Re: [obm-l] probabilidade (ufrj)
On Mon, Nov 28, 2005 at 09:57:53PM -0200, [EMAIL PROTECTED] wrote: Quando é que paramos o jogo? Quando eu souber que ganhei ou que perdi. Isso acontece (R = rodadas, C = cara , K = coroa) em 5 R se saírem 5 C; 6 R se saírem 5 C e 1 K ou então 6 K; 7 R se saírem 5 C e 2 K ou então 6 K e 1 C; etc... Para contar os evento, bastaria lembrar que a última moeda sempre corresponde ao desfecho do jogo, ou seja, se o jogo acabar na rodada X e eu perder então é porque deu cara, do contrário eu venci e deu coroa. Então eu teria que (para (P,X) = # eventos em q perco na rodada X, (V,Y) = # eventos em q venço na rodada Y): (P,X) = Bin(X-1, 4) e (V,Y) = Bin(Y-1,5). Assim eu perco em P = Bin(10,5) eventos e venço em V = Bin(10,6) eventos, e o total é T = Bin(11,6). Assim a probabilidade de vencer é Prob = 210/462 = 0,454545... Não to conseguindo enxergar o erro deste raciocínio! O erro está em supor que seqüências de comprimentos diferentes são equiprováveis. Espero não parecer grosseiro, mas acho que a discussão está um pouco repetitiva. Minha sugestão para aqueles que não acreditam na solução do gabarito (que, pelo que eu entendo, é igual à minha) é que tentem um exemplo menor. Vamos jogar uma moeda até 4 vezes; você ganha se saírem menos de duas caras e perdem se saírem pelo menos duas. Qual a probabilidade de você ganhar? Solução I (certa) Vamos *sempre* jogar a moeda 4 vezes: existem assim 16 seqs equiprováveis: (derrota) CCCK (derrota) CCKC (derrota) CCKK (derrota) CKCC (derrota) CKCK (derrota) CKKC (derrota) CKKK (vitória) KCCC (derrota) KCCK (derrota) KCKC (derrota) KCKK (vitória) KKCC (derrota) KKCK (vitória) KKKC (vitória) (vitória) Prob. de vencer = 5/16 = .3125 Solução II (errada) Vamos jogar a moeda até obtermos dois C ou três K, o que ocorrer primeiro. As possibilidades são: CC (derrota) CKC (derrota) CKKC (derrota) CKKK (vitória) KCC (derrota) KCKC (derrota) KCKK (vitória) KKCC (derrota) KKCK (vitória) KKK (vitória) Como as 10 possibilidades são equiprováveis (O ERRO ESTÁ AQUI!), temos: Prob. de vencer = 4/10 = .4 Solução III (versão corrigida da Solução II) Vamos jogar a moeda até obtermos dois C ou três K, o que ocorrer primeiro. Teremos 10 seqs, cada uma delas com prob 2^(-n) onde n é o comprimento da seq. Mais explicitamente: CC (derrota) Prob = 1/4 CKC (derrota) Prob = 1/8 CKKC (derrota) Prob = 1/16 CKKK (vitória) Prob = 1/16 KCC (derrota) Prob = 1/8 KCKC (derrota) Prob = 1/16 KCKK (vitória) Prob = 1/16 KKCC (derrota) Prob = 1/16 KKCK (vitória) Prob = 1/16 KKK (vitória) Prob = 1/8 Somando os casos vitoriosos, temos Prob. de vencer = 5/16 = .3125 Agora se você continua não acreditando eu sugiro que você pegue uma moeda e faça a experiência. Ou melhor ainda, escreva um programinha de computador para fazer as experiências para você. Se nem isto bastar, considere um exemplo mais extremo. Vamos jogar a moeda até 7 vezes. Se cair pelo menos *uma* cara você perde. Qual a sua probabilidade de ganhar? Pelo raciocínio das soluções I e III dá 1/128. Pelo raciocínio da solução II dá 1/8 (C, KC, KKC, KKKC, C, KC, KKC perdem; KKK ganha). A diferença é tão grande que deve ser fácil testar com uma moeda (se você achar necessário). []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] probabilidade (ufrj)
Agora ficou bem claro pra mim... Valeu []s, Daniel ''-- Mensagem Original -- ''Date: Tue, 29 Nov 2005 10:26:20 -0200 ''From: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] ''To: obm-l@mat.puc-rio.br ''Subject: Re: [obm-l] probabilidade (ufrj) ''Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br '' '' ''On Mon, Nov 28, 2005 at 09:57:53PM -0200, [EMAIL PROTECTED] wrote: '' Quando é que paramos o jogo? Quando eu souber que ganhei ou que perdi. ''Isso '' acontece (R = rodadas, C = cara , K = coroa) em '' '' 5 R se saírem 5 C; '' 6 R se saírem 5 C e 1 K ou então 6 K; '' 7 R se saírem 5 C e 2 K ou