[obm-l] Re: Soma de Quadrados
Na realidade, o pedido do problema é: calcular lim P_N quando N -> + infty. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Re: Soma de sequencia
On Thu, Jan 13, 2005 at 12:26:10PM -0300, Demetrio Freitas wrote: ... > De novo peço desculpas ao pessoal: espero não estar > enchedo a lista com coisas de interesse menor. Acho que você não tem nenhum motivo para estar se desculpando. A sua mensagem está perfeitamente dentro da proposta da lista e até caiu uma questão parecida na primeira fase da OBM nível U do ano passado. E há um monte de mensagens off-topic ou pelo menos de caráter duvidoso. > Mas a sua resposta me encorajou a colocar na lista a forma > como eu tinha feito ontem a noite. Ótimo! > Eu ainda estava pensando em arrumar a minha tentativa > original, só que tomando somas com um número finito de > termos da série harmonica. > > Assim, tomando os n primeiros termos: > > > S1 = 3/3(1/1 +1/2 +1/3 +1/4... +1/n) = 3/3 +3/6 +3/9 > +3/12... +3/3n > > S2 = -1/3 -1/4 -1/5 -1/6 -1/7... -1/n > > S = s1 - s2 = 2/3 -1/4 -1/5 +2/6 -1/7 ... > +2(n-2) -1/(n-1) -1/n + 3/n+1 + 3/n+4 +...+3/3n > > Comparando a sequencia finita S com os n primeiros > termos da minha série original (infinita) percebi que > eram iguais exceto pelo erro dado por: > > E = 3/n+1 + 3/n+4 + 3/n+7...+3/3n Até aqui está tudo perfeito. > Agora é possível fazer duas aproximações quando n->oo > > Primeiro: 3/(n+1) =~ 1/n + 1/(n+1) + 1/(n+2) > > Com isso: > > E =~ 1/n + 1/(n+1) + 1/(n+2) + 1/(n+4) ... 1/(3n-1) + > 1/3n Este primeiro passo precisaria ser justificado: pq esta aproximação não altera o valor do limite? Mas veja abaixo. > Segundo: Se n tender a infinito E pode ser aproximado > pela integral de 1/x, já que a diferença entre a soma > da série harmînica e a integral de 1/x tende a zero > para x->oo. > > Neste caso posso calcular: > E (n->oo)= log(n) - log(n/3) =log(n)-log(n) + log(3) > > > E (n->oo) = log (3) O primeiro passo é desnecessário. O valor original E = 3/n+1 + 3/n+4 + 3/n+7...+3/3n é uma soma de Riemann que aproxima a mesma integral que você considerou. Assim o seu limite é log(3). > Portanto: s(n->oo) = 1 + 1/2 - log(3) > > > Claro que não é uma demonstração completa do ponto de > vista formal, com a sua, mas eu fiquei satisfeito > porque acho que está correta e de início eu não sabia > nem como começar... E posso usar esta para outras > séries parecidas. Acho que está correta e quase completa, faltou apenas dar uma breve explicação para o segundo passo. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: Soma de sequencia
Sauda,c~oes,
Também gostei da solução do Nicolau.
===
Claro que não é uma demonstração completa do ponto de
vista formal, com a sua, mas eu fiquei satisfeito
porque acho que está correta e de início eu não sabia
nem como começar.
===
Resumindo a sua idéia, podemos escrever
S_n = 3/2 + H_n - H_{3n+2} e S=lim n-->oo S_n.
Como H_n = log n + gama + o(1) e log(3n+2) =
log(3n) + o(1), então S = 3/2 - log(3).
===
... E posso usar esta para outras séries parecidas
===
É verdade. Uma outra série que apareceu por aqui foi
S_n = sum_{k=0}^n { 1/(4k+1) +1/(4k+3) - 1/2(k+1) }.
Então S_n = H_{4n+3} - H_{2n+1}/2 - H_{n+1}/2
e S = 3log(2) / 2 .
[]'s
Luis
From: Demetrio Freitas <[EMAIL PROTECTED]>
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: Re: [obm-l] Re: Soma de sequencia
Date: Thu, 13 Jan 2005 12:26:10 -0300 (ART)
Obrigado pela atenção, professor, e pela resposta
sempre perfeita.
De novo peço desculpas ao pessoal: espero não estar
enchedo a lista com coisas de interesse menor. Mas a
sua resposta me encorajou a colocar na lista a forma
como eu tinha feito ontem a noite.
Eu ainda estava pensando em arrumar a minha tentativa
original, só que tomando somas com um número finito de
termos da série harmonica.
Assim, tomando os n primeiros termos:
[...]
