Re: [obm-l] Re: Geometria

[Jeferson Almir]

Obrigado a todos que responderam, eu mandei varias vezes o email pra lista
pois eu achava que ele não estava sendo entregue pois na timeline da lista
ele não aparece. Desde já obrigado

Em 10 de setembro de 2016 22:42, Carlos Victor 
escreveu:

>
>
>
> Oi Jeferson,
>
> Tome E sobre BD tal que o ângulo EAB seja 30º. Observe que o ângulo ADB é
> igual a 100º e que o ângulo DAE é igual a 20º. Daí o ângulo AED é igual a
> 60º. Como E está na bissetriz de ACB, então o ângulo AEC é igual a 120º.
> Observe agora que D é o ponto de encontro das bissetrizes internas do
> triângulo AEC e consequentemente o ângulo BDC é igual a 110º.
>
> Abraços
>
>
>
> Carlos  Victor
>
> Em 10/09/2016 17:34, Jeferson Almir escreveu:
>
> Olá pessoa queria uma ajuda nessa questão
>
> A figura em anexo mostra um triângulo *ABC*. *D* é um ponto interior onde
> a medida dos ângulos *CAD*, *ABD*, *CBD*, e *BAD* são 20º, 30º, 40º e 50º
> , respectivamente. Encontre a medida do ângulo *BDC*.
>
> Em 28 de agosto de 2016 18:31, Jeferson Almir 
> escreveu:
>
>> Olá pessoa queria uma ajuda nessa questão
>>
>> A figura em anexo mostra um triângulo *ABC*. *D* é um ponto interior
>> onde a medida dos ângulos *CAD*, *ABD*, *CBD*, e *BAD* são 20º, 30º, 40º
>> e 50º , respectivamente. Encontre a medida do ângulo *BDC*.
>>
>>
>>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivrus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Re: Geometria

[Carlos Victor]

 

Oi Jeferson, 

Tome E sobre BD tal que o ângulo EAB seja 30º. Observe que o ângulo ADB
é igual a 100º e que o ângulo DAE é igual a 20º. Daí o ângulo AED é
igual a 60º. Como E está na bissetriz de ACB, então o ângulo AEC é igual
a 120º. Observe agora que D é o ponto de encontro das bissetrizes
internas do triângulo AEC e consequentemente o ângulo BDC é igual a
110º. 

Abraços 

Carlos Victor 

Em 10/09/2016 17:34, Jeferson Almir escreveu: 

> Olá pessoa queria uma ajuda nessa questão
> 
> A figura em anexo mostra um triângulo _ABC_. _D_ é um ponto interior onde a 
> medida dos ângulos _CAD_, _ABD_, _CBD_, e _BAD_ são 20º, 30º, 40º e 50º , 
> respectivamente. Encontre a medida do ângulo _BDC_. 
> 
> Em 28 de agosto de 2016 18:31, Jeferson Almir  
> escreveu:
> 
>> Olá pessoa queria uma ajuda nessa questão
>> 
>> A figura em anexo mostra um triângulo _ABC_. _D_ é um ponto interior onde a 
>> medida dos ângulos _CAD_, _ABD_, _CBD_, e _BAD_ são 20º, 30º, 40º e 50º , 
>> respectivamente. Encontre a medida do ângulo _BDC_.
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivrus e 
> acredita-se estar livre de perigo.
 
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 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Re: Geometria

[Carlos Gomes]

Olá Jeferson,

Como não dá para colocar a figura aqui vou falar...Considere o triângulo
ABC com com o segmento AB na horizontal e A a esquerda de  B. Ponha o
vértice C no topo do triângulo e o ponto D no interior do triângulo ABC
satisfazendo as condições do enunciado. Ao por os ângulos citados no
enunciado podemos perceber que o triângulo ABC é isósceles de base AB.
Assim, CA=CB=a. Agora observe que os triângulos ACD e BCD tem o lado CD em
comum. Denotando a medida do ângulo DCB por x, segue que as medidas dos
ângulos dos triângulos ADC são 40°-x, 120°+x e 20° e as medidas dos ângulos
do triângulo BCD são 40°, 140°-x e x. Aplicando a lei dos senos nesses dois
triângulos segue que

no triângulo BCD: a/sen(140°-x)=CD/sen40°  ==> a/CD=sen(140°-x)/sen40°

no triângulo ACD: a/sen(120°+x)=CD/sen20°  ==> a/CD=sen(120°+x)/sen20°

igualando-se as duas expressões anteriores, segue que
sen(140°-x)sen20°=sen(120°+x)sen40°

sen(140°-x)sen20°=sen(120°+x)2.sen20°.cos20° ==>

sen(140°-x)=2sen(90°+30°+x)cos20° ==>

sen(140°-x)=2sen(90°+30°+x)cos20° ==>

 sen(140°-x)=2cos(30°+x)cos20°.

Nesse ponto pensei num x que pudesse eliminar esse fator 2. Como
cos60°=1/2, um x possível seria 30°. E de fato x=-30° é solução, pois

sen(140°-30°)=2.cos(30°+30°)cos20° ==> sen110°=2.1/2.sen70° ==>
sen110°=sen70°, o que é verdade.

Mas a pergunta é a medida do ângulo BDC. No triângulo BCD, segue que

m(BDC)+x+40°=180°  ==> m(BDC)+30°+40°=180° ==> m(BDC)=110°.

Cgomes.







Em 10 de setembro de 2016 17:34, Jeferson Almir 
escreveu:

> Olá pessoa queria uma ajuda nessa questão
>
> A figura em anexo mostra um triângulo *ABC*. *D* é um ponto interior onde
> a medida dos ângulos *CAD*, *ABD*, *CBD*, e *BAD* são 20º, 30º, 40º e 50º
> , respectivamente. Encontre a medida do ângulo *BDC*.
>
> Em 28 de agosto de 2016 18:31, Jeferson Almir 
> escreveu:
>
>> Olá pessoa queria uma ajuda nessa questão
>>
>> A figura em anexo mostra um triângulo *ABC*. *D* é um ponto interior
>> onde a medida dos ângulos *CAD*, *ABD*, *CBD*, e *BAD* são 20º, 30º, 40º
>> e 50º , respectivamente. Encontre a medida do ângulo *BDC*.
>>
>>
>>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: Geometria

[Jeferson Almir]

Olá pessoa queria uma ajuda nessa questão

A figura em anexo mostra um triângulo *ABC*. *D* é um ponto interior onde a
medida dos ângulos *CAD*, *ABD*, *CBD*, e *BAD* são 20º, 30º, 40º e 50º ,
respectivamente. Encontre a medida do ângulo *BDC*.

