito de vezes ateh que se obtenha um intervalo de comprimento 1/3^n, contido em (a,b) e tal que ele possua uma infinidade enumeravel de pontos de A e de B. Ou seja, resolveria o problema se o enunciado fosse: "Dado um intervalo aberto I - arbitrario mas de comprimento >= d, para algum d positivo e FIXO, exibir uma particao de R = A U B tal que A inter I e B inter I sejam nao-enumeraveis." Infelizmente, isso nao eh a mesma coisa que exibir uma particao "pronta" de [0,1] = A U B tal que A e B tenham interseccao nao-enumeravel com todo e qualquer sub-intervalo de [0,1]. O Gugu mostrou uma, mas ela usa alguns resultados que eu nao domino muito. De qualquer jeito, valeu a tentativa! Acho que aprendi algo no processo. Um abraco, Claudio. on 03.10.03 08:34, Will at [EMAIL PROTECTED] wrote: > Acho que minha idéia está meio estranha... > > Me parece que vários números vão alternar indefinidamente entre A e B, sinal > de que a minha contrução está mal definida... > > Will > > - Original Message - > From: "Will" <[EMAIL PROTECTED]> > To: <[EMAIL PROTECTED]> > Sent: Friday, October 03, 2003 12:28 AM > Subject: Re: [obm-l] Particao de R > > > Pensei na seguinte construção... > > Tome o intervalo [0,1] e pinte ele de Branco. > > Divida-o em três pedaços. > Pinte o terço médio (aberto) de Amarelo. > > Até agora tudo muito parecido com o conjunto de Cantor, mas aqui eu apelo um > pouco. > Nos passos seguintes, dividimos cada intervalo Branco em três pedaços, > pintando o terço médio de Amarelo e da mesma forma dividimos cada intervalo > Amarelo em três pedaços, pintando o terço médio de Branco. > > Cada vez que pintamos um terço médio Amarelo com a cor Branca, fazemos isso > de forma a criar um aberto Branco. (e vice versa) > > Terminando, definimos que todos os pontos Amarelos após infinitas iterações > pertencem ao conjunto A e todos os pontos Brancos pertencem ao conjunto B. > > - Resta saber se deixei alguma ambiguidade nessa minha construção... > > Will > > > - Original Message - > From: "Claudio Buffara" <[EMAIL PROTECTED]> > To: "Lista OBM" <[EMAIL PROTECTED]> > Sent: Thursday, October 02, 2003 4:42 PM > Subject: [obm-l] Particao de R > > > Oi, pessoal: > > Alguem saberia exibir uma particao de R (conjunto dos reais) em dois > conjuntos A e B tais que, para todo intervalo aberto I, A inter I e B inter > I sao nao-enumeraveis? > > Um abraco, > Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Particao de R
On Sat, Oct 04, 2003 at 01:03:28AM -0300, Claudio Buffara wrote: > 1) O que significa ser pequeno no sentido de categoria? É o mesmo que ser magro, como no teorema de Baire. Significa que o conjunto está contido em uma união enumerável de fechados de interior vazio. > 2) Eh sabido se "e" ou "Pi" sao ou nao de Liouville? Quanto a pi eu não tenho certeza, talvez o Gugu saiba ou pelo menos saiba quem sabe. Mas o número e é diofantino: basta ver a expansão dele em frações contínuas que é [1,0,1,1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,...] para provar que q^3 * | e - p/q | < C só tem um número finito de soluções (com p, q inteiros, claro) para qualquer C dado. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Particao de R
Oi, Nicolau: Pelo que eu sei, todos os numeros da forma: SOMA(n>=1) a(n)/10^(n!) com a(n) inteiro em [1,9] sao de Liouville. Logo, B possui um subconjunto nao-enumeravel (prova pelo metodo da diagonal). Vou ter que pensar um pouco no que voce disse sobre B ter medida nula e ser uma interseccao enumeravel de abertos densos. * De fato, o 2o. exemplo (algarismo 7) eh bem mais simples, apesar de artificial. * Duas perguntas: 1) O que significa ser pequeno no sentido de categoria? 2) Eh sabido se "e" ou "Pi" sao ou nao de Liouville? Obrigado pelas explicacoes. Um abraco, Claudio. on 03.10.03 17:22, Nicolau C. Saldanha at [EMAIL PROTECTED] wrote: > On Fri, Oct 03, 2003 at 10:40:16AM -0300, Claudio Buffara wrote: >> Oi, Gugu: >> >> Eu entendo que nenhum numero algebrico eh de Liouville. >> Assim, o conjunto X dos algebricos irracionais estah contido em A. >> Mas X eh enumeravel, logo A - X deve ser nao-enumeravel. >> Voce pode exibir algum elemento de A - X (ou seja, um transcendente que nao >> eh de Louville)? > > Sem responder a sua pergunta, mas provando que A e B têm as propriedades > que você pediu... > > O conjunto A (diofantinos) é grande no sentido de medida e pequeno > no sentido de categoria enquanto B é exatamente o contrário: > tem medida nula mas é uma união enumerável de abertos densos. > > Um exemplo menos interessante mas talvez mais fácil de explicar: > A é o conjunto dos números reais em que o algarismo 7 só aparece > um número finito de vezes na expansão decimal. > > []s, N. > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Particao de R