então 6 K e 1 C; '' etc... '' '' Para contar os evento, bastaria lembrar que a última moeda sempre corresponde '' ao desfecho do jogo, ou seja, se o jogo acabar na rodada X e eu perder ''então '' é porque deu cara, do contrário eu venci e deu coroa. '' '' Então eu teria que (para (P,X) = # eventos em q perco na rodada X, (V,Y) '' = # eventos em q venço na rodada Y): '' '' (P,X) = Bin(X-1, 4) e (V,Y) = Bin(Y-1,5). '' '' Assim eu perco em P = Bin(10,5) eventos e venço em V = Bin(10,6) eventos, '' e o total é T = Bin(11,6). Assim a probabilidade de vencer é Prob = 210/462 '' = 0,454545... '' '' Não to conseguindo enxergar o erro deste raciocínio! '' ''O erro está em supor que seqüências de comprimentos diferentes ''são equiprováveis. '' ''Espero não parecer grosseiro, mas acho que a discussão está um pouco ''repetitiva. Minha sugestão para aqueles que não acreditam na solução ''do gabarito (que, pelo que eu entendo, é igual à minha) é que tentem ''um exemplo menor. Vamos jogar uma moeda até 4 vezes; você ganha se ''saírem menos de duas caras e perdem se saírem pelo menos duas. ''Qual a probabilidade de você ganhar? '' ''Solução I (certa) '' ''Vamos *sempre* jogar a moeda 4 vezes: existem assim 16 seqs equiprováveis: '' '' (derrota) ''CCCK (derrota) ''CCKC (derrota) ''CCKK (derrota) ''CKCC (derrota) ''CKCK (derrota) ''CKKC (derrota) ''CKKK (vitória) ''KCCC (derrota) ''KCCK (derrota) ''KCKC (derrota) ''KCKK (vitória) ''KKCC (derrota) ''KKCK (vitória) ''KKKC (vitória) '' (vitória) '' ''Prob. de vencer = 5/16 = .3125 '' ''Solução II (errada) '' ''Vamos jogar a moeda até obtermos dois C ou três K, o que ocorrer primeiro. ''As possibilidades são: '' ''CC (derrota) ''CKC (derrota) ''CKKC (derrota) ''CKKK (vitória) ''KCC (derrota) ''KCKC (derrota) ''KCKK (vitória) ''KKCC (derrota) ''KKCK (vitória) ''KKK (vitória) '' ''Como as 10 possibilidades são equiprováveis (O ERRO ESTÁ AQUI!), temos: ''Prob. de vencer = 4/10 = .4 '' ''Solução III (versão corrigida da Solução II) '' ''Vamos jogar a moeda até obtermos dois C ou três K, o que ocorrer primeiro. ''Teremos 10 seqs, cada uma delas com prob 2^(-n) onde n é o comprimento da ''seq. ''Mais explicitamente: '' ''CC (derrota) Prob = 1/4 ''CKC (derrota) Prob = 1/8 ''CKKC (derrota) Prob = 1/16 ''CKKK (vitória) Prob = 1/16 ''KCC (derrota) Prob = 1/8 ''KCKC (derrota) Prob = 1/16 ''KCKK (vitória) Prob = 1/16 ''KKCC (derrota) Prob = 1/16 ''KKCK (vitória) Prob = 1/16 ''KKK (vitória) Prob = 1/8 '' ''Somando os casos vitoriosos, temos ''Prob. de vencer = 5/16 = .3125 '' ''Agora se você continua não acreditando eu sugiro que você pegue uma ''moeda e faça a experiência. Ou melhor ainda, escreva um programinha ''de computador para fazer as experiências para você. '' ''Se nem isto bastar, considere um exemplo mais extremo. Vamos jogar ''a moeda até 7 vezes. Se cair pelo menos *uma* cara você perde. ''Qual a sua probabilidade de ganhar? '' ''Pelo raciocínio das soluções I e III dá 1/128. ''Pelo raciocínio da solução II dá 1/8 ''(C, KC, KKC, KKKC, C, KC, KKC perdem; KKK ganha). ''A diferença é tão grande que deve ser fácil testar com uma moeda ''(se você achar necessário). '' ''[]s, N. ''= ''Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em ''http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html ''= = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] probabilidade (ufrj)
On Sun, Nov 27, 2005 at 10:55:06PM -0200, [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá... olhando o gabarito da prova da UFRJ deste domingo, tive que discordar da resposta dada à última questão da prova de matemática. A questão é: Em um jogo, cada partida consiste no lançamento de uma moeda honesta ATÉ dez vezes. Se o número de caras obtidas atingir o valor cinco, você perde; caso contrário, você ganha. Calcule a probabilidade de você ganhar uma partida desse jogo. Não vi o gabarito, vou dar a minha solução para o problema. O jogo fica um pouco mais simples (sem alterar o resultado) se sempre jogarmos a moeda 10 vezes. Você ganha se a moeda cair cara menos de 5 vezes. Assim a sua probabilidade de ganhar é sum(binomial(10,k),k=0..4)/2^10 = 193/512 ~= 0.3769531250 É isso que o gabarito diz? []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] probabilidade (ufrj)