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Re: Soma de sequencia
Obrigado pela atenção, professor, e pela resposta sempre perfeita. De novo peço desculpas ao pessoal: espero não estar enchedo a lista com coisas de interesse menor. Mas a sua resposta me encorajou a colocar na lista a forma como eu tinha feito ontem a noite. Eu ainda estava pensando em arrumar a minha tentativa original, só que tomando somas com um número finito de termos da série harmonica. Assim, tomando os n primeiros termos: S1 = 3/3(1/1 +1/2 +1/3 +1/4... +1/n) = 3/3 +3/6 +3/9 +3/12... +3/3n S2 = -1/3 -1/4 -1/5 -1/6 -1/7... -1/n S = s1 - s2 = 2/3 -1/4 -1/5 +2/6 -1/7 ... +2(n-2) -1/(n-1) -1/n + 3/n+1 + 3/n+4 +...+3/3n Comparando a sequencia finita S com os n primeiros termos da minha série original (infinita) percebi que eram iguais exceto pelo erro dado por: E = 3/n+1 + 3/n+4 + 3/n+7...+3/3n Agora é possível fazer duas aproximações quando n->oo Primeiro: 3/(n+1) =~ 1/n + 1/(n+1) + 1/(n+2) Com isso: E =~ 1/n + 1/(n+1) + 1/(n+2) + 1/(n+4) ... 1/(3n-1) + 1/3n Segundo: Se n tender a infinito E pode ser aproximado pela integral de 1/x, já que a diferença entre a soma da série harmînica e a integral de 1/x tende a zero para x->oo. Neste caso posso calcular: E (n->oo)= log(n) - log(n/3) =log(n)-log(n) + log(3) E (n->oo) = log (3) Portanto: s(n->oo) = 1 + 1/2 - log(3) Claro que não é uma demonstração completa do ponto de vista formal, com a sua, mas eu fiquei satisfeito porque acho que está correta e de início eu não sabia nem como começar... E posso usar esta para outras séries parecidas. []´s Demetrio --- "Nicolau C. Saldanha" <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > On Wed, Jan 12, 2005 at 04:41:49PM -0300, Demetrio > Freitas wrote: > > Achei uma resposta: > > > > s = 1/3 +1/3 -1/4 -1/5 +1/6 +1/6 -1/7 -1/8 +1/9 > +1/ > > -1/10 -1/11 +1/12 +1/12 -1/13 -1/14 +. > > > > s1 = 3/3(1/1 +1/2 +1/3 +1/4...) = 3/3 +3/6 +3/9 > > +3/12... = serie harmonica > > > > s2 = -1/3 -1/4 -1/5 -1/6 -1/7 = 1 + 1/2 - > serie > > harmonica > > > > s = s1 + s2 = 1 + 1/2 = 1.5 > > > > Será que isto tá certo? > > Infelizmente não. Você usou implicitamente a > convergência > da série harmônica. A resposta correta está abaixo. > > > Estou procurando a soma da seguinte sequencia: > > > > 1/3 +1/3 -1/4 -1/5 +1/6 +1/6 -1/7 -1/8 +1/9 +1/9 > > -1/10 -1/11 +1/12 +1/12 -1/13 -1/14 +. > > Tome f(z) = - log(1-z) = z + z^2/2 + z^3/3 + z^4/4 + > ... (Taylor) > A série converge condicionalmente para o valor certo > se |z| = 1, z != 1. > Em particular, se w = -1/2 + sqrt(-3)/2 temos > f(w) = -log(1-w) = w + w^2/2 + 1/3 + w/4 + w^2/5 + > 1/6 + ... > Somando isso com o conjugado temos > f(w) + f(w^2) = -1 - 1/2 + 2/3 - 1/4 - 1/5 + 2/6 - > 1/7 - 1/8 + 2/9 -... > Claramente f(w) + f(w^2) = - log(3) donde a soma que > você quer é > S = 1/3 +1/3 -1/4 -1/5 +1/6 +1/6 -1/7 -1/8 + ... = > 3/2 - log(3) ~= 0.401387711. > > Para conferir, podemos somar os 100 primeiros termos > no maple: digite > aa := 2/(3*k) - 1/(3*k+1) - 1/(3*k+2): > add(evalf(aa),k=1..100); > e o maple responde 0.3980801201. > Se somarmos os 1000 primeiros termos obtemos > 0.4010546371. > Observe que aa é sempre positivo e tem a ordem de > grandeza de k^(-2) > donde a soma dos n primeiros termos deve estar > sempre um pouco abaixo > do limite com um erro com ordem de grandeza n^(-1), > coerentemente com > os números encontrados. > > []s, N. > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = > __ Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: Soma de sequencia
On Wed, Jan 12, 2005 at 04:41:49PM -0300, Demetrio Freitas wrote: > Achei uma resposta: > > s = 1/3 +1/3 -1/4 -1/5 +1/6 +1/6 -1/7 -1/8 +1/9 +1/ > -1/10 -1/11 +1/12 +1/12 -1/13 -1/14 +. > > s1 = 3/3(1/1 +1/2 +1/3 +1/4...) = 3/3 +3/6 +3/9 > +3/12... = serie harmonica > > s2 = -1/3 -1/4 -1/5 -1/6 -1/7 = 1 + 1/2 - serie > harmonica > > s = s1 + s2 = 1 + 1/2 = 1.5 > > Será que isto tá certo? Infelizmente não. Você usou implicitamente a convergência da série harmônica. A resposta correta está abaixo. > Estou procurando a soma da seguinte sequencia: > > 1/3 +1/3 -1/4 -1/5 +1/6 +1/6 -1/7 -1/8 +1/9 +1/9 > -1/10 -1/11 +1/12 +1/12 -1/13 -1/14 +. Tome f(z) = - log(1-z) = z + z^2/2 + z^3/3 + z^4/4 + ... (Taylor) A série converge condicionalmente para o valor certo se |z| = 1, z != 1. Em particular, se w = -1/2 + sqrt(-3)/2 temos f(w) = -log(1-w) = w + w^2/2 + 1/3 + w/4 + w^2/5 + 1/6 + ... Somando isso com o conjugado temos f(w) + f(w^2) = -1 - 1/2 + 2/3 - 1/4 - 1/5 + 2/6 - 1/7 - 1/8 + 2/9 -... Claramente f(w) + f(w^2) = - log(3) donde a soma que você quer é S = 1/3 +1/3 -1/4 -1/5 +1/6 +1/6 -1/7 -1/8 + ... = 3/2 - log(3) ~= 0.401387711. Para conferir, podemos somar os 100 primeiros termos no maple: digite aa := 2/(3*k) - 1/(3*k+1) - 1/(3*k+2): add(evalf(aa),k=1..100); e o maple responde 0.3980801201. Se somarmos os 1000 primeiros termos obtemos 0.4010546371. Observe que aa é sempre positivo e tem a ordem de grandeza de k^(-2) donde a soma dos n primeiros termos deve estar sempre um pouco abaixo do limite com um erro com ordem de grandeza n^(-1), coerentemente com os números encontrados. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: Soma de sequencia
