Re: [obm-l] convergencia da sequencia das derivadas
A dificuldade eh que se trata de um problema no qual
as funcoes sao obtidas por um modelo de simulacao.
Basicamente, eu tenho um modelo que simula a operacao
do sistema eletrico brasileiro e, com base em
programacao dinamica estocastica, procura minimizar o
custo total de operacao. Conforme seja a carga q>=0 do
sistema, temos um custo total C(q), composto por
custos com combustiveis e custos da energia nao
suprida.
Ese modelo eh muito pesado, leva 6 horas de
processamente em Pentiums de 2,4 GHz de CPU. Eu estou
tentando encontrar uma forma pratica de, com base nas
saidas para uma carga q_0, estimar em uma planilha o
custo total e, principalmente, o marginal, para uma
nova carga q. Nos desenvolvemos alguns estudos e temos
uma sequencia de funcoes C_n que eu espero convirja
para o custo total C. Esta funcoes sao diferenciaveis
em (0, oo), (o algoritmo nao funcioma para q =0),
embora eu nao tenha uma formula fechada para as
mesmas. Cada C'_n eh crescente, o que implica que seja
tambem continua. Alem disto, para cada q, {C'_n(q)} eh
uma sequencia crescente e limitada de reais, logo
convergente. Assim, temos que C'_n coverge para alguma
funcao G. Utilizando o teorema de Polya ou, no caso,
o de Dini, podemos afirmar que em qualquer intervalo
compacto de (0, oo) a convergencia C'_n --> G eh
uniforme.
Se eu agora pudese garantir que para algum u>0 a
sequencia de reais (C_n(u)) fosse convergente, eu
teria o resultado desejado. Mas o meu algoritmo para
as derivadas nao funciona em q=0. Eh verdade que,
trivialmente, C_n(0) = 0 pra todo n, mas 0 nao
pertence a (0, oo). Assim, eu estou tentando provar
que que para todo n existe lim (q -->0+) C'_n(q). Tudo
indica que sim,mas nao tenho uma prova matematica.
Outro problema eh que, embora a convergencia de C'_n
--> G seja uniforme em [k1, k2] para todos 0 < k1 <
k2, isso nao garante convergencia uniforme em (0, oo)
e nem mesmo em [0, k] para algum k> 0. Logo, eu ainda
nao consegui extender para [0, oo) a convergencia da
seq. das derivadas. Na realidae, eu nao preciso
trabalhar em [0, oo) , posso me restringir a um
intervalo do tipo [0, M]. Minha carga maxima eh sempre
finita e possoa admiti-la conhecida. Mas o problema
estah no zero.
Agradeco o interesse.
Artur
--- Bernardo Freitas Paulo da Costa
<[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> Você não tem nem um "zero" onde você possa calcular
> fácil o "f(u)" limite não?
> E quanto ao teorema de Lebesgue, ele é realmente
> muito mais forte, mas
> repare que ele dá conclusões \mu-qtp, em vez de R;
> além disso, esse é
> um resultado clássico em Teoria da Integração à
> Riemman (que você pode
> achar - e eu concordo - ultrapassada em muito em
> utilidade pela de
> Lebesgue) que ainda assim tem um pouco de aplicação.
>
> Fiquei curioso: você pode dar detalhes desta suas
> "g_n"?
>
> Abraços,
> --
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>
>
> On 8/18/05, Artur Costa Steiner
> <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> > No meu caso, eu tenho um a sequencia de derivadas
> que
> > converge uniformente para uma funcao g. Mas nao
> > consegui provar que existe um ponto u no qual a
> > sequencia das primitivas converge. Eh por isso que
> eu
> > estava querendo descobrir, se possivel, alguma
> outra
> > condicao que me garantissse a convergencia da
> > sequencia das primitivas. Mas nao achei.
> >
> > No caso de sequencias de funcoes dadas por
> integrais,
> > eh algumas vezes mais facil provar convergencia
> usando
> > o Teorema da Convergencia Dominada, de Lerbesgue.