'' Em um jogo, cada partida consiste no lançamento de uma moeda honesta ATÉ '' dez vezes. Se o número de caras obtidas atingir o valor cinco, você perde; '' caso contrário, você ganha. Calcule a probabilidade de você ganhar uma ''partida '' desse jogo. '' ''Não vi o gabarito, vou dar a minha solução para o problema. '' ''O jogo fica um pouco mais simples (sem alterar o resultado) se sempre jogarmos ''a moeda 10 vezes. Você ganha se a moeda cair cara menos de 5 vezes. Assim ''a sua probabilidade de ganhar é '' ''sum(binomial(10,k),k=0..4)/2^10 = 193/512 ~= 0.3769531250 '' ''É isso que o gabarito diz? Esse é o raciocínio do gabarito, mas se eu estivesse jogando esse jogo e tirasse 5 caras nas 5 primeiras jogadas, para que me importaria jogar os outros 5 lançamentos se eu já perdi? Da mesma forma que, numa melhor de 5, se eu estivesse perdendo de 3 a 0, para que jogaria as partidas restantes? E considerando que o jogo efetivamente seja interrompido se eu houver perdido (e considero essa interpretação válida pq o 'até' do enunciado é ambíguo), então o número de desfechos possíveis diminui, e a probabilidade aumenta. []s, Daniel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] probabilidade (ufrj)
Usando o mesmo raciocinio que vc apresenta vc tb garante a vitoria com 6 jogadas e raramente teria que lancar 10 moedas. Ou ja teria ganho ou ja teria perdido antes. Isso faria, de novo usando a sua ideia, o numero de resultados favoraveis tb menor. Acho que a questao aqui e que a ordem nao importa e na verdade nao importa se vc para ou nao depois que ja perdeu. A probabilidade de uma sequencia de 10 jogadas comecar com 5 caras e a mesma, quer vc pare ou continue depois. Suponha que todas as moedas sao sempre lancadas ao mesmo tempo. Faz diferenca? So pq vc parou de contar quando viu 5 caras nao mudou o numero de jogadas. From: [EMAIL PROTECTED] Esse é o raciocínio do gabarito, mas se eu estivesse jogando esse jogo e tirasse 5 caras nas 5 primeiras jogadas, para que me importaria jogar os outros 5 lançamentos se eu já perdi? Da mesma forma que, numa melhor de 5, se eu estivesse perdendo de 3 a 0, para que jogaria as partidas restantes? E considerando que o jogo efetivamente seja interrompido se eu houver perdido (e considero essa interpretação válida pq o 'até' do enunciado é ambíguo), então o número de desfechos possíveis diminui, e a probabilidade aumenta. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] probabilidade (ufrj)
Tem razão, agora estou convencido... []s, Daniel ''Usando o mesmo raciocinio que vc apresenta vc tb garante a vitoria com 6 '' ''jogadas e raramente teria que lancar 10 moedas. Ou ja teria ganho ou ja '' ''teria perdido antes. Isso faria, de novo usando a sua ideia, o numero de '' ''resultados favoraveis tb menor. Acho que a questao aqui e que a ordem nao '' ''importa e na verdade nao importa se vc para ou nao depois que ja perdeu. '' A ''probabilidade de uma sequencia de 10 jogadas comecar com 5 caras e a mesma, '' ''quer vc pare ou continue depois. Suponha que todas as moedas sao sempre '' ''lancadas ao mesmo tempo. Faz diferenca? So pq vc parou de contar quando '' ''viu 5 caras nao mudou o numero de jogadas. '' ''From: [EMAIL PROTECTED] ''Esse é o raciocínio do gabarito, mas se eu estivesse jogando esse jogo e ''tirasse 5 caras nas 5 primeiras jogadas, para que me importaria jogar os ''outros 5 lançamentos se eu já perdi? Da mesma forma que, numa melhor de ''5, ''se eu estivesse perdendo de 3 a 0, para que jogaria as partidas restantes? ''E considerando que o jogo efetivamente seja interrompido se eu houver ''perdido ''(e considero essa interpretação válida pq o 'até' do enunciado é ambíguo), ''então o número de desfechos possíveis diminui, e a probabilidade aumenta. '' '' ''= ''Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em ''http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html ''= = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] probabilidade (ufrj)