Ok, já vi... s = 1.5 - log(3) desculpem poluir a lista, amigos... é que pra mim a questão era difícil... []´s Demétrio --- Demetrio Freitas <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > Já vi que está errado. Mas ainda gostaria de ajuda > com > a sequencia original. > > Obrigado. > > --- Demetrio Freitas > <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > > Achei uma resposta: > > > > s = 1/3 +1/3 -1/4 -1/5 +1/6 +1/6 -1/7 -1/8 +1/9 > +1/ > > -1/10 -1/11 +1/12 +1/12 -1/13 -1/14 +. > > > > s1 = 3/3(1/1 +1/2 +1/3 +1/4...) = 3/3 +3/6 +3/9 > > +3/12... = serie harmonica > > > > s2 = -1/3 -1/4 -1/5 -1/6 -1/7 = 1 + 1/2 - > serie > > harmonica > > > > s = s1 + s2 = 1 + 1/2 = 1.5 > > > > Será que isto tá certo? > > > > > > --- Demetrio Freitas > > <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > > > > > > Amigos da lista, > > > > > > Estou procurando a soma da seguinte sequencia: > > > > > > 1/3 +1/3 -1/4 -1/5 +1/6 +1/6 -1/7 -1/8 +1/9 +1/9 > > > -1/10 > > > -1/11 +1/12 +1/12 -1/13 -1/14 +. > > > > > > agradeço qualquer ajuda. > > > > > > > > > []´s > > > > > > > __ > > > Converse com seus amigos em tempo real com o > > Yahoo! > > > Messenger > > > http://br.download.yahoo.com/messenger/ > > > > > > > > > > > > > > > > ___ > > > > Yahoo! Acesso Grátis - Instale o discador do > Yahoo! > > agora. http://br.acesso.yahoo.com/ - Internet > rápida > > e grátis > > > = > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > > usar a lista em > > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > > = > > > > > > > > ___ > > Yahoo! Acesso Grátis - Instale o discador do Yahoo! > agora. http://br.acesso.yahoo.com/ - Internet rápida > e grátis > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = > __ Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: Soma de sequencia
Já vi que está errado. Mas ainda gostaria de ajuda com a sequencia original. Obrigado. --- Demetrio Freitas <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > Achei uma resposta: > > s = 1/3 +1/3 -1/4 -1/5 +1/6 +1/6 -1/7 -1/8 +1/9 +1/ > -1/10 -1/11 +1/12 +1/12 -1/13 -1/14 +. > > s1 = 3/3(1/1 +1/2 +1/3 +1/4...) = 3/3 +3/6 +3/9 > +3/12... = serie harmonica > > s2 = -1/3 -1/4 -1/5 -1/6 -1/7 = 1 + 1/2 - serie > harmonica > > s = s1 + s2 = 1 + 1/2 = 1.5 > > Será que isto tá certo? > > > --- Demetrio Freitas > <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > > > > Amigos da lista, > > > > Estou procurando a soma da seguinte sequencia: > > > > 1/3 +1/3 -1/4 -1/5 +1/6 +1/6 -1/7 -1/8 +1/9 +1/9 > > -1/10 > > -1/11 +1/12 +1/12 -1/13 -1/14 +. > > > > agradeço qualquer ajuda. > > > > > > []´s > > > > __ > > Converse com seus amigos em tempo real com o > Yahoo! > > Messenger > > http://br.download.yahoo.com/messenger/ > > > > > > > > ___ > > Yahoo! Acesso Grátis - Instale o discador do Yahoo! > agora. http://br.acesso.yahoo.com/ - Internet rápida > e grátis > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = > ___ Yahoo! Acesso Grátis - Instale o discador do Yahoo! agora. http://br.acesso.yahoo.com/ - Internet rápida e grátis = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: Soma de sequencia
Achei uma resposta: s = 1/3 +1/3 -1/4 -1/5 +1/6 +1/6 -1/7 -1/8 +1/9 +1/ -1/10 -1/11 +1/12 +1/12 -1/13 -1/14 +. s1 = 3/3(1/1 +1/2 +1/3 +1/4...) = 3/3 +3/6 +3/9 +3/12... = serie harmonica s2 = -1/3 -1/4 -1/5 -1/6 -1/7 = 1 + 1/2 - serie harmonica s = s1 + s2 = 1 + 1/2 = 1.5 Será que isto tá certo? --- Demetrio Freitas <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > > Amigos da lista, > > Estou procurando a soma da seguinte sequencia: > > 1/3 +1/3 -1/4 -1/5 +1/6 +1/6 -1/7 -1/8 +1/9 +1/9 > -1/10 > -1/11 +1/12 +1/12 -1/13 -1/14 +. > > agradeço qualquer ajuda. > > > []´s > > __ > Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! > Messenger > http://br.download.yahoo.com/messenger/ > ___ Yahoo! Acesso Grátis - Instale o discador do Yahoo! agora. http://br.acesso.yahoo.com/ - Internet rápida e grátis = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: Soma-Renata
acho que recolvi seu problema, o complicado é digitar P(i) indica P índice i Escreva S=A+2A^2+3A^3+...+nA^n P(1)=A P(2)=A+A^2 P(3)=A+A^2+A^3 . . P(n-1)=A+A^2+A^3+...A^(n-1) Observe que essas P são todas progressoes geometrica que vc sabe simplificar. Agora adicione todas as equacoes acima. Do lado esquerdo vc vai ter S e mais um bocado de soma de PG, do lado direito vc vai ter n*(A+A^2+A^3+...+A^n) que vc sabe simplificar, agora é so isolar o S. Termine as contas e me diga se da certo. Um abraço. renata rabakov <[EMAIL PROTECTED]> wrote: Oi pessoal, sou nova na lista. Gostaria de saber se existe uma forma de simplificar isto: somatorio [i=1, n] (i * A ^ i Desafio AntiZona: participe do jogo de perguntas e respostas que vai dar 1 Renault Clio, computadores, câmeras digitais, videogames e muito mais!