> >
> > Artur
> >
> > --- Bernardo Freitas Paulo da Costa
> > <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> >
> > > Bom, apesar de o Cláudio ter muito bem explicado
> > > porque precisa da hipótese
> > > de convergência de f_n(u) para algum u, existe
> ainda
> > > um pouco de utilidade
> > > para este teorema, uma vez que ele normalmente é
> > > usado para provar
> > > convergência de funções definidas por integrais,
> que
> > > então tem todas um
> > > ponto comum (por exemplo, valem zero no ponto
> > > inicial no caso de funções
> > > \int_a^x g_n(t) dt)
> > >
> > > Tentando fazer uma demostração, o importante da
> > > convergência em um ponto da
> > > série f_n(u) é poder usar justamente uma idéia
> de
> > > "trocar derivada com
> > > integral", usando que você tem um ponto (este u
> > > especial) onde as séries
> > > coincidem no infinito (ou seja, para n
> > > suficientemente grande, | f_n(u) -
> > > f(u) | < eps/2), e do argumento de convergência
> das
> > > derivadas, você pode
> > > definir uma
> > > f(u+h) = f(u) + \int_0^h g(u+t) dt
> > > Daí, você deve achar algo como | f_n(u+h) -
> f(u+h) |
> > > = | \int_0^h g_n(u+t)dt
> > > - \int_0^h g(u+t)dt | + | f_n(u) - f(u) |. Da
> > > convergência uniforme das g_n,
> > > você tem a convergência da integral da diferença
> > > para zero, e portanto você
> > > (se quiser que f_n(u+h) -> f(u+h) ) tem que ter
> > > também convergência de
> > > f_n(u) para f(u). Repare que em geral pode ser
> fácil
> > > achar um ponto onde
> > > estas funções coin
Re: [obm-l] convergencia da sequencia das derivadas
Você não tem nem um "zero" onde você possa calcular fácil o "f(u)" limite não? E quanto ao teorema de Lebesgue, ele é realmente muito mais forte, mas repare que ele dá conclusões \mu-qtp, em vez de R; além disso, esse é um resultado clássico em Teoria da Integração à Riemman (que você pode achar - e eu concordo - ultrapassada em muito em utilidade pela de Lebesgue) que ainda assim tem um pouco de aplicação. Fiquei curioso: você pode dar detalhes desta suas "g_n"? Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa On 8/18/05, Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > No meu caso, eu tenho um a sequencia de derivadas que > converge uniformente para uma funcao g. Mas nao > consegui provar que existe um ponto u no qual a > sequencia das primitivas converge. Eh por isso que eu > estava querendo descobrir, se possivel, alguma outra > condicao que me garantissse a convergencia da > sequencia das primitivas. Mas nao achei. > > No caso de sequencias de funcoes dadas por integrais, > eh algumas vezes mais facil provar convergencia usando > o Teorema da Convergencia Dominada, de Lerbesgue. > > Artur > > --- Bernardo Freitas Paulo da Costa > <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > > > Bom, apesar de o Cláudio ter muito bem explicado > > porque precisa da hipótese > > de convergência de f_n(u) para algum u, existe ainda > > um pouco de utilidade > > para este teorema, uma vez que ele normalmente é > > usado para provar > > convergência de funções definidas por integrais, que > > então tem todas um > > ponto comum (por exemplo, valem zero no ponto > > inicial no caso de funções > > \int_a^x g_n(t) dt) > > > > Tentando fazer uma demostração, o importante da > > convergência em um ponto da > > série f_n(u) é poder usar justamente uma idéia de > > "trocar derivada com > > integral", usando que você tem um ponto (este u > > especial) onde as séries > > coincidem no infinito (ou seja, para n > > suficientemente grande, | f_n(u) - > > f(u) | < eps/2), e do argumento de convergência das > > derivadas, você pode > > definir uma > > f(u+h) = f(u) + \int_0^h g(u+t) dt > > Daí, você deve achar algo como | f_n(u+h) - f(u+h) | > > = | \int_0^h g_n(u+t)dt > > - \int_0^h g(u+t)dt | + | f_n(u) - f(u) |. Da > > convergência uniforme das g_n, > > você tem a convergência da integral da diferença > > para zero, e portanto você > > (se quiser que f_n(u+h) -> f(u+h) ) tem que ter > > também convergência de > > f_n(u) para f(u). Repare que em geral pode ser fácil > > achar um ponto onde > > estas funções coincidem, utilizando alguma > > particularidade das funcões g_n. > > > > Abraços, > > -- > > Bernardo Freitas Paulo da Costa > > > > > > On 8/16/05, claudio.buffara > > <[EMAIL PROTECTED] > wrote: > > > > > >*De:* [EMAIL PROTECTED] > > > *Para:* "OBM-l (E-mail)" obm-l@mat.puc-rio.br > > > *Cópia:* > > >*Data:* Tue, 16 Aug 2005 11:36:41 -0300 > > > *Assunto:* [obm-l] convergencia da sequencia das > > derivadas > > > > Bom dia a todos > > > > > > > > Seja f_n uma sequencia de funcoes definidas e > > diferenciaveis em um > > > intervalo > > > > I de R. Suponhamos que a sequencia das derivadas > > f'_n convirja > > > uniformemente > > > > em I para uma funcao g. Hah um teorema que diz > > que, se a sequencia de > > > numero > > > > reais f_n(u) convergir para algum u de I, entao > > f_n converge > > > uniformemente > > > > em I para uma funcao f tal que f' = g em I. Esta > > ultima condicao eh > > > > realmente essencial? > > > Sim. Suponha que f_n: I -> R é dada por: > > > f_n(x) = x + (-1)^n. > > > Cada f_n é diferenciável e (f_n') converge > > uniformemente para a função > > > constante e igual a 1. No entanto, (f_n) não > > converge. > > > Repare que, qualquer que seja u em I, f_n(u) não > > converge. > > > Se soubermos que f'_n converge uniformemente em > > I, já > > > > podemos entao fazer alguma inferencia quanto aa > > convergencia das > > > primitivas? > > > Não, conforme o exemplo acima. > > > > Se adicionarmos a hipotese de as f'_n sao > > continuas, temos entao alguma > > > > conclusao interessante, alem de que g eh > > continua? > > > > > > > Não que eu saiba. É claro que f_n' contínua ==> > > f_n' integrável. Mas > > > continuamos a precisar da convergência de (f_n(u)) > > para algum u. > > > > Eu acho que hah um teorema que se refere ao > > caso em que as f'_n sao > > > > Lipschitz, mas nao sei qual eh. > > > > > > > Me parece que a condição de (f_n(u)) ser > > convergente para algum u > > > permanece necessária. > > > []s, > > > Claudio. > > > > > > > > __ > Do You Yahoo!? > Tired of spam? Yahoo! Mail has the best spam protection around > http://mail.yahoo.com > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = > ===
Re: [obm-l] convergencia da sequencia das derivadas
No meu caso, eu tenho um a sequencia de derivadas que converge uniformente para uma funcao g. Mas nao consegui provar que existe um ponto u no qual a sequencia das primitivas converge. Eh por isso que eu estava querendo descobrir, se possivel, alguma outra condicao que me garantissse a convergencia da sequencia das primitivas. Mas nao achei. No caso de sequencias de funcoes dadas por integrais, eh algumas vezes mais facil provar convergencia usando o Teorema da Convergencia Dominada, de Lerbesgue. Artur --- Bernardo Freitas Paulo da Costa <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > Bom, apesar de o Cláudio ter muito bem explicado > porque precisa da hipótese > de convergência de f_n(u) para algum u, existe ainda > um pouco de utilidade > para este teorema, uma vez que ele normalmente é > usado para provar > convergência de funções definidas por integrais, que > então tem todas um > ponto comum (por exemplo, valem zero no ponto > inicial no caso de funções > \int_a^x g_n(t) dt) > > Tentando fazer uma demostração, o importante da > convergência em um ponto da > série f_n(u) é poder usar justamente uma idéia de > "trocar derivada com > integral", usando que você tem um ponto (este u > especial) onde as séries > coincidem no infinito (ou seja, para n > suficientemente grande, | f_n(u) - > f(u) | < eps/2), e do argumento de convergência das > derivadas, você pode > definir uma > f(u+h) = f(u) + \int_0^h g(u+t) dt > Daí, você deve achar algo como | f_n(u+h) - f(u+h) | > = | \int_0^h g_n(u+t)dt > - \int_0^h g(u+t)dt | + | f_n(u) - f(u) |. Da > convergência uniforme das g_n, > você tem a convergência da integral da diferença > para zero, e portanto você > (se quiser que f_n(u+h) -> f(u+h) ) tem que ter > também convergência de > f_n(u) para f(u). Repare que em geral pode ser fácil > achar um ponto onde > estas funções coincidem, utilizando alguma > particularidade das funcões g_n. > > Abraços, > -- > Bernardo Freitas Paulo da Costa > > > On 8/16/05, claudio.buffara > <[EMAIL PROTECTED] > wrote: > > > >*De:* [EMAIL PROTECTED] > > *Para:* "OBM-l (E-mail)" obm-l@mat.puc-rio.br > > *Cópia:* > >*Data:* Tue, 16 Aug 2005 11:36:41 -0300 > > *Assunto:* [obm-l] convergencia da sequencia das > derivadas > > > Bom dia a todos > > > > > > Seja f_n uma sequencia de funcoes definidas e > diferenciaveis em um > > intervalo > > > I de R. Suponhamos que a