Em 28 de agosto de 2016 18:31, Jeferson Almir 
escreveu:

> Olá pessoa queria uma ajuda nessa questão
>
> A figura em anexo mostra um triângulo *ABC*. *D* é um ponto interior onde
> a medida dos ângulos *CAD*, *ABD*, *CBD*, e *BAD* são 20º, 30º, 40º e 50º
> , respectivamente. Encontre a medida do ângulo *BDC*.
>
>
>

-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: Geometria Analítica em 3 dimensões

[Israel Meireles Chrisostomo]

Quer dizer acho que essa não é a equação da reta, mas essa fórmula vale se
eu quiser achar o comprimento da reta em função de suas coordenadas, certo?

Em 30 de outubro de 2015 16:57, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> Olá pessoal alguém sabe como provar que a equação da reta é
> (x_1-x_0)²+(y_1-y_0)²+(z_1-z_0)²=r²? onde r é o comprimento da reta
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
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[obm-l] Re: geometria CN

[Thelio Gama]

OPS!
O enunciado da questão é o seguinte:

O triângulo ADE da figura é equivalente ao quadrilátero BCDE. Se AE = 2/3 de
AB, então AD é qual fração de AC?


2009/6/3 Thelio Gama teliog...@gmail.com

 Boa noite professores,
 Essa questão em anexo é do Colégio naval e não consigo resolver apesar de
 já ter traçado todas as retas que minha imaginação permitiu. Poderiam dar
 uma explicação.

 Agradeço a ajuda,

 Thelio

Re: [obm-l] Re: geometria CN

[ricardo . bioni]

Uma maneira simples de resolver é observar a razão entre as áreas:
x = AD, y = DC
S[AED]/S[ABC] = 1*x/3*(x+y)
1/2 = x/(3x+3y)
x = 3y
Logo, AD/DC = 3 = AD/AC = 3/4

Re: [obm-l] Re: geometria CN

[lucianarodriggues]

Em 03/06/2009 21:34, Thelio Gama  teliog...@gmail.com  escreveu:
OPS!

O enunciado da questão é o seguinte:

O triângulo ADE da figura é equivalente ao quadrilátero BCDE. Se AE = 2/3 de AB, então AD é qual fração de AC?

2009/6/3 Thelio Gama teliog...@gmail.com
Boa noite professores,

Essa questão em anexo é do Colégio naval e não consigo resolver apesar de já ter traçado todas as retas que minha imaginação permitiu. Poderiam dar uma explicação. 

Agradeço a ajuda,


Thelio




=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: Geometria e Números (Ajuda)

[Fernando Reis]

Postou aonde?


--- Em seg, 9/3/09, luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br escreveu:
De: luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br
Assunto: [obm-l] Re: Geometria e Números (Ajuda)
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Segunda-feira, 9 de Março de 2009, 16:22

 
Pessoal,
 
As outra opção, que deixei passar é a=b=c, qeu tb leva ao mesmo resultado.
 
Abs
Felipe

--- Em seg, 9/3/09, luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br escreveu:

De: luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br
Assunto: Geometria e Números (Ajuda)
Para: Matematica Lista obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Segunda-feira, 9 de Março de 2009, 14:49







Pessoal,
 
Postei, ontem, um problema envolvendo teoria dos números (basicamente a equação 
do UTF para x,y e z reais) e geometria. 
 
No arquivo em anexo, segue a abordagem que levou ao problema e que gostaria que 
fosse analisada. 
 
Desde já agradeço.
 
Abs
Felipe


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[obm-l] Re: Geometria e Números (Ajuda/Fernando)

[luiz silva]

Oi Fernando,
 
Um exercício que enviei para lista no domingo:
 
Dado x,y e z  1, reais  com z^n=x^n+y^n, desenvolver um método para construir 
k, tal que k^2+z^2 = 2x^2 + 2y^2.
 
Eu pensei mais um pouco nessa abordagem, no desenvolvimento que posto abaixo. 
Estou com uma dúvida : Eu posso afirmar que se z = (a/b)x + (c/d) y e z = 
(e/f)x + (g/f)y , a,b,c,d,e,f,g inteiros e com mdc (a,b) , mdc(c,d) , mdc(e,f) 
e mdc (g/f)=1 que a/b=e/f e c/d=g/f ??
 
Temos que :
 
z = (xn-1/zn-1)x + (yn-1/zn-1)y e  z = x cos Y + y cos X

 
cos Y = a/b
cos X = c/d
 
Como mdc (x,y,z)=1 e mdc (a,b) e mdc (c,d) = 1, temos que cos X =  (yn-1/zn-1) 
, cos Y = (xn-1/zn-1).
 
y2 = z2 + x2  - 2xz cos Y
 
y2 = z2 + x2  - 2xz (xn-1/zn-1)
 
y2 = z2 + x2  - 2xxn-1/zn-2
 
zn-2 y2 = zn + zn-2 x2 – 2xn
 
Para n2, temos que x ou y deverão ser múltiplos de z, o que é absurdo. Para 
n=2 temos y2 = z2 – x2e z2 = x2 + y2
 
Abs
Felipe
--- Em ter, 10/3/09, Fernando Reis teorem...@yahoo.com.br escreveu:

De: Fernando Reis teorem...@yahoo.com.br
Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Re: Geometria e Números (Ajuda)
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Terça-feira, 10 de Março de 2009, 9:35






Postou aonde?


--- Em seg, 9/3/09, luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br escreveu:

De: luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br
Assunto: [obm-l] Re: Geometria e Números (Ajuda)
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Segunda-feira, 9 de Março de 2009, 16:22







 
Pessoal,
 
As outra opção, que deixei passar é a=b=c, qeu tb leva ao mesmo resultado.
 
Abs
Felipe

--- Em seg, 9/3/09, luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br escreveu:

De: luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br
Assunto: Geometria e Números (Ajuda)
Para: Matematica Lista obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Segunda-feira, 9 de Março de 2009, 14:49







Pessoal,
 
Postei, ontem, um problema envolvendo teoria dos números (basicamente a equação 
do UTF para x,y e z reais) e geometria. 
 