Re: soma....
Já respondi. Não recebeu?
-Mensagem Original-
De: Davidson
Estanislau
Para: [EMAIL PROTECTED]
Cc: obm
Enviada em: Terça-feira, 4 de Dezembro de
2001 09:45
Assunto: soma
Caro Luis, o que simboliza a expressão
\frac,
\frac{a_1(1-q^n)}{1-q} +
\frac{rq(1-nq{n-1}+(n-1)q^n }{(1-q)^2}
Davidson
Estanislau
-Mensagem original-De: Luis Lopes
<[EMAIL PROTECTED]>Para: [EMAIL PROTECTED] <[EMAIL PROTECTED]>Data:
Segunda-feira, 3 de Dezembro de 2001 20:43Assunto: Re: RES:
somaSauda,c~oes,Temos aqui um exemplo de uma
progressãoaritmético-geométrica.Se a_i = [a_1 +
(i-1)r]q^{i-1}é o termo geral, então S_n = a_1 + + a_n
=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q} + \frac{rq(1-nq{n-1}+(n-1)q^n
}{(1-q)^2}S_{n+1}(x) = 1+ 2x + 3x^2+4x^3++ (n+1)x^na_i =
ix^{i-1}=[1+(i-1)]x^{i-1}. Então a_1=1 r=1, q=x e S_{n+1}(x)
vale.deixo a substituição para o leitor. Observe que
n=n+1.[]'sLuis
Re: soma....
1+ 2x + 3x^2+4x^3++ (k+1)x^k eh a derivada de x+x^2+ x^3+...+x^(k+1) = x(1-x^(k+1)) / (1-x), para x diferente de 1. Basta entao derivar o resultado. JP - Original Message - From: <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Friday, November 30, 2001 10:55 PM Subject: soma Fiz esse exercicio mas ficou muito grandealguem ai poderia me emprestar um insigth?? 1+ 2x + 3x^2+4x^3++ (k+1)x^k Obrigado Ruy
Re: soma....
Quando o x eh diferente de 1. 1 + x + x^2 + x^3 + ... + x^k + x + x^2 + x^3 + ... + x^k + ...+ x^k = (x^(k+1) - 1)/(x - 1) + (x^(k+1) - x)/(x - 1) + (x^(k+1) - x^2)/(x - 1) + ... + (x^(k+1) - x^k)/(x - 1) = ((k+1)x^(k+1) - (x^(k+1) - 1)/(x - 1))/(x - 1) = ((k+1)x^(k+1))/(x - 1) + (x^(k+1) - 1)/(x - 1)^2 Acho que ta certo. Eduardo Casagrande Stabel. From: <[EMAIL PROTECTED]> > Fiz esse exercicio mas ficou muito grandealguem ai poderia me emprestar > um insigth?? > 1+ 2x + 3x^2+4x^3++ (k+1)x^k >Obrigado > Ruy >
Re: Soma de quadrados = 1005
A propósito, existe um resultado que garante o seguinte: Existe uma sequência infinita de números naturais a1, a2, ..., an, . tal que cada um dos números a1^2 + a2^2 + a3^2 + ... +an^2 é o quadrado de um número natural, onde n = 1, 2, 3, 4, . A demonstração é por indução. Os interessados podem consultar o (execelente) livro "Elementary Number Theory" de Waclaw Sierpinski, pag. 63. Lá você pode encontrar alguns exemplos: 3^2 + 4^2 + 12^2 = 13^2 3^2 + 4^2 + 12^2 + 84^2 = 85^2 3^2 + 4^2 + 12^2 + 84^2 + 3612^2 = 3613^2 Benedito Freire At 10:22 01/02/01 -0200, you wrote: >1005 = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 > >Como encontrar a , b, c, d??? > > >http://br.geocities.com/dopelganger5/ >[EMAIL PROTECTED]
RE: Soma de quadrados = 1005
a óbvia é 900 + 100 + 4 + 1 -- De: Bruno Woltzenlogel Paleo[SMTP:[EMAIL PROTECTED]] Enviada em: Quinta-feira, 1 de Fevereiro de 2001 14:35 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto:Re: Soma de quadrados = 1005 vc tb está no sabesabe né? Acho que não existe um método, já que temos zilhões de respostas. Eu fiz o seguinte, apenas para me situar (coincidentemente achei uma resposta): --- É. Eu vi a pergunta lá... Existe mais de uma solução com números naturais? http://br.geocities.com/dopelganger5/ [EMAIL PROTECTED] application/ms-tnef
Re: Soma de quadrados = 1005
vc tb está no sabesabe né? Acho que não existe um método, já que temos zilhões de respostas. Eu fiz o seguinte, apenas para me situar (coincidentemente achei uma resposta): --- É. Eu vi a pergunta lá... Existe mais de uma solução com números naturais? http://br.geocities.com/dopelganger5/ [EMAIL PROTECTED]
RE: Soma de quadrados = 1005