sequencia das derivadas > f'_n convirja > > uniformemente > > > em I para uma funcao g. Hah um teorema que diz > que, se a sequencia de > > numero > > > reais f_n(u) convergir para algum u de I, entao > f_n converge > > uniformemente > > > em I para uma funcao f tal que f' = g em I. Esta > ultima condicao eh > > > realmente essencial? > > Sim. Suponha que f_n: I -> R é dada por: > > f_n(x) = x + (-1)^n. > > Cada f_n é diferenciável e (f_n') converge > uniformemente para a função > > constante e igual a 1. No entanto, (f_n) não > converge. > > Repare que, qualquer que seja u em I, f_n(u) não > converge. > > Se soubermos que f'_n converge uniformemente em > I, já > > > podemos entao fazer alguma inferencia quanto aa > convergencia das > > primitivas? > > Não, conforme o exemplo acima. > > > Se adicionarmos a hipotese de as f'_n sao > continuas, temos entao alguma > > > conclusao interessante, alem de que g eh > continua? > > > > > Não que eu saiba. É claro que f_n' contínua ==> > f_n' integrável. Mas > > continuamos a precisar da convergência de (f_n(u)) > para algum u. > > > Eu acho que hah um teorema que se refere ao > caso em que as f'_n sao > > > Lipschitz, mas nao sei qual eh. > > > > > Me parece que a condição de (f_n(u)) ser > convergente para algum u > > permanece necessária. > > []s, > > Claudio. > > > __ Do You Yahoo!? Tired of spam? Yahoo! Mail has the best spam protection around http://mail.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] convergencia da sequencia das derivadas
Bom, apesar de o Cláudio ter muito bem explicado porque precisa da hipótese de convergência de f_n(u) para algum u, existe ainda um pouco de utilidade para este teorema, uma vez que ele normalmente é usado para provar convergência de funções definidas por integrais, que então tem todas um ponto comum (por exemplo, valem zero no ponto inicial no caso de funções \int_a^x g_n(t) dt) Tentando fazer uma demostração, o importante da convergência em um ponto da série f_n(u) é poder usar justamente uma idéia de "trocar derivada com integral", usando que você tem um ponto (este u especial) onde as séries coincidem no infinito (ou seja, para n suficientemente grande, | f_n(u) - f(u) | < eps/2), e do argumento de convergência das derivadas, você pode definir uma f(u+h) = f(u) + \int_0^h g(u+t) dt Daí, você deve achar algo como | f_n(u+h) - f(u+h) | = | \int_0^h g_n(u+t)dt - \int_0^h g(u+t)dt | + | f_n(u) - f(u) |. Da convergência uniforme das g_n, você tem a convergência da integral da diferença para zero, e portanto você (se quiser que f_n(u+h) -> f(u+h) ) tem que ter também convergência de f_n(u) para f(u). Repare que em geral pode ser fácil achar um ponto onde estas funções coincidem, utilizando alguma particularidade das funcões g_n. Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa On 8/16/05, claudio.buffara <[EMAIL PROTECTED] > wrote: De: [EMAIL PROTECTED] Para: "OBM-l (E-mail)" obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Tue, 16 Aug 2005 11:36:41 -0300 Assunto: [obm-l] convergencia da sequencia das derivadas > Bom dia a todos > > Seja f_n uma sequencia de funcoes definidas e diferenciaveis em um intervalo > I de R. Suponhamos que a sequencia das derivadas f'_n convirja uniformemente > em I para uma funcao g. Hah um teorema que diz que, se a sequencia de numero > reais f_n(u) convergir para algum u de I, entao f_n converge uniformemente > em I para uma funcao f tal que f' = g em I. Esta ultima condicao eh > realmente essencial? Sim. Suponha que f_n: I -> R é dada por: f_n(x) = x + (-1)^n. Cada f_n é diferenciável e (f_n') converge uniformemente para a função constante e igual a 1. No entanto, (f_n) não converge. Repare que, qualquer que seja u em I, f_n(u) não converge. Se soubermos que f'_n converge uniformemente em I, já > podemos entao fazer alguma inferencia quanto aa convergencia das primitivas? Não, conforme o exemplo acima. > Se adicionarmos a hipotese de as f'_n sao continuas, temos entao alguma > conclusao interessante, alem de que g eh continua? > Não que eu saiba. É claro que f_n' contínua ==> f_n' integrável. Mas continuamos a precisar da convergência de (f_n(u)) para algum u. > Eu acho que hah um teorema que se refere ao caso em que as f'_n sao > Lipschitz, mas nao sei qual eh. > Me parece que a condição de (f_n(u)) ser convergente para algum u permanece necessária. []s, Claudio.