On Fri, Oct 03, 2003 at 05:22:23PM -0300, Nicolau C. Saldanha wrote: > O conjunto A (diofantinos) é grande no sentido de medida e pequeno > no sentido de categoria enquanto B é exatamente o contrário: > tem medida nula mas é uma união enumerável de abertos densos. Desculpe, *interseção* enumerável de abertos densos. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Particao de R
On Fri, Oct 03, 2003 at 10:40:16AM -0300, Claudio Buffara wrote: > Oi, Gugu: > > Eu entendo que nenhum numero algebrico eh de Liouville. > Assim, o conjunto X dos algebricos irracionais estah contido em A. > Mas X eh enumeravel, logo A - X deve ser nao-enumeravel. > Voce pode exibir algum elemento de A - X (ou seja, um transcendente que nao > eh de Louville)? Sem responder a sua pergunta, mas provando que A e B têm as propriedades que você pediu... O conjunto A (diofantinos) é grande no sentido de medida e pequeno no sentido de categoria enquanto B é exatamente o contrário: tem medida nula mas é uma união enumerável de abertos densos. Um exemplo menos interessante mas talvez mais fácil de explicar: A é o conjunto dos números reais em que o algarismo 7 só aparece um número finito de vezes na expansão decimal. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Particao de R
Oi, Will: Tambem notei esse problema. O que a sua construcao faz eh o seguinte: Dado um intervalo aberto qualquer (a,b) contido em [0,1], eh possivel iterar o processo um numero finito de vezes ateh que se obtenha um intervalo de comprimento 1/3^n, contido em (a,b) e tal que ele possua uma infinidade enumeravel de pontos de A e de B. Ou seja, resolveria o problema se o enunciado fosse: "Dado um intervalo aberto I - arbitrario mas de comprimento >= d, para algum d positivo e FIXO, exibir uma particao de R = A U B tal que A inter I e B inter I sejam nao-enumeraveis." Infelizmente, isso nao eh a mesma coisa que exibir uma particao "pronta" de [0,1] = A U B tal que A e B tenham interseccao nao-enumeravel com todo e qualquer sub-intervalo de [0,1]. O Gugu mostrou uma, mas ela usa alguns resultados que eu nao domino muito. De qualquer jeito, valeu a tentativa! Acho que aprendi algo no processo. Um abraco, Claudio. on 03.10.03 08:34, Will at [EMAIL PROTECTED] wrote: > Acho que minha idéia está meio estranha... > > Me parece que vários números vão alternar indefinidamente entre A e B, sinal > de que a minha contrução está mal definida... > > Will > > - Original Message - > From: "Will" <[EMAIL PROTECTED]> > To: <[EMAIL PROTECTED]> > Sent: Friday, October 03, 2003 12:28 AM > Subject: Re: [obm-l] Particao de R > > > Pensei na seguinte construção... > > Tome o intervalo [0,1] e pinte ele de Branco. > > Divida-o em três pedaços. > Pinte o terço médio (aberto) de Amarelo. > > Até agora tudo muito parecido com o conjunto de Cantor, mas aqui eu apelo um > pouco. > Nos passos seguintes, dividimos cada intervalo Branco em três pedaços, > pintando o terço médio de Amarelo e da mesma forma dividimos cada intervalo > Amarelo em três pedaços, pintando o terço médio de Branco. > > Cada vez que pintamos um terço médio Amarelo com a cor Branca, fazemos isso > de forma a criar um aberto Branco. (e vice versa) > > Terminando, definimos que todos os pontos Amarelos após infinitas iterações > pertencem ao conjunto A e todos os pontos Brancos pertencem ao conjunto B. > > - Resta saber se deixei alguma ambiguidade nessa minha construção... > > Will > > > - Original Message - > From: "Claudio Buffara" <[EMAIL PROTECTED]> > To: "Lista OBM" <[EMAIL PROTECTED]> > Sent: Thursday, October 02, 2003 4:42 PM > Subject: [obm-l] Particao de R > > > Oi, pessoal: > > Alguem saberia exibir uma particao de R (conjunto dos reais) em dois > conjuntos A e B tais que, para todo intervalo aberto I, A inter I e B inter > I sao nao-enumeraveis? > > Um abraco, > Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Particao de R
Oi, Gugu:
Eu entendo que nenhum numero algebrico eh de Liouville.