vc tb está no sabesabe né? Acho que não existe um método, já que temos zilhões de respostas. Eu fiz o seguinte, apenas para me situar (coincidentemente achei uma resposta): Extraí a raiz e achei 31 Extraí a raiz do resto e achei 6 De novo e achei 2 Sobrou 4 que é quadrado perfeito, logo 31² + 6² + 2² + 2² é solução. Bem, o cara que fez essa pergunta no sabesabe já tem essa resposta. Eduardo Grasser Campinas SP -- De: Bruno Woltzenlogel Paleo[SMTP:[EMAIL PROTECTED]] Enviada em: Quinta-feira, 1 de Fevereiro de 2001 10:22 Para: OBMList; Olympium Assunto:Soma de quadrados = 1005 1005 = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 Como encontrar a , b, c, d??? http://br.geocities.com/dopelganger5/ [EMAIL PROTECTED] application/ms-tnef
Re: Soma
Olá Eduardo (e todo o pessoal da lista!), Há uma propriedade (acho que é isso, ou talvez um teorema, não sei bem) que garante o seguinte: A soma das potências de grau k do n primeiros termos de uma P.A. é um polinômio de grau (k+1) em n. Assim, no seu problema, teremos: 1^2 + 2^2 + ... + n^2 = A.n^3 + B.n^2 + Cn + D e para n = 1, 2, 3 , 4 , teremos: i) A + B + C + D = 1 ii) 8A + 4B + 2C + D = 1 iii) 27A + 9B + 3C + D = 14 iv) 64A + 16B + 4C + D = 30 resolvendo esse sisteminha (você não pensou que eu ia fazer isso aqui, né??), teremos: A=1/3 ; B=1/2 ; C=1/6 e D=0 assim, substituindo no polinômio original: 1^2 + 2^2 + ... + n^2 = (1/3).n^3 + (1/2).n^2 + (1/6).n A propósito essa é uma solução que eu enxerguei para a 5a questão da prova do IME do ano passado. Entretanto lá eles pediam pelo polinômio, talvez por isso o Marcos Paulo tenha lembrado que essa questão já foi discutida aqui na lista. Mas é sempre bom relembrar... Espero ter podido ajudar [ ]'s e saudações (Tricolores... sempre!) Alexandre Vellasquez >Saudações. > >Alguém poderia me ajudar com a seguinte soma? > >S = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 > > Obrigado
Re: Soma
Prove por indução que é igual a n(n+1)(2n+1)/6, ou então escreva na forma de somatório S = som i^2 = [som (i^2 +i)] - [som i]. Então, S = 2! *som ((i+1)!/2!(i-1)!) - n(n+1)/2 .. S = 2* [som Ci+1,2 ] - n(n+1)/2 ... S = 2 Cn+2,3 - n(n+1)/2 S= (n+2)(n+1)n/3 - n(n+1)/2.. Abraços, ¡ Villard ! -Mensagem original- De: Eduardo Favarão Botelho <[EMAIL PROTECTED]> Para: Lista <[EMAIL PROTECTED]> Data: Segunda-feira, 16 de Outubro de 2000 23:45 Assunto: Soma >Saudações. > >Alguém poderia me ajudar com a seguinte soma? > >S = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 > > Obrigado > >
Re: Soma
Veja o ultimo numero da Eureka: o artigo: Contar duas vezes para generalizar -o retorno. JP -Mensagem original- De: Eduardo Favarão Botelho <[EMAIL PROTECTED]> Para: Lista <[EMAIL PROTECTED]> Data: Terça-feira, 17 de Outubro de 2000 00:35 Assunto: Soma >Saudações. > >Alguém poderia me ajudar com a seguinte soma? > >S = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 > > Obrigado > >
Re soma
Acredito que este problema já tenha sido discutido nesta lista. No entanto, lá vai: Usaremos a seguinte propriedade: (k+1)^3 - k^3 = 3k^2 + 3k + 1 1^3 = 1 2^3 - 1^3 = 3*1^2 + 3*1 + 1 3^3 - 2^3 = 3*2^2 + 3*2 + 1 4^3 - 3^3 = 3*3^2 + 3*3 + 1 ... (n+1)^3 - n^3 = 3n^2 + 3n + 1 Somando-se membro a membro temos: (n+1)^3 = 3*S + 3(1 + 2 + 3 + ... + n) + n Resolvendo esta equação em S temos: S = n(n+1)(2n+1)/6
Re: soma
Seja S o seu somatório ! Então, temos : S = 1*2^(-1) + 2*2^(-2) + 3*2^(-3) + S/2 = + 1*2^(-2) + 2*2^(-3) + ... -- Subtraindo... temos : S/2 = 2^(-1) + 2^(-2) + 2^(-3) + q é uma P.G infinita Assim, S/2 = (1/2)/[1-1/2], e então, S = 2 ! Abraços, ¡ Villard ! -Mensagem original-De: Carlos Roberto de Moraes <[EMAIL PROTECTED]>Para: [EMAIL PROTECTED] <[EMAIL PROTECTED]>Data: Domingo, 15 de Outubro de 2000 18:17Assunto: soma Alguem poderia me ajudar com o exercício abaixo : Calcular a soma de i=1 até infinito de i dividido por (2 elevado a i) . Sei que o resultado é 2, mas não consigo resolver. Obrigado
Re: soma
Sauda,c~oes,
Terminamos agora nossa mensagem de ontem.