On Mon, Nov 28, 2005 at 11:45:10AM -0200, [EMAIL PROTECTED] wrote: Esse é o raciocínio do gabarito, mas se eu estivesse jogando esse jogo e tirasse 5 caras nas 5 primeiras jogadas, para que me importaria jogar os outros 5 lançamentos se eu já perdi? Da mesma forma que, numa melhor de 5, se eu estivesse perdendo de 3 a 0, para que jogaria as partidas restantes? E considerando que o jogo efetivamente seja interrompido se eu houver perdido (e considero essa interpretação válida pq o 'até' do enunciado é ambíguo), então o número de desfechos possíveis diminui, e a probabilidade aumenta. Se você parar assim que saírem 5 caras, o número total de partidas de fato diminui, mas isto não altera a probabilidade de ganhar. Note que se a duração da partida for variável, algumas seqüências ficam sendo mais prováveis do que outras. Por exemplo, tomando C como cara e K como coroa, a seq C tem probabilidade 1/32 mas a seq KK tem probabilidade 1/1024. Acho que o problema está ok, não há nenhuma ambiguidade relevante. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] probabilidade (ufrj)
Caro Daniel, Concordo plenamente com vc! Fiz a prova domingo e também discordo do gabarito. O número de casos totais é menor que 2^10, pq se sairem 5 caras antes dos 10 lançamentos o jogo acaba, excluindo alguns eventos. Eu fiz o problema da seguinte forma: Eventos favoraveis(K=coroa, C=cara): 6K 4C - C10,6 7K 3C - C10,7 8K 2C - C10,8Total: 386 9K 1C - C10,9 10K 0C - C10,10 Eventos desfavoraveis: Aqui devemos fixar uma cara na ultima posição, pois o jogo termina em cara, caso contrario estaremos contando um mesmo evento mais de uma vez 5C- C4,4 5C 1K - C5,4 5C 2K - C6,4Total: 252 5C 3K - C7,4 5C 4K - C8,4 5C 5K - C9,4 Casos totais: 638Probabilidade de ganhar: 386/638 Me corrija se estiver errado em algum ponto. Tambem gostaria de saber a opiniao de outros colegas da lista a respeito do assunto. Aquele até provocou uma ambiguidade no problema... []s Bernardo Em (22:55:06), obm-l@mat.puc-rio.br escreveu: Olá... olhando o gabarito da prova da UFRJ deste domingo, tive que discordar da resposta dada à última questão da prova de matemática. A questão é: Em um jogo, cada partida consiste no lançamento de uma moeda honesta ATÉ dez vezes. Se o número de caras obtidas atingir o valor cinco, você perde; caso contrário, você ganha. Calcule a probabilidade de você ganhar uma partida desse jogo. Ok. A divergência está no número total de partidas possíveis; o gabarito diz que é SOMA Binomial(10, n) = 2^10, mas eu discordo, já que a lógica do jogo e aquele ATÉ no enunciado estão aí para frisar que uma partida pode não exigir 10 lançamentos; por exemplo, quando saem 5 caras nos 5 primeiros lançamentos. Raciocinando assim, a probabilidade muda porque o total de eventos é menor e a quantidade de desfechos vitoriosos é a mesma. O q acham? []s, Daniel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = --
Re: [obm-l] probabilidade (ufrj)