Re:[obm-l] convergencia da sequencia das derivadas
Quoting "claudio\\.buffara" <[EMAIL PROTECTED]>: > > De:[EMAIL PROTECTED] > > Para:"OBM-l (E-mail)" obm-l@mat.puc-rio.br > > Cópia: > > Data:Tue, 16 Aug 2005 11:36:41 -0300 > > Assunto:[obm-l] convergencia da sequencia das derivadas > > > Bom dia a todos > > > > Seja f_n uma sequencia de funcoes definidas e diferenciaveis em um > intervalo > > I de R. Suponhamos que a sequencia das derivadas f'_n convirja > uniformemente > > em I para uma funcao g. Hah um teorema que diz que, se a sequencia de > numero > > reais f_n(u) convergir para algum u de I, entao f_n converge uniformemente > > em I para uma funcao f tal que f' = g em I. Esta ultima condicao eh > > realmente essencial? > > Sim. Suponha que f_n: I -> R é dada por: > f_n(x) = n. > Cada f_n é diferenciável e (f_n') converge uniformemente para a função > constante e igual a 0. No entanto, (f_n) não converge. > Repare que, qualquer que seja u em I, f_n(u) não converge. > > Se soubermos que f'_n converge uniformemente em I, já > > podemos entao fazer alguma inferencia quanto aa convergencia das > primitivas? > > Não, conforme o exemplo acima. > > > Se adicionarmos a hipotese de as f'_n sao continuas, temos entao alguma > > conclusao interessante, alem de que g eh continua? > > > Não que eu saiba. É claro que f_n' contínua ==> f_n' integrável. Mas > continuamos a precisar da convergência de (f_n(u)) para algum u. > > > Eu acho que hah um teorema que se refere ao caso em que as f'_n sao > > Lipschitz, mas nao sei qual eh. > > > Me parece que a condição de (f_n(u)) ser convergente para algum u permanece > necessária. > > []s, > Claudio. > Angelo Barone Netto <[EMAIL PROTECTED]> = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re:[obm-l] convergencia da sequencia das derivadas
De: [EMAIL PROTECTED] Para: "OBM-l (E-mail)" obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Tue, 16 Aug 2005 11:36:41 -0300 Assunto: [obm-l] convergencia da sequencia das derivadas > Bom dia a todos > > Seja f_n uma sequencia de funcoes definidas e diferenciaveis em um intervalo > I de R. Suponhamos que a sequencia das derivadas f'_n convirja uniformemente > em I para uma funcao g. Hah um teorema que diz que, se a sequencia de numero > reais f_n(u) convergir para algum u de I, entao f_n converge uniformemente > em I para uma funcao f tal que f' = g em I. Esta ultima condicao eh > realmente essencial? Sim. Suponha que f_n: I -> R é dada por: f_n(x) = x + (-1)^n. Cada f_n é diferenciável e (f_n') converge uniformemente para a função constante e igual a 1. No entanto, (f_n) não converge. Repare que, qualquer que seja u em I, f_n(u) não converge. Se soubermos que f'_n converge uniformemente em I, já > podemos entao fazer alguma inferencia quanto aa convergencia das primitivas? Não, conforme o exemplo acima. > Se adicionarmos a hipotese de as f'_n sao continuas, temos entao alguma > conclusao interessante, alem de que g eh continua? > Não que eu saiba. É claro que f_n' contínua ==> f_n' integrável. Mas continuamos a precisar da convergência de (f_n(u)) para algum u. > Eu acho que hah um teorema que se refere ao caso em que as f'_n sao > Lipschitz, mas nao sei qual eh. > Me parece que a condição de (f_n(u)) ser convergente para algum u permanece necessária. []s, Claudio.