Fazendo f(i) = (1+i)/2^i e i=0,1,2, \ldots, n e somando,
obtemos a soma 1 + 2/2 + 3/2^4 + \cdots + (1+n)/2^n
ou [ \sum_{0\leq i\leq n} 1/2^i ] + [ \sum_{1\leq i\leq n} i/2^i ]
A primeira soma e' uma PG. A segunda, uma PA-G, cuja
soma pode ser avaliada como visto abaixo (sequ"e^ncias
com
f(i) = i x^i (no caso, x=1/2)
s~ao progress~oes aritme'tico-geome'tricas).
S_n = S_n(PG) + S_n(PA-G).
Fazendo \lim_{n\to\infty} S_n obtemos 4, como visto abaixo.
[ ]'s
Lui's
-Mensagem Original-
De: Paulo Santa Rita <[EMAIL PROTECTED]>
Para: <[EMAIL PROTECTED]>
Enviada em: Terça-feira, 12 de Setembro de 2000 15:12
Assunto: Re: soma
Ola Eduardo,
Tudo Legal ?
Se voce observar bem, a serie que voce quer somar pode ser
interpretada como o produto ordenado de uma Progressao
Aritmetica por uma Progressao Geometrica ... De fato, em
1/(2^0) + 2/(2^1) + 3/(2^2) + 4/(2^3) + ...
os numeradores formam a Progressao Aritmetica :
1,2,3,4,5, Os denominadores formam a Progressao
Geometrica: 1, 1/2, 1/4, 1/8, ...
Seja An = A1 + (N-1)*R o termo geral de uma PA e Gn =
G1*(q^(N-1)) o termo geral da Progressao Geometrica.
Queremos estudar Tn = An*Gn.
Para tanto, faca :
Tn = [A1 + (N-1)*R]*G1*(q^(N-1))
Entao :
T1 = A1*G1
T2 = (A1 + R)*G1*q
T3 = (A1 + 2*R)*G1*(q^2)
...
Tn = [A1 + (N-1)*R]*G1*(q^(N-1))
S = T1 + T2 + T3 + ... + Tn
q*S = q*T1 + q*T2 + q*T3 + ... + q*Tn
S - q*S =(T2 - q*T1) + (T3 - q*T2) + (T4 - q*T3) + ... + (Tn
- q*Tn-1) + T1 - q*Tn
(1 - q)*S=R*G1*q + R*G1*(q^2) + R*G1*(q^3) + ... +
R*G1*(q^(N-1)) + T1 - q*Tn
(1-q)*S=R*G1*q( 1 + q + q^2 + ... + q^(N-2) ) + T1 - q*Tn
(1-q)*S=R*G1*q[(q^(N-1) - 1)/(q - 1) ] + T1 - q*Tn
(q-1)*S=(q*Tn - T1) - [ (q^(N-1) - 1))/((q -1)^2) ]*R*G1*q
S = (q*Tn - T1)/(q-1) - [ (q^(N-1) - 1))/((q -1)^2) ]*R*G1*q
Esta seria a "Formula do Termo Geral" para este tipo de
serie, no caso de um numero finito de termos. Todavia, se
modulo(q) < 1 entao q^N -> 0 ( tende a zero ) quando N tende
ao infinito e, portanto, Tn tambem tende a zero. Assim, no
Limite :
lim S = T1/(1 - q) + (R*G1*q)/(q - 1)^2 , ou
lim S = (A1*G1)/(1 - q) + (R*G1*q)/(q - 1)^2 , ou
lim S = [ A1 + ( q/(1 - q) )*R ]*(G1/(1 - q))
Esta ultima expressao e a que achei mais bonita e que
portanto a que merece perdurar. ( A matematica e o reino da
Beleza ... O que e feio guarda defeitos nao percebidos e nao
permanece ... Quando voce vislumbra a Beleza e Simetria de
uma formula ou construcao, pode ter certeza que encetou pelo
caminho correto e que o levara a uma compreensao mais
profunda do tema ... )
No caso da sua serie :
A1 = primeiro termo da PA = 1
G1 = primeiro termo da PG = 1
R = razao da PA = 1
q = razao da PG = 1/2 ( modulo(q) < 1 )
Logo:
Lim S = [1 + ((1/2)/(1 - 1/2))*1]*(1/(1 - 1/2))
Lim S = 2*2 = 4
Trink than weing, was die zimember zimber !
Um Abraco
Paulo Santa Rita
3,1509,12092000
On Tue, 12 Sep 2000 12:24:47 -0300
"Luis Lopes" <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
>Sauda,c~oes,
>
>Para somar se'ries, infinitas ou n~ao, geralmente
>e' boa ide'ia tentar escreve^-las como
>
>S_n = \sum_{p\leq i\leq q} f(i) = f(p) + f(p+1) + \cdots
>+ f(q),
>
>onde p=0 ou 1 e q=n-1, ou n ou n+1.
>
>Para a soma
>
>S = 1 + 2/2 + 3/4 + 4/8 + 5/16 + \cdots,
>
>vamos fazer p=0, q=n e deixamos f(i) para o leitor.
>Calculemos S_n e fa,camos
>
>S = \lim_{n \to \infty} S_n, onde \to representa --->.
>
>Damos os detalhes numa pro'xima mensagem.
>
>[ ]'s
>Luís
>
Re: soma
Ola Eduardo,
Tudo Legal ?