No arquivo em anexo, segue a abordagem que levou ao problema e que gostaria que 
fosse analisada. 
 
Desde já agradeço.
 
Abs
Felipe


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[obm-l] Re: Geometria e Números (Ajuda)

[luiz silva]

 
Pessoal,
 
As outra opção, que deixei passar é a=b=c, qeu tb leva ao mesmo resultado.
 
Abs
Felipe

--- Em seg, 9/3/09, luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br escreveu:

De: luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br
Assunto: Geometria e Números (Ajuda)
Para: Matematica Lista obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Segunda-feira, 9 de Março de 2009, 14:49







Pessoal,
 
Postei, ontem, um problema envolvendo teoria dos números (basicamente a equação 
do UTF para x,y e z reais) e geometria. 
 
No arquivo em anexo, segue a abordagem que levou ao problema e que gostaria que 
fosse analisada. 
 
Desde já agradeço.
 
Abs
Felipe


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[obm-l] Re: Geometria e Números (Ajuda)

[luiz silva]

Na realidade a=b=c, sempre...eu tinha feito conta errada.
 
Abs
Felipe
--- Em seg, 9/3/09, luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br escreveu:

De: luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br
Assunto: Geometria e Números (Ajuda)
Para: Matematica Lista obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Segunda-feira, 9 de Março de 2009, 14:49







Pessoal,
 
Postei, ontem, um problema envolvendo teoria dos números (basicamente a equação 
do UTF para x,y e z reais) e geometria. 
 
No arquivo em anexo, segue a abordagem que levou ao problema e que gostaria que 
fosse analisada. 
 
Desde já agradeço.
 
Abs
Felipe


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[obm-l] Re: Geometria II - A.C. Morgado, E. Wagner e iso-8859-1?B?TS5Kb3JnZSAtIER 1YXMgcXVlc3T1ZXMgY29uZmxpdGF udGVzLg==

[fabiodjalma]

Dymitri, você usou o valor errado para t. Por desigualdade triangular vc 
verá que 10.raiz(6) é impossível. Na verdade t é 5.raiz(2) 

Em tempo: 

Depois que vc achou BD = 14, poderia ter aplicado o TBI no triângulo ABD. 
Assim, BA/BD = AI/ID = 3/2. 

Não acha mais simples? 







Em (20:02:12), obm-l@mat.puc-rio.br escreveu: 


Estou estudando geometria plana pelo excelente livro Geometria II, de 
A.C. Morgado, E. Wagner e M.Jorge. Contudo, encontrei duas divergências de 
gabarito até agora. As questões e suas respectivas soluções, elaboradas por 
mim, encontram-se no endereço 
http://dymitri.leao.vila.bol.com.br/geometria.htm 
 
OBS: Particularmente a questão 34 deu muito trabalho nas contas, talvez 
pela 
estratégia adotada por mim. Citando Carlos Yuzo Shine em seu artigo 
publicado na Eureka 17: Nunca perca a fé!!!. 
 
 Gostaria de ver a opinião dos partcipantes desta excelente lista sobre 
as questões solicitadas. 
 
 Atenciosamente, 
Dymitri Cardoso Leão. 
 
_ 
Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis. Instale Já! 
http://www.msn.com.br/discador 
 
Instruções
 
para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em 
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html 
 
 
-- 

[obm-l] Re: Geometria

[plataoterra]

Olá. 

Eu fiz assim. Ponha nos eixos cartesianos. 

A(0,a) 
B(c,a) 
C(c,0) 
D(0,0) 
X(x,b) 
Y(0,y) 

Você tem então as seguintes relações: 
ax-xy=20 
cy=18 
ac-ax=16 

Somando todas, você tem 

ac+cy-xy=54 = ac+y(c-x)=54 
Veja que (c-x)=16/a e que y=18/c. 

Substituindo, então, temos ac+288/ac=54. Como queremos a área ac, 
Fazemos ac=z e temos a equação z2-54^z+288=0, cujas raízes são 
6 e 48. Lgo, a área pedida é 48, porque 6 é menor que as áreas dadas. 

_
Quer mais velocidade?
Só com o acesso Aditivado iG, a velocidade que você quer na hora que você precisa.
Clique aqui: http://www.acessoaditivado.ig.com.br

RE: [obm-l] Re: Geometria

[saulo bastos]

A resposta do platão está correta, eu tinha errado em uma passagem.
Até mais, saulo.
From: [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Re: Geometria
Date: Tue, 30 Nov 2004 09:10:59 -0200
Olá.
Eu fiz assim. Ponha nos eixos cartesianos.
A(0,a)
B(c,a)
C(c,0)
D(0,0)
X(x,b)
Y(0,y)
Você tem então as seguintes relações:
ax-xy=20
cy=18
ac-ax=16
Somando todas, você tem
ac+cy-xy=54 = ac+y(c-x)=54
Veja que (c-x)=16/a e que y=18/c.
Substituindo, então, temos ac+288/ac=54. Como queremos a área ac,
Fazemos ac=z e temos a equação z2-54^z+288=0, cujas raízes são
6 e 48. Lgo, a área pedida é 48, porque 6 é menor que as áreas dadas.
_
Quer mais velocidade?
Só com o acesso Aditivado iG, a velocidade que você quer na hora que você 
precisa.
Clique aqui: http://www.acessoaditivado.ig.com.br

_
MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil.  http://www.hotmail.com
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Re: Geometria Plana

[JoaoCarlos_Junior]

Alguém colocara na lista o exercício que abaixo segue, porém, cometi o
equívoco de apagá-lo:

  Dado  um  triângulo  ABC,  as tangentes ao círculo circunscrito a tal
  triângulo,  pelos  vértices  dos  mesmos, interceptam os lados opostos em
  três pontos distintos. Provar que tais pontos são colineares.

  A  solução que segue é simples, não no sentido de bela, mas devido ao
  uso  de  parcos  conhecimentos  para  inferi-la. Dirigindo-me ao original
  interessado na resolução, digo:

  Desenhe  a  figura  ou parte dela. Sejam M, N e P esses pontos: M é a
  intersecção de AC com a tangente ao círculo por B; N é a interseção de BC
  com a tangente por A, e P é o outro, construído de forma semelhante. Seja
  X  a  interseção  das  tangentes por A e B. Ainda com linguagem, sejam os
  ângulos: NMB = teta, MNA = alfa, BNP = beta e BPN = delta. Assim:

Triângulo MNX, teta + alfa = 2C;
Triângulo PNB, beta + delta = 180 ? B e
Triângulo MPB, teta + delta = C.

