[obm-l] problema

Olá, companheiros! Um aluno me perguntou o seguinte: a =b=c=d 1/a+1/b+1/c+1/d=1 Quantas quádruplas ordenadas (a, b, c, d) de naturais satisfazem a igualdade? Um abraço! Grego

RES: [obm-l] problema

Olá! Este é um problema da Teoria dos Números bastante conhecido. Acredito (a confirmar!) que não exista uma solução analítica – o jeito é fazer “no braço” (“brute force”). Bem, na Internet, encontrei a solução abaixo (bastante “arrumadinha”): –

RE: [obm-l] problema

abc + bcd + cda + dab = abcd - a(bcd -bc-bd-cd) = bcd Logo, temos qualquer número é divisor do produto dos outros 3 (I) Ao fatorarmos abcd em potência de primos, podemos obter 1, 2, ou 3 primos distintos Se houvesse 4 primos, por (I), cada um dos números, a, b, c, d deveria ser múltiplo dos 4

RE: [obm-l] problema

abc + bcd + cda + dab = abcd - a(bcd -bc-bd-cd) = bcd Logo, temos qualquer número é divisor do produto dos outros 3 (I) Ao fatorarmos abcd em potência de primos, podemos obter 1, 2, ou 3 primos distintos Se houvesse 4 primos, por (I), cada um dos números, a, b, c, d deveria ser múltiplo dos 4

RE: [obm-l] problema

Tem muita coisa errada ainda: 1) Se b=5, 1/c+1/d=3/10, logo c10 - c=8 (pois c deve ser múltiplo de 2 e/ou 5), sem soluçã Corrija para c=5, d=10 2) Se tivermos 3 primos distintos os 2 primeiros valores da soma em ordem decrescente são 1/2+1/3+1/5+1/30 1 1/2+1/3+1/7+1/42 = 1 Logo temos (2,