Se voce observar bem, a serie que voce quer somar pode ser
interpretada como o produto ordenado de uma Progressao
Aritmetica por uma Progressao Geometrica ... De fato, em
1/(2^0) + 2/(2^1) + 3/(2^2) + 4/(2^3) + ...
os numeradores formam a Progressao Aritmetica :
1,2,3,4,5, Os denominadores formam a Progressao
Geometrica: 1, 1/2, 1/4, 1/8, ...
Seja An = A1 + (N-1)*R o termo geral de uma PA e Gn =
G1*(q^(N-1)) o termo geral da Progressao Geometrica.
Queremos estudar Tn = An*Gn.
Para tanto, faca :
Tn = [A1 + (N-1)*R]*G1*(q^(N-1))
Entao :
T1 = A1*G1
T2 = (A1 + R)*G1*q
T3 = (A1 + 2*R)*G1*(q^2)
...
Tn = [A1 + (N-1)*R]*G1*(q^(N-1))
S = T1 + T2 + T3 + ... + Tn
q*S = q*T1 + q*T2 + q*T3 + ... + q*Tn
S - q*S =(T2 - q*T1) + (T3 - q*T2) + (T4 - q*T3) + ... + (Tn
- q*Tn-1) + T1 - q*Tn
(1 - q)*S=R*G1*q + R*G1*(q^2) + R*G1*(q^3) + ... +
R*G1*(q^(N-1)) + T1 - q*Tn
(1-q)*S=R*G1*q( 1 + q + q^2 + ... + q^(N-2) ) + T1 - q*Tn
(1-q)*S=R*G1*q[(q^(N-1) - 1)/(q - 1) ] + T1 - q*Tn
(q-1)*S=(q*Tn - T1) - [ (q^(N-1) - 1))/((q -1)^2) ]*R*G1*q
S = (q*Tn - T1)/(q-1) - [ (q^(N-1) - 1))/((q -1)^2) ]*R*G1*q
Esta seria a "Formula do Termo Geral" para este tipo de
serie, no caso de um numero finito de termos. Todavia, se
modulo(q) < 1 entao q^N -> 0 ( tende a zero ) quando N tende
ao infinito e, portanto, Tn tambem tende a zero. Assim, no
Limite :
lim S = T1/(1 - q) + (R*G1*q)/(q - 1)^2 , ou
lim S = (A1*G1)/(1 - q) + (R*G1*q)/(q - 1)^2 , ou
lim S = [ A1 + ( q/(1 - q) )*R ]*(G1/(1 - q))
Esta ultima expressao e a que achei mais bonita e que
portanto a que merece perdurar. ( A matematica e o reino da
Beleza ... O que e feio guarda defeitos nao percebidos e nao
permanece ... Quando voce vislumbra a Beleza e Simetria de
uma formula ou construcao, pode ter certeza que encetou pelo
caminho correto e que o levara a uma compreensao mais
profunda do tema ... )
No caso da sua serie :
A1 = primeiro termo da PA = 1
G1 = primeiro termo da PG = 1
R = razao da PA = 1
q = razao da PG = 1/2 ( modulo(q) < 1 )
Logo:
Lim S = [1 + ((1/2)/(1 - 1/2))*1]*(1/(1 - 1/2))
Lim S = 2*2 = 4
Trink than weing, was die zimember zimber !
Um Abraco
Paulo Santa Rita
3,1509,12092000
On Tue, 12 Sep 2000 12:24:47 -0300
"Luis Lopes" <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
>Sauda,c~oes,
>
>Para somar se'ries, infinitas ou n~ao, geralmente
>e' boa ide'ia tentar escreve^-las como
>
>S_n = \sum_{p\leq i\leq q} f(i) = f(p) + f(p+1) + \cdots
>+ f(q),
>
>onde p=0 ou 1 e q=n-1, ou n ou n+1.
>
>Para a soma
>
>S = 1 + 2/2 + 3/4 + 4/8 + 5/16 + \cdots,
>
>vamos fazer p=0, q=n e deixamos f(i) para o leitor.
>Calculemos S_n e fa,camos
>
>S = \lim_{n \to \infty} S_n, onde \to representa --->.
>
>Damos os detalhes numa pro'xima mensagem.
>
>[ ]'s
>Luís
>
>-Mensagem Original-
>De: Eduardo Favarão Botelho <[EMAIL PROTECTED]>
>Para: <[EMAIL PROTECTED]>
>Enviada em: Segunda-feira, 11 de Setembro de 2000 23:00
>Assunto: estranho
>
>
>Espera aí!
>
>Que negócio é esso de que um infinito é maior que o
>outro? como assim
>ser Q um conjunto enumerável?
>Estou confuso.
>E aproveitando a deixa, gostaria de deixar um problema
>bonitinho:
>calcule S, sendo
>
>S = 1 +2/2 +3/4 +4/8 +5/16 + ...
>
>Abraços, Eduardo
>
>
>>Um exemplo:
>>tome o conjunto dos números reais R.
>>lembre-se que Q (conjunto dos numeros racionais) e I
>(conjunto dos numeros
>irracionais) estao contidos >em R.
>>Escolha um elemento de R aleatoriamente.
>>Sabe qual e a probabilidade desse elemento ser racional?
>>ZERO, apesar de Q ser um conjunto infinito e denso em R e
>portanto esse
>evento e perfeitamente >possivel.
>>Isto decorre do fato de Q ser um conjunto enumeravel (se
>e que isso faz
>algum sentido para voce) e I, >assim como R nao sao
>enumeraveis, ou seja sao
>"muito maiores".