Assim, o conjunto X dos algebricos irracionais estah contido em A.
Mas X eh enumeravel, logo A - X deve ser nao-enumeravel.
Voce pode exibir algum elemento de A - X (ou seja, um transcendente que nao
eh de Louville)?
Mais uma vez obrigado pela ajuda.
Um abraco,
Claudio.
on 03.10.03 01:12, Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira at [EMAIL PROTECTED]
wrote:
> Uma bem classica e' A={numeros diofantinos} e B=Q U {numeros de Liouville}.
> Um numero irracional x e' de Liouville se |x-p/q|<1/q^n tem solucao racional
> p/q com q>=2 para todo n natural, e e' diofantino caso contrario.
> Abracos,
> Gugu
>
>>
>> Oi, pessoal:
>>
>> Alguem saberia exibir uma particao de R (conjunto dos reais) em dois
>> conjuntos A e B tais que, para todo intervalo aberto I, A inter I e B inter
>> I sao nao-enumeraveis?
>>
>> Um abraco,
>> Claudio.
>>
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Particao de R
Oi, Will: Acho que a sua ideia dah certo. Depois da n-esima iteracao, voce terah 3^n sub-intervalos, cada um de tamanho 1/3^n e tais que, chamando c(k) = cor do k-esimo sub-intervalo: c(2m) = amarelo c(2m - 1) = branco, para m inteiro positivo. Alem disso, a soma dos comprimentos dos intervalos amarelos produzidos em cada iteracao forma uma sequencia crescente: 1/3, 4/9, 13/27, ..., (1/2)*(1 - 1/3^n), ... e a soma dos comprimenmtos dos intervalos brancos forma uma sequencia decrescente: 2/3, 5/9, 14/27, ..., (1/2)*(1 + 1/3^n), ... Ambas convergem para 1/2, o que implica que A e B sao nao enumeraveis (jah que todo subconjunto enumeravel de R tem comprimento zero). Alem disso, uma analise semelhante de qualquer sub-intervalo produzido a partir da n-esima iteracao irah provar que este intervalo (de comprimento 1/3^n) possui uma infinidade nao-enumeravel de pontos de A e de B. Agora, sejam a e b reais tais que 0 <= a < b < 1. Como 1/3^n tende a zero, existem m e p naturais tais que: a < p/3^m < (p+1)/3^m < b. Assim, qualquer intervalo (a,b) conterah um sub-intervalo produzido em alguma iteracao do processo e, portanto, terah interseccao nao enumeravel com A e B. Finalmente, eh soh repetir a construcao para todos os intervalos da forma [k,k+1) com k inteiro, e teremos uma particao da reta em dois subconjuntos com a propriedade desejada. Gostei! Um abraco, Claudio. on 03.10.03 00:28, Will at [EMAIL PROTECTED] wrote: > Pensei na seguinte construção... > > Tome o intervalo [0,1] e pinte ele de Branco. > > Divida-o em três pedaços. > Pinte o terço médio (aberto) de Amarelo. > > Até agora tudo muito parecido com o conjunto de Cantor, mas aqui eu apelo um > pouco. > Nos passos seguintes, dividimos cada intervalo Branco em três pedaços, > pintando o terço médio de Amarelo e da mesma forma dividimos cada intervalo > Amarelo em três pedaços, pintando o terço médio de Branco. > > Cada vez que pintamos um terço médio Amarelo com a cor Branca, fazemos isso > de forma a criar um aberto Branco. (e vice versa) > > Terminando, definimos que todos os pontos Amarelos após infinitas iterações > pertencem ao conjunto A e todos os pontos Brancos pertencem ao conjunto B. > > - Resta saber se deixei alguma ambiguidade nessa minha construção... > > Will > > > - Original Message - > From: "Claudio Buffara" <[EMAIL PROTECTED]> > To: "Lista OBM" <[EMAIL PROTECTED]> > Sent: Thursday, October 02, 2003 4:42 PM > Subject: [obm-l] Particao de R > > > Oi, pessoal: > > Alguem saberia exibir uma particao de R (conjunto dos reais) em dois > conjuntos A e B tais que, para todo intervalo aberto I, A inter I e B inter > I sao nao-enumeraveis? > > Um abraco, > Claudio. > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Particao de R