  Logo,  alfa + beta = 180 + C ? B. Como ANB = B ? C, tem-se que alfa +
  beta + ANB = 180. Logo, M, N e P são colineares.

  Essa  questão  suscitou-me  outras.  Assim,  inquiro ao professores e
  interessados: quais são todas as formas, em geometria plana, de se provar
  colinearidade de três pontos? Lembro-me de Simpson. Quais as outras?

  ATT. João Carlos.





=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: Geometria - interessantes

[Marcelo Souza]

São problemas correlatos. O primeiro é da iberoamericana (so que acho que os 
valores eram diferentes)...e o segunda da olimpiada estadual do Rio.
1.basta fazer a rotação do triangulo APB por exemplo (qquer um serve) de 
60º. Dai, ficamos com um triangulo equilatero, no caso 7,7,7. e um triangulo 
7,8,5. Calculamos o cosseno de CP'P, onde P' é a rotação do ponto P. Esse 
cosseno vale 1/7. (usando lei dos cossenos). Depois usando lei dos cossenos 
no triangulo CP'B, acha-se o lado do triangulo.
2. Em baixo o mesmo esquema. Use a diagonal para formar um triangulo e use o 
mesmo processo acima.
Desculpe a falta de clareza, mas sem desenho e dificil.
[]'s, M


From: Guilherme Pimentel [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: Lista OBM [EMAIL PROTECTED]
Subject: Geometria - interessantes
Date: Thu, 1 Nov 2001 04:57:09 -0200

Tirei estes aqui de outra lista, achei interessantes:

[1] Seja ABC um triangulo equilatero e P um ponto interior distando 5, 7 e 
8
dos vertices. Ache o lado do triangulo.

[2] Seja ABCD um quadrado e P um ponto interior que dista 1 de A, 4 de B e 
5
de C. Ache a area do quadrado.

[]'s Guilherme Pimentel
http://sites.uol.com.br/guigous
 winmail.dat 


_
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Re: Geometria

[Eduardo Wagner]

Considere todas as esferas que contenham a circunferencia dada.
Apenas uma delas tambem contem Q. O centro C dessa esfera e'
equidistante de todos os pontos: Q, P1, ...,Pn. Logo C e'
comum a todos os planos mediadores dos segmentos QPi.
Abraco,
Wagner.

--
From: Arnaldo [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED][EMAIL PROTECTED]
Subject: Geometria
Date: Mon, Sep 17, 2001, 11:25


 Gostaria de ver uma solução para este problema.

 É dado em um plano pi, uma circunferência sobre a qual marcam-se
 n (Pi, com 1=i=n)pontos. Toma-se um ponto Q fora do plano pi, a partir daí
 tomamos os planos que passam por Pi e é perpendicular ao segmento determinado
 por Pi e Q. Prove que todos os n planos determinados possuem um ponto comum.


 http://www.ieg.com.br

Re: Geometria

[Alexandre Tessarollo]

Eduardo Casagrande Stabel wrote:
Ola pessoal!
Eu tenho duas perguntas sobre geometria.
1. Sejam A e B dois pontos distintos do plano, qual o nome, propriedade
ou
quaisquer coisa relacionada a figura formada por todos os pontos P
de tal
forma que o angulo A^PB seja constante?


 Ao conjunto L dos pontos do plano que tm
uma determinada propriedade P, tal que todo elemento de L possui a propriedade
P e apenas os elementos de L possuem a propriedade P d-se o nome
de lugar geomtrico ou, em ingls e latim, locus. Um
exemplo  a circunferncia. Todos os pontos da circunferncia
possuem a propriedade de distar R do centro O, e apenas os pontos da circunferncia
possuem esta propriedade.
 O lugar geomtrico que vc procura chama-se
Arco Capaz. Dado um ngulo XYZ e um segmento AB, constri-se
assim:
1) transporte o ngulo XYZ para o segemento AB, ou seja, AB ser
um dos lados do ngulo e A ser o vrtice. Se vc sabe
como fazer isto, pule para o passo 2.
 a) Com um distncia qualquer no compasso, faa
um arco centrado em Y e que corte YX e YZ.
 b) Com esta MESMA distncia, centre em A e
faa a circunferncia. (Poderia ser s um arco que
cortasse AB e fosse um "pouquinho" maior que o arco original, mas daqui
a pouco vc vai entender o porqu da circunferncia completa).
 c) Seja T e U as interseces do arco
(construdo no item a) com YX e YZ, respectivamente.
 d) Marque a distncia TU no compasso.
 e) Seja C a interseco da circunferncia
(construda no item b) com o segmento AB.
 f) Centrando em C, marque a distncia (TU)
na circunferncia (construda no item b). Surgiro
os pontos D ("acima" de AB) e E ("abaixo" de AB).
 g) Agora, temos BAD = BAE = XYZ
2) Tomemos o ngulo BAD = XYZ (D "acima" de AB). Construa a perpendicular
a AD que passa por A.
3) Construa a mediatriz de AB.
4) Seja O a interseco da mediatriz de AB com a perpendicular
(construda no item 2).
5) Centrando em O e com o compasso "indo" at A, faa
o arco "at" B. Note que vc pode tanto fazer um arco grande como
um arco pequeno. Faa o arco "para baixo". (Se o seu ngulo
for agudo, ser o arco maior. Se for obtuso, ser o arco
menor.)
6) Repita os passos 2 a 5, sendo que no passo 2 voc dever
pegar o ngulo BAE ao invs de BAD (E "abaixo" de AB) e no
passo 5, voc dever construir o arco "para cima".

 A juno destes dois arcos d
o Arco Capaz que enxerga AB sob um ngulo XYZ. A figura no
final parece um oito deformado se XYZ for agudo, uma quase-elipse achatada
se o ngulo for obtuso e  exatamente uma circunferncia
se o ngulo for reto.