>
Don't E-Mail, ZipMail! http://www.zipmail.com/
Re: Soma de dois numeros
De fato, caro Morgado isto ocorreria, mas, observe que eu supus que as duas parcelas fosse multiplicadas. Mas, como você supos apenas uma. De fato, a resposta é não. Ats, Marcos Eike - Original Message - From: Augusto Morgado <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Sexta-feira, 14 de Abril de 2000 22:21 Subject: Re: Soma de dois numeros > Marcos Eike Tinen dos Santos escreveu: > > > > Suponhamos uma soma x + y = z > > tal que x,y,z pertença ao conjunto dos reais. > > > > Veja que tenho uma quantidade x somada com uma quantidade y, que me fornece > > uma quantidade z. > > > > Observe que se multiplico a soma por um valor qualquer d, implica que temos > > que multiplicar as parcelas por este mesmo valor. > > > > Um método de se provar este fato, poderia ser usando um sistema. > > > > x + y = z > > r(x+y) = (r+s)z sendo r e s pertencente a R, e s # 0 > > # ---> diferente (análogo ao Paulo) > > Por substituição temos: > > > > r = r+s => um absurdo, pois de acordo com as propriedades impostas, não > > haverá tal igualdade. > > > > Provavelmente, outras pessoas do grupo ( mais feras) tenham uma prova mais > > convencedora. > > > > Ats, > > Marcos Eike > > > > - Original Message - > > From: Papaleguas <[EMAIL PROTECTED]> > > To: <[EMAIL PROTECTED]> > > Sent: Sexta-feira, 14 de Abril de 2000 18:03 > > Subject: Soma de dois numeros > > > > > Prezados colegas, > > > > > > Outro dia um amigo me passou um exercicio tirado de um livro de > > > Matematica financeira que diz o seguinte: > > > A soma de dois numeros eh diretamente > > > proporcional a cada uma das parcelas? Por que? > > > > > > Conclui que a resposta eh nao mas nao soube explicar formalmente o > > > porque. > > > ¿Alguem pode me ajudar? > > > > > > Bons estudos a todos! > > > Assis > > > >Caríssimos: > 1) Se z=x+y fosse diretamente proporcional a x, quando multiplicássemos > x por 2, o valor de z ficaria multiplicado por 2, e é claro que isso não > acontece. Logo, a resposta é não! > Para mostrar que uma afirmação é falsa basta mostrar um caso em que ela > falha. > 2) Vocês deviam escolher melhor os livros de Matemática Financeira. > > Saudações botafoguenses a todos. > Morgado
Re: Soma de dois numeros
Marcos Eike Tinen dos Santos escreveu: > > Suponhamos uma soma x + y = z > tal que x,y,z pertença ao conjunto dos reais. > > Veja que tenho uma quantidade x somada com uma quantidade y, que me fornece > uma quantidade z. > > Observe que se multiplico a soma por um valor qualquer d, implica que temos > que multiplicar as parcelas por este mesmo valor. > > Um método de se provar este fato, poderia ser usando um sistema. > > x + y = z > r(x+y) = (r+s)z sendo r e s pertencente a R, e s # 0 > # ---> diferente (análogo ao Paulo) > Por substituição temos: > > r = r+s => um absurdo, pois de acordo com as propriedades impostas, não > haverá tal igualdade. > > Provavelmente, outras pessoas do grupo ( mais feras) tenham uma prova mais > convencedora. > > Ats, > Marcos Eike > > - Original Message - > From: Papaleguas <[EMAIL PROTECTED]> > To: <[EMAIL PROTECTED]> > Sent: Sexta-feira, 14 de Abril de 2000 18:03 > Subject: Soma de dois numeros > > > Prezados colegas, > > > > Outro dia um amigo me passou um exercicio tirado de um livro de > > Matematica financeira que diz o seguinte: > > A soma de dois numeros eh diretamente > > proporcional a cada uma das parcelas? Por que? > > > > Conclui que a resposta eh nao mas nao soube explicar formalmente o > > porque. > > ¿Alguem pode me ajudar? > > > > Bons estudos a todos! > > Assis > >Caríssimos: 1) Se z=x+y fosse diretamente proporcional a x, quando multiplicássemos x por 2, o valor de z ficaria multiplicado por 2, e é claro que isso não acontece. Logo, a resposta é não! Para mostrar que uma afirmação é falsa basta mostrar um caso em que ela falha. 2) Vocês deviam escolher melhor os livros de Matemática Financeira. Saudações botafoguenses a todos. Morgado
Re: Soma de dois numeros
Suponhamos uma soma x + y = z tal que x,y,z pertença ao conjunto dos reais. Veja que tenho uma quantidade x somada com uma quantidade y, que me fornece uma quantidade z. Observe que se multiplico a soma por um valor qualquer d, implica que temos que multiplicar as parcelas por este mesmo valor. Um método de se provar este fato, poderia ser usando um sistema. x + y = z r(x+y) = (r+s)z sendo r e s pertencente a R, e s # 0 # ---> diferente (análogo ao Paulo) Por substituição temos: r = r+s => um absurdo, pois de acordo com as propriedades impostas, não haverá tal igualdade. Provavelmente, outras pessoas do grupo ( mais feras) tenham uma prova mais convencedora. Ats, Marcos Eike - Original Message - From: Papaleguas <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Sexta-feira, 14 de Abril de 2000 18:03 Subject: Soma de dois numeros > Prezados colegas, > > Outro dia um amigo me passou um exercicio tirado de um livro de > Matematica financeira que diz o seguinte: > A soma de dois numeros eh diretamente > proporcional a cada uma das parcelas? Por que? > > Conclui que a resposta eh nao mas nao soube explicar formalmente o > porque. > ¿Alguem pode me ajudar? > > Bons estudos a todos! > Assis > > >