Acho que minha idéia está meio estranha... Me parece que vários números vão alternar indefinidamente entre A e B, sinal de que a minha contrução está mal definida... Will - Original Message - From: "Will" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Friday, October 03, 2003 12:28 AM Subject: Re: [obm-l] Particao de R Pensei na seguinte construção... Tome o intervalo [0,1] e pinte ele de Branco. Divida-o em três pedaços. Pinte o terço médio (aberto) de Amarelo. Até agora tudo muito parecido com o conjunto de Cantor, mas aqui eu apelo um pouco. Nos passos seguintes, dividimos cada intervalo Branco em três pedaços, pintando o terço médio de Amarelo e da mesma forma dividimos cada intervalo Amarelo em três pedaços, pintando o terço médio de Branco. Cada vez que pintamos um terço médio Amarelo com a cor Branca, fazemos isso de forma a criar um aberto Branco. (e vice versa) Terminando, definimos que todos os pontos Amarelos após infinitas iterações pertencem ao conjunto A e todos os pontos Brancos pertencem ao conjunto B. - Resta saber se deixei alguma ambiguidade nessa minha construção... Will - Original Message - From: "Claudio Buffara" <[EMAIL PROTECTED]> To: "Lista OBM" <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Thursday, October 02, 2003 4:42 PM Subject: [obm-l] Particao de R Oi, pessoal: Alguem saberia exibir uma particao de R (conjunto dos reais) em dois conjuntos A e B tais que, para todo intervalo aberto I, A inter I e B inter I sao nao-enumeraveis? Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Particao de R
De jeito nenhum, vc estah certo. Me enganei. Alias, por este mesmo
motivo, para todo natural n, {x reais : x^n eh racional} eh numeravel.
Artur
> Artur,
>
> Espero não estar falando bobagem, mas me parece que
> A é composto só de números algébricos e, portanto, enumerável...
>
> Will
>
>
>
> - Original Message -
> From: "Artur Costa Steiner" <[EMAIL PROTECTED]>
> To: <[EMAIL PROTECTED]>
> Sent: Thursday, October 02, 2003 10:59 PM
> Subject: RE: [obm-l] Particao de R
>
>
> Claudio, nao deu ainda para pensar, mas, quase que de bate pronto: A =
> {x : x^2 eh racional} e B= {x : x^2 eh irracional}.
> Artur
>
> > -Original Message-
> > From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:owner-obm-
> > [EMAIL PROTECTED] On Behalf Of Claudio Buffara
> > Sent: Thursday, October 02, 2003 4:42 PM
> > To: Lista OBM
> > Subject: [obm-l] Particao de R
> >
> > Oi, pessoal:
> >
> > Alguem saberia exibir uma particao de R (conjunto dos reais) em dois
> > conjuntos A e B tais que, para todo intervalo aberto I, A inter I e
B
> > inter
> > I sao nao-enumeraveis?
> >
> > Um abraco,
> > Claudio.
> >
> >
>
> =
> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> >
>
> =
>
>
=
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>
=
>
>
>
=
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>
=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
RE: [obm-l] Particao de R
De fato! A eh subconjunto dos algebricos...
Artur
-Original Message-
From: [EMAIL PROTECTED]
[mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of A. C. Morgado
Sent: Thursday, October 02, 2003 11:13 PM
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: [obm-l] Particao de R
A eh enumeravel.
Artur Costa Steiner wrote:
Claudio, nao deu ainda para pensar, mas, quase que de bate pronto: A =
{x : x^2 eh racional} e B= {x : x^2 eh irracional}.
Artur
-Original Message-
From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:owner-obm-
[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of Claudio Buffara
Sent: Thursday, October 02, 2003 4:42 PM
To: Lista OBM
Subject: [obm-l] Particao de R
Oi, pessoal:
Alguem saberia exibir uma particao de R (conjunto dos reais) em dois
conjuntos A e B tais que, para todo intervalo aberto I, A inter I e B
inter
I sao nao-enumeraveis?