 Prova:
 Observe que o ngulo OAB  comlementar
de BAD = XYZ por construo. Seja M o ponto mdio
de AB. O ngulo AMO  reto pois MO  mediatriz de AB,
por construo. Assim, como num tringulo a soma dos
ngulos internos  180, no tringulo AMO, o ngulo
AOM dever ser igual a BAD = XYZ.
 Como AM=MB, MO=MO e os ngulos AMO=BMO, temos,
por lado-ngulo-lado, que os tringulos AMO e BMO so
congruentes e, em particular, os ngulos BOM=AOM=XYZ. Ou seja, o
ngulo AOB  2*XYZ.
 Mas AOB  o ngulo central do arco (construdo
em 5). Logo, qualquer ponto neste arco enxergar AB sob um angulo
de AOB/2 = (2*XYZ)/2 = XYZ.
 Repete-se a prova para o "outro" arco (construdo
em 6) e est provado, CQD.

 Quaisquer dvidas ou comentrios,
estamos a.
[]'s
Alexandre Tessarollo
PS: No passo 5, na hora de construir o arco "para cima" ou "para baixo",
basta lembrar que o arco tem de estar no lado "oposto" ao lado em que o
ngulo foi construdo, com relao 
AB. Ou seja, se voc construir BAD "acima" de AB, o arco dever
ser "abaixo", e vice-versa.

2. Temos um triangulo equilatero ABC, dentro do triangulo se tracam
tres
segmentos, cada um partindo de um lado, que nao se cruzam mas estao
um
apoiados nos outros. Mostrar que se os tres segmentos tem o mesmo
comprimento, o triangulo do meio e' tambem equilatero.

Eu ia anexar uma figurinha pro 2, mas tem gente que
nao consegue abrir.

A

/\

/ \

/ \

/ \

/ \
 /
\
 /
\
 /
x Q
 /
\
R x
\
 /
\
 /
\
 /
\
/__x___\
B
P
C

 Hum, talvez mais atrapalhe do que ajude, mas vamos
ver se eu entendi: Sejam X, Y e Z as interseces de AP e
BQ, BQ e CR, CR e AP, respectivamente. Ento, se ABC  equiltero
e AX=BY=CZ, ento o tringulo XYZ tambm  equiltero.
 Bem, se for isto, acho que at j vi
essa questo antes. S que no sei se vi a soluo
e, se vi, no lembro. Vou pensar um pouco mais... :-)
Eduardo Casagrande Stabel.

Mais uma vez,
[]'s
Alexandre Tessarollo

Re: Geometria

[Eduardo Casagrande Stabel]

Nao tive tempo de ler o seu e-mail, mas ja agradecco pelos comentarios.
Eu me expressei mal no segundo problema. Vai anexado uma figura, espero que
todos possam ve-la. O triangulo ABC eh equilatero, e os lados AP, BQ e CR
tem o mesmo comprimento. Tem-se que provar que PQR eh equilatero.

Obrigado, Alexandre.

Eduardo Casagrande Stabel.

- Original Message -
From: Alexandre Tessarollo
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Friday, August 31, 2001 12:22 PM
Subject: Re: Geometria



Eduardo Casagrande Stabel wrote:
Ola pessoal!
Eu tenho duas perguntas sobre geometria.
1. Sejam A e B dois pontos distintos do plano, qual o nome, propriedade ou
quaisquer coisa relacionada a figura formada por todos os pontos P de tal
forma que o angulo A^PB seja constante?


Ao conjunto L dos pontos do plano que têm uma determinada propriedade P,
tal que todo elemento de L possui a propriedade P e apenas os elementos de L
possuem a propriedade P dá-se o nome de lugar geométrico ou, em inglês e
latim, locus. Um exemplo é a circunferência. Todos os pontos da
circunferência possuem a propriedade de distar R do centro O, e apenas os
pontos da circunferência possuem esta propriedade.
O lugar geométrico que vc procura chama-se Arco Capaz. Dado um ângulo
XYZ e um segmento AB, constrói-se assim:
1) transporte o ângulo XYZ para o segemento AB, ou seja, AB será um dos
lados do ângulo e A será o vértice. Se vc sabe como fazer isto, pule para o
passo 2.
a) Com um distância qualquer no compasso, faça um arco centrado em Y e
que corte YX e YZ.
b) Com esta MESMA distância, centre em A e faça a circunferência.
(Poderia ser só um arco que cortasse AB e fosse um pouquinho maior que o
arco original, mas daqui a pouco vc vai entender o porquê da circunferência
completa).
c) Seja T e U as intersecções do arco (construído no item a) com YX  e
YZ, respectivamente.
d) Marque a distância TU no compasso.
e) Seja C a intersecção da circunferência (construída no item b) com o
segmento AB.
f) Centrando em C, marque a distância (TU) na circunferência (construída
no item b). Surgirão os pontos D (acima de AB) e E (abaixo de AB).
g) Agora, temos BAD = BAE = XYZ
2) Tomemos o ângulo BAD = XYZ (D acima de AB). Construa a perpendicular a
AD que passa por A.
3) Construa a mediatriz de AB.
4) Seja O a intersecção da mediatriz de AB com a perpendicular (construída
no item 2).
5) Centrando em O e com o compasso indo até A, faça o arco até B. Note
que vc pode tanto fazer um arco grande como um arco pequeno. Faça o arco
para baixo. (Se o seu ângulo for agudo, será o arco maior. Se for obtuso,
será o arco menor.)
6) Repita os passos 2 a 5, sendo que no passo 2 você deverá pegar o ângulo
BAE ao invés de BAD (E abaixo de AB) e no passo 5, você deverá construir o
arco para cima.

A junção destes dois arcos dá o Arco Capaz que enxerga AB sob um ângulo
XYZ. A figura no final parece um oito deformado se XYZ for agudo, uma
quase-elipse achatada se o ângulo for obtuso e é exatamente uma
circunferência se o ângulo for reto.

Prova:
Observe que o ângulo OAB é comlementar de BAD = XYZ por construção. Seja
M o ponto médio de AB. O ângulo AMO é reto pois MO é mediatriz de AB, por
construção. Assim, como num triângulo a soma dos ângulos internos é 180º, no
triângulo AMO, o ângulo AOM deverá ser igual a BAD = XYZ.
Como AM=MB, MO=MO e os ângulos AMO=BMO, temos, por lado-ângulo-lado, que
os triângulos AMO e BMO são congruentes e, em particular, os ângulos
BOM=AOM=XYZ. Ou seja, o ângulo AOB é 2*XYZ.
Mas AOB é o ângulo central do arco (construído em 5). Logo, qualquer
ponto neste arco enxergará AB sob um angulo de AOB/2 = (2*XYZ)/2 = XYZ.
Repete-se a prova para o outro arco (construído em 6) e está provado,
CQD.