Bom, eu vou aproveitar que você fez uma mensagem bem detalhada pra mostrar o que muda: se você supuser que você para nos eventos desfavoráveis você tem que considerar a probabilidade de eles ocorrerem, que varia para cada um. O ponto do problema é esse (que o Nicolau já assinalou): dependendo do número de vezes que você lança a moeda, o resultado é diferente. Para se convencer, faça um exemplo com apenas 3 moedas; você para assim que sair uma cara. Parar na primeira = 1/2 Parar na segunda = (N~ao parar na primeira) * (Cara na segunda) = 1/4 Parar na terceira = (N~ao parar na primeira nem na segunda) * (Cara na segunda) = 1/8 Repare que isto dá o mesmo que calcular Prob(Sair uma ou mais cara em 3 lançamentos) porque, ao parar, você PODERIA continuar, o que n~ao altera a probabilidade do evento (já que independentemente do que você fizer, você vai estar no caso saiu uma cara ou mais). Esse é um bom exemplo em que mudar completamente o espaço de resultados possíveis simplifica bastante a resoluç~ao Se você quiser agora fazer com 10 moedas e 5 caras, vai ser um pouco mais complicado, mas no fim das constas dá no mesmo :) Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa On 11/28/05, bernardoakino [EMAIL PROTECTED] wrote: Caro Daniel, Concordo plenamente com vc! Fiz a prova domingo e também discordo do gabarito. O número de casos totais é menor que 2^10, pq se sairem 5 caras antes dos 10 lançamentos o jogo acaba, excluindo alguns eventos. Eu fiz o problema da seguinte forma: Eventos favoraveis(K=coroa, C=cara): 6K 4C - C10,6 7K 3C - C10,7 8K 2C - C10,8Total: 386 9K 1C - C10,9 10K 0C - C10,10 Eventos desfavoraveis: Aqui devemos fixar uma cara na ultima posição, pois o jogo termina em cara, caso contrario estaremos contando um mesmo evento mais de uma vez 5C- C4,4 5C 1K - C5,4 5C 2K - C6,4Total: 252 5C 3K - C7,4 5C 4K - C8,4 5C 5K - C9,4 Casos totais: 638Probabilidade de ganhar: 386/638 Me corrija se estiver errado em algum ponto. Tambem gostaria de saber a opiniao de outros colegas da lista a respeito do assunto. Aquele até provocou uma ambiguidade no problema... []s Bernardo Em (22:55:06), obm-l@mat.puc-rio.br escreveu: Olá... olhando o gabarito da prova da UFRJ deste domingo, tive que discordar da resposta dada à última questão da prova de matemática. A questão é: Em um jogo, cada partida consiste no lançamento de uma moeda honesta ATÉ dez vezes. Se o número de caras obtidas atingir o valor cinco, você perde; caso contrário, você ganha. Calcule a probabilidade de você ganhar uma partida desse jogo. Ok. A divergência está no número total de partidas possíveis; o gabarito diz que é SOMA Binomial(10, n) = 2^10, mas eu discordo, já que a lógica do jogo e aquele ATÉ no enunciado estão aí para frisar que uma partida pode não exigir 10 lançamentos; por exemplo, quando saem 5 caras nos 5 primeiros lançamentos. Raciocinando assim, a probabilidade muda porque o total de eventos é menor e a quantidade de desfechos vitoriosos é a mesma. O q acham? []s, Daniel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] probabilidade (ufrj)
Bem eu discordo... se vc considerar assim estará, a meu ver, aumentando a chance de que se ganhe, o jogo pode ser definido em até menos partidas, mas a probabilidade é a q se calcula desse modo, ex: Cara,cara,cara,cara,cara-1/32 Coroa, cara, cara,cara, cara,cara- 1/64 Em ambos se perde, mas no 1º é mais rápido, e mais provável(tanto faz o q virá depois...)[EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá... olhando o gabarito da prova da UFRJ deste domingo, tive que discordarda resposta dada à última questão da prova de matemática. A questão é:"Em um jogo, cada partida consiste no lançamento de uma moeda honesta ATÉdez vezes. Se o número de caras obtidas atingir o valor cinco, você perde;caso contrário, você ganha. Calcule a probabilidade de você ganhar uma partidadesse jogo."Ok. A diverg! ência está no número total de partidas possíveis; o gabaritodiz que é SOMA Binomial(10, n) = 2^10, mas eu discordo, já que a lógicado jogo e aquele "ATÉ" no enunciado estão aí para frisar que uma partidapode não exigir 10 lançamentos; por exemplo, quando saem 5 caras nos 5 primeiroslançamentos. Raciocinando assim, a probabilidade muda porque o total deeventos é menor e a quantidade de desfechos vitoriosos é a mesma.O q acham?[]s,Daniel=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= Yahoo! doce lar. Faça do Yahoo! sua homepage.