Um abraco,
Claudio.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Particao de R
Uma bem classica e' A={numeros diofantinos} e B=Q U {numeros de Liouville}.
Um numero irracional x e' de Liouville se |x-p/q|<1/q^n tem solucao racional
p/q com q>=2 para todo n natural, e e' diofantino caso contrario.
Abracos,
Gugu
>
>Oi, pessoal:
>
>Alguem saberia exibir uma particao de R (conjunto dos reais) em dois
>conjuntos A e B tais que, para todo intervalo aberto I, A inter I e B inter
>I sao nao-enumeraveis?
>
>Um abraco,
>Claudio.
>
>=
>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Particao de R
Pensei na seguinte construção... Tome o intervalo [0,1] e pinte ele de Branco. Divida-o em três pedaços. Pinte o terço médio (aberto) de Amarelo. Até agora tudo muito parecido com o conjunto de Cantor, mas aqui eu apelo um pouco. Nos passos seguintes, dividimos cada intervalo Branco em três pedaços, pintando o terço médio de Amarelo e da mesma forma dividimos cada intervalo Amarelo em três pedaços, pintando o terço médio de Branco. Cada vez que pintamos um terço médio Amarelo com a cor Branca, fazemos isso de forma a criar um aberto Branco. (e vice versa) Terminando, definimos que todos os pontos Amarelos após infinitas iterações pertencem ao conjunto A e todos os pontos Brancos pertencem ao conjunto B. - Resta saber se deixei alguma ambiguidade nessa minha construção... Will - Original Message - From: "Claudio Buffara" <[EMAIL PROTECTED]> To: "Lista OBM" <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Thursday, October 02, 2003 4:42 PM Subject: [obm-l] Particao de R Oi, pessoal: Alguem saberia exibir uma particao de R (conjunto dos reais) em dois conjuntos A e B tais que, para todo intervalo aberto I, A inter I e B inter I sao nao-enumeraveis? Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Particao de R
Artur,
Espero não estar falando bobagem, mas me parece que
A é composto só de números algébricos e, portanto, enumerável...
Will
- Original Message -
From: "Artur Costa Steiner" <[EMAIL PROTECTED]>
To: <[EMAIL PROTECTED]>
Sent: Thursday, October 02, 2003 10:59 PM
Subject: RE: [obm-l] Particao de R
Claudio, nao deu ainda para pensar, mas, quase que de bate pronto: A =
{x : x^2 eh racional} e B= {x : x^2 eh irracional}.
Artur
> -Original Message-
> From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:owner-obm-
> [EMAIL PROTECTED] On Behalf Of Claudio Buffara
> Sent: Thursday, October 02, 2003 4:42 PM
> To: Lista OBM
> Subject: [obm-l] Particao de R
>
> Oi, pessoal:
>
> Alguem saberia exibir uma particao de R (conjunto dos reais) em dois
> conjuntos A e B tais que, para todo intervalo aberto I, A inter I e B
> inter
> I sao nao-enumeraveis?
>
> Um abraco,
> Claudio.
>
>
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>
=
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: [obm-l] Particao de R
A eh enumeravel.
Artur Costa Steiner wrote:
Claudio, nao deu ainda para pensar, mas, quase que de bate pronto: A =
{x : x^2 eh racional} e B= {x : x^2 eh irracional}.
Artur
-Original Message-
From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:owner-obm-
[EMAIL PROTECTED]] On Behalf Of Claudio Buffara
Sent: Thursday, October 02, 2003 4:42 PM
To: Lista OBM
Subject: [obm-l] Particao de R
Oi, pessoal:
Alguem saberia exibir uma particao de R (conjunto dos reais) em dois
conjuntos A e B tais que, para todo intervalo aberto I, A inter I e B
inter
I sao nao-enumeraveis?
Um abraco,
Claudio.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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RE: [obm-l] Particao de R
Claudio, nao deu ainda para pensar, mas, quase que de bate pronto: A =
{x : x^2 eh racional} e B= {x : x^2 eh irracional}.
Artur
> -Original Message-
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> Sent: Thursday, October 02, 2003 4:42 PM
> To: Lista OBM
> Subject: [obm-l] Particao de R
>
> Oi, pessoal:
>
> Alguem saberia exibir uma particao de R (conjunto dos reais) em dois
> conjuntos A e B tais que, para todo intervalo aberto I, A inter I e B
> inter
> I sao nao-enumeraveis?
>
> Um abraco,
> Claudio.
>
>
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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