Quaisquer dúvidas ou comentários, estamos aí.
[]'s
Alexandre Tessarollo
PS: No passo 5, na hora de construir o arco para cima ou para baixo,
basta lembrar que o arco tem de estar no lado oposto ao lado em que o
ângulo foi construído, com relação à AB. Ou seja, se você construir BAD
acima de AB, o arco deverá ser abaixo, e vice-versa.

2. Temos um triangulo equilatero ABC, dentro do triangulo se tracam tres
segmentos, cada um partindo de um lado, que nao se cruzam mas estao um
apoiados nos outros. Mostrar que se os tres segmentos tem o mesmo
comprimento, o triangulo do meio e' tambem equilatero.
Eu ia anexar uma figurinha pro 2, mas tem gente que nao consegue abrir.
  A
 /\
/  \
   /\
  /   \
 / \
   / \
 / \
/x Q
   /   \
 R  x   \
/   \
   /   \
  /   \
/__x___\
B  P  C

Hum, talvez mais atrapalhe do que ajude, mas vamos ver se eu entendi:
Sejam X

Re: Geometria plana

[Marcelo Souza]

Essa HP  uma obra de arte, alis, eu a recomendo para todos da lista
http://www.cut-the-knot.com/content.html
abrao
M

From: Marcelo Roseira<[EMAIL PROTECTED]> 
Reply-To: [EMAIL PROTECTED] 
To:<[EMAIL PROTECTED]> 
Subject: Geometria plana 
Date: Tue, 7 Aug 2001 09:41:21 -0300 
 
Estou montando uma apostila de Geometria Plana. Algum teria uma boa dica de site (de preferncia em Portugus) com boas listas de exerccios de Geometria. 
J achei alguns interessantes, mas s com teoria. Preciso de exerccios agora. Se algum souber de algum lugar onde posso encontrar talvez uma apostila para download daria uma grande ajuda. 
 
Obrigado. 
Marcelo Roseira. 
 
The Impossible Dream 
 
To dream the impossible dream, 
To fight the unbeatable foe,... 
To right the unrightable wrong,... 
To try, when your arms are too weary, 
To reach the unreachable star! 
This is my Quest to follow that star, 
No matter how hopeless, no matter how far,... 
And I know, if I'll only be true to this glorious quest, 
That my heart will lie peaceful and calm 
 when I'm laid to my rest. 
And the world will be better for this... 
 
Don Quixote in Man of La Mancha 
 
 
Get your FREE download of MSN Explorer at http://explorer.msn.com

Re: Geometria espacial

[Frederico Pessoa]

HEHEHEHEHE - Esse problema foi um problema lá na sala... Dá uma coisa meio
estranha tipo uma esfera quadrada, i.e., uma pseudo-esfera que ao invés de
ser formada por uma pilha de circunferências é formada por uma pilha de
quadrados... Talvez algo próximo de um balãozinho.

Mas quanto ao ensino médio... Gostaria de mencionar que o meu professor
(Benedito Sérgio - o Bené...) demonstrou usando o princípio de cavalieri, o
do cilindro com dois cones dentro... Como os dois cones formam uma
ampulheta, uma clepsíadra, ele chamou o volume da região exterior à
clepsíadra e interior ao cilindro de anti-clepsíadra.

Abraços,
 Fred


- Original Message -
From: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Thursday, August 02, 2001 6:59 AM
Subject: Re: Geometria espacial

Re: Geometria e inglês

[Luis Lopes]

Sauda,c~oes,

Agora mando informações para aqueles que
acham que escrever proven não está correto.

Confesso que mando esta mensagem a contragosto
(não é o objetivo da lista) mas como o assunto
é polêmico (para aqueles que escrevem em inglês)
achei que deveria completar a discussão (por isso
mando todas as mensagens a respeito do assunto).
E não falo mais nisso.

Por outro lado, é interessante conhecer o site

http://www.yourdictionary.com

de um dicionário online de diversas línguas.

[ ]'s
Lu'is

From: Wilson Stothers [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: [EMHL] Forum Geometricorum
Date: Fri, 11 May 2001 08:46:44 +0100

You might like to look at Websters Dictionary,
both as regards to usage and pronunciation.

try

http://www.yourdictionary.com

and search for prove.

Perhaps we should take the view that a good language,
like a good geometry program is dynamic.


Wilson Stothers

e-mail  [EMAIL PROTECTED]
home page   http://www.maths.gla.ac.uk/~wws/
telephone   +44 (0) 141 330 6531

_
Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com.

-Mensagem Original-
De: Luis Lopes [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED]
Enviada em: Quinta-feira, 10 de Maio de 2001 20:14
Assunto: Geometria e inglês


Sauda,c~oes,

Informações para um site e um grupo que discute geometria pesada
e para aqueles que acham que escrever proven está correto.

[ ]'s
Lu'is


From: Paul Yiu [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: (Recipient list suppressed)
Subject: [EMHL] Forum Geometricorum
Date: Thu, 10 May 2001 13:57:50 -0400

The following paper has been published in Forum Geometricorum. It can be
viewed at

http://forumgeom.fau.edu/FG2001volume1/FG200111index.html

The Editors
Forum Geometricorum

--
Nikolaos Dergiades, The Gergonne Problem,

Forum Geometricorum, 1 (2001) 75--79.

Abstract: An effective method for the proof of geometric inequalities is
the use of the dot product of vectors. In this paper we use this method to
solve some famous problems, namely Heron's problem, Fermat's problem and
the extension of the previous problem in space, the so called Gergonne's
problem. The solution of this last is erroneously stated, but not proven,
in F.G.-M.



From: Richard Guy [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: [EMHL] Forum Geometricorum
Date: Thu, 10 May 2001 12:46:05 -0600 (MDT)

May I air one of my bêtes noires ?

`proven' is the past participle of an archaic
verb `preve', meaning `to test', certainly not
`to prove' in the modern mathematical sense.
Its etymology (and pronunciation) are clear
when you compare `woven' and `cloven'.

It survives in Scottish law as a third possible
verdict, `Not Proven' and in a few phrases, e.g.
`a proven remedy' and is connected with the
`proof' (number of 200ths) of spiritous liquors.

The p.p. of `to prove' is `proved'.  You might
think that this is just another of my pieces
of windmill-tilting, but this morning I refereed
a paper (three, actually) and suggested, amongst
other things, that `unproven' be changed to
`unproved'.  I'm delighted to say that the
editor has already emailed me to say that that
is an editorial change that he/she routinely
makes.  R.

Re: Geometria plana

[Eduardo Wagner]

Title: Re: Geometria plana



Oi pessoal da lista.
O problema proposto pelo Alex eh famoso.
Alguem se habilita em mostrar uma solucao?

--
From: Alex Vieira [EMAIL PROTECTED]
To: OBM [EMAIL PROTECTED]
Subject: Geometria plana
Date: Wed, Apr 11, 2001, 14:29


Ola meus amigos,

Sera que alguem poderia me dar uma luz neste exercicio de geometria (ver fig. gif em anexo), onde se quer descobrir o angulo x, sabendo-se que o triangulo ABC eh isoceles?


Um abraço,

Alex.

Re: Geometria (variação)

[josimat]

Receber problemas por telefone  to estranho quanto receber por computador.

Agora, considerando o problema anterior, suponha que esses lados
consecutivos estejam num mesmo semiplano, determinado pela reta suporte da
diagonal maior. Qual ser o permetro do paralelogramo?
[]'s JOSIMAR
-Mensagem original-
De: Eduardo Botelho [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]
Data: Sexta-feira, 12 de Janeiro de 2001 21:05
Assunto: Re: Geometria


Ol Josimar!

Chamando de ABCD o paralelogramo, e sendo AC a maior diagonal,  P o
ponto tomado e os ps das alturas cujos valores so trs e quatro sendo,
respectivamente,  E e F,  podemos montar a partir de P um paralelogramo
semelhante ao grando, cujos vrtices so G e H (G entre os pontos E e C e
H
entre C e F). Observando que os tringulos PFH e PEG so semelhantes na
razo 4/3, os paralelogramos PGCH e ABCD tb so semelhantes na razo de
3/4.
Assim, fazendo 4/3 = (x+4)/x , sai x=12, e conclumos que o permetro  56.

Por curiosidade, que negcio  esse de receber problema por telefone?

Abraos, Eduardo

-Mensagem original-
De: josimat [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]
Data: Sexta-feira, 12 de Janeiro de 2001 12:26
Assunto: Re: Esclarecimento continua


Filho, quase posso garantir que nada foi dito a respeito nas RPMs. Mas
posso lhe enviar, anexado e por trs de lista, algo sobre.
Para no perder a viagem, veja este que recebi por telefone.
 mais ou menos assim:

Num paralelogramo, no qual uma das dimenses  4m  maior que a outra,
toma-se um ponto, pertencente  sua diagonal maior, de tal sorte que diste
3m e 4m de dois lados consecutivos. d o permetro do paralelogramo.

[]'s JOSIMAR
-Mensagem original-
De: filho [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]
Data: Sexta-feira, 12 de Janeiro de 2001 00:41
Assunto: Esclarecimento continua


Caro Josimat e amigos da lista, vocs sabem dizer se o assunto
Heurstica positiva e negativa j foi explorado nas revistas da RPM.

Re: Geometria, correção

[Eduardo Botelho]

Olha eu aqui de novo...

 Vi que escrevi uma coisa que 
no est certa: os paralelogramos no so 
semelhantes na razo 4/3. Os lados do paralelogramo  que 
respeitam essa razo( lado maior sobre lado menor)
 Do mais,  s..
 

 Abraos, 
Eduardo

-Mensagem original-De: 
josimat [EMAIL PROTECTED]Para: 
[EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]Data: 
Sexta-feira, 12 de Janeiro de 2001 12:26Assunto: Re: 
Esclarecimento continua
Filho, quase posso 
garantir que nada foi dito a respeito nas RPMs. Mas posso lhe enviar, 
anexado e por trs de lista, algo sobre.
Para no perder a 
viagem, veja este que recebi por telefone.
 mais ou menos 
assim:

Num paralelogramo, no 
qual uma das dimenses  4m maior que a outra, toma-se 
um ponto, pertencente  sua diagonal maior, de tal sorte que diste 3m 
e 4m de dois lados consecutivos. d o permetro do 
paralelogramo. 

[]'s 
JOSIMAR

-Mensagem 
original-De: filho [EMAIL PROTECTED]Para: 
[EMAIL PROTECTED] 
[EMAIL PROTECTED]Data: 
Sexta-feira, 12 de Janeiro de 2001 00:41Assunto: 
Esclarecimento continua
Caro Josimat e amigos da lista, vocs sabem 
dizer se o assunto Heurstica positiva e negativa j foi 
explorado nas revistas da 
RPM.

Re: Geometria das Areias...

[Eduardo Wagner]

G. Papelier foi um matematico frances do inicio do seculo. Grande geometra,
publicou em 1926 "Exercices de Géométrie moderne" em 3 volumes.
Posteriormente, a livraria Vuibert separou os capitulos e os publicou em
pequenos livros com os titulos: geometria dirigida, transversais, divisao
harmonica, polo e polar, razao anarmonica, inversao, homografia, involucao,
e geometria projetiva. O seu livro de geometria analitica em duas e tres
dimensoes, publicado em 1930 eh um tratado completo do assunto. Tem tudo
o que se posa imaginar. Creio que este livro deve ter sido um sucesso, pois
em 1937 foi publicada sua nona edicao.
Papelier publicou junto com M. Aubert livros de exercicios de algebra,
analise, trigonometria, mecanica e geometria descritiva. Uma farta e
incrivel producao.

Wagner.

--
From: Augusto Morgado [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: Geometria das Areias...
Date: Sat, Nov 4, 2000, 16:48


 Wilson Areias foi um professor de geometria de muitos cursos
 vestibulares do Rio de Janeiro. Faleceu prematuramente, vítima de um
 acidente de carro. Foi um grande resolvedor de problemas, tendo tido
 muitas de suas soluções publicadas na Crux Mathematicorum.
 Acho que ele trabalhou no GPI ou no MV1 e o livro a que você se refere
 deve ser a apostila do curso.
 Um possível leitor dessa mensagem e que foi um grande amigo do Areias é
 o Antonio Luis Santos, que deve conhecer o livro a que você se refere.
 Morgado
 wrote:

 Alguém ae conhece um livro de geometria q se chama
 geometria das areias ou só geometria mas q o autor
 tenha areias no nome?  e sabem se existe um livro de
 geometria do PAPELIER? se alguém souber de algo por
 favor me contate... obrigado... [EMAIL PROTECTED]

 __
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Re: Geometria das Areias...

[Augusto Morgado]

Wilson Areias foi um professor de geometria de muitos cursos
vestibulares do Rio de Janeiro. Faleceu prematuramente, vítima de um
acidente de carro. Foi um grande resolvedor de problemas, tendo tido
muitas de suas soluções publicadas na Crux Mathematicorum.
Acho que ele trabalhou no GPI ou no MV1 e o livro a que você se refere
deve ser a apostila do curso.
Um possível leitor dessa mensagem e que foi um grande amigo do Areias é
o Antonio Luis Santos, que deve conhecer o livro a que você se refere. 
Morgado
wrote:
 
 Alguém ae conhece um livro de geometria q se chama
 geometria das areias ou só geometria mas q o autor
 tenha areias no nome?  e sabem se existe um livro de
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Re: Geometria analítica

[josimat]

Num plano, o conjunto dos pontos que equidistam de um ponto F e de uma reta
d, é chamado de parábola. F é chamado de foco e d, de diretriz da parábola.
Parâmetro é a distância entre o foco e a diretriz. Vértice é o ponto da
parábola mais próximo do foco.

Para saber mais, procure CÔNICAS.

Definição de cônica:

É o lugar geométrico dos pontos em um plano tais que a razão entre a
distância de cada um deles a um ponto chamado foco e a uma reta chamada
diretriz é uma constante chamada excentricidade.

parábola: excentricidade 1.
elipse: excentricidade1.
hipérbole: excentricidade1.
circunferência: excentricidade=zero.

Espero ter ajudado.
[]'s JOSIMAR




-Mensagem original-
De: Douglas C. Andrade [EMAIL PROTECTED]
Para: Lista de Matemática [EMAIL PROTECTED]
Data: Segunda-feira, 2 de Outubro de 2000 21:50
Assunto: Geometria analítica


Que é um foco e um parâmetro de uma parábola?

Re: Geometria analítica

[José Paulo Carneiro]

A parabola pode ser definida como o conjunto (ou lugar geometrico) dos
pontos do plano que equidistam de um ponto dado (chamado foco) e uma reta
dada (chamada diretriz).  A distancia entre o foco e a diretriz eh o
parametro (alguns chamam de parametro a metade desta distancia).

-Mensagem original-
De: Douglas C. Andrade [EMAIL PROTECTED]
Para: Lista de Matemática [EMAIL PROTECTED]
Data: Segunda-feira, 2 de Outubro de 2000 22:00
Assunto: Geometria analítica


Que é um foco e um parâmetro de uma parábola?

Re: Geometria com complexos!

[Rodrigo Villard Milet]

Aí, Márcio, quanto ao erro tipográfico, tenho certeza que está errado
mesmo... eu até fiz uma solução bem simples dá uma olhada :
 Como os Ai formam um pentágono regular, cada corda tem angulo central
72.então, traçando o apótema relativo a um lado, vemos que podemos dizer que
o lado mede 2.Sen36=4.Sen18.cos18=AoA1
E, de modo análogo, traçando a diagonal do pentágono { A3A5 }, vemos que
A3A5=2cos18. (AoA1.A3A5)=8.sen18.(cos18)^2.
Como sen18=(5^(1/2) -1)/4, tiramos q (cos18)^2=(5+5^(1/2))/8
.: (AoA1.A3A5)={[5^(1/2) - 1][5^(1/2)+1]5^(1/2) }/4 = 5^(1/2)
então, (AoA1.A3A5)^2 = 5, o que impossibilita que o enunciado seja
(AoA1.A3A2)^2 = 5, pois A3A2  A3A5. 
   Abraços,
  ¡ Villard !
-Mensagem original-
De: Marcio [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]
Data: Domingo, 16 de Julho de 2000 19:50
Assunto: Geometria com complexos!



"Dados um ponto P sobre uma circunferência unitária e os vértices A1, A2,
..., An de um n-agono regular inscrito, prove que:
PA1^2 + PA2^2 + ... + PAn^2 e
PA1^4 + PA2^4 + ... + PAn^4 são constantes".

 Esse problema esta no artigo de complexos da Eureka 7. Eu até acho que sei
como resolve-lo, mas gostaria de saber se existe uma solucao mais simples
usando numeros complexos (tenho esperanca que sim).
 Minha solucao (braçal) seria algo do tipo:
Chame P de e^ia.
Entao, PAk = |e^ia - e^(i2pik/n)|.
 E os dois somatorios do enunciado poderiam ser calculados explicitamente
com as seguintes observacoes:
i)  |1 - e^ib| = 2sen(b/2) qq q seja b;
ii) Uso da formula para o calculo do somatorio S (de k igual a 1 ate n) de
sen (x + yr) e cos(x+yr).
iii) Uso de expressoes do tipo 2sen^2(b) = 1 - cos (2b); 8sen^4 (b) =
cos(4b) - 4cos(2b) + 3.

 É bem verdade que (ii) e (iii) podem ser demonstradas utilizando-se
complexos, mas ainda fico na duvida sobre se existe uma solucao mais
facil/direta para esse problema.

 E para completar, mas duas indagacoes :
1) Da para mostrar que acontece a mesma coisa se o ponto P estiver em qq
lugar do plano (ou até do espaço)? (acho q ja vi isso num livro).
2) existe alguma generalizacao para a soma de uma potencia qualquer?

 E mais um comentario, acho que há um pequeno erro tipografico no problema
8
do referido artigo.
A questao é :
"A0, A1, A2, A3, A4, A5 dividem a circunferencia unitaria em cinco partes
iguais. Prove que (AoA1.A3A2)^2 = 5."
Acho que o correto seria algo do tipo (AoA1.A3A5)^2 = 5...

[]'s,
Marcio

Re: Geometria

[Paiva]

 As circunferências não estão inscritas no triângulo?
 
 
 Marcos EIke
estão... li circunscritas...
desculpe

Mauricio Paiva