Hello! On Wednesday 18 November 2009 03:04:07 Stanislav Maslovski wrote: > On Tue, Nov 17, 2009 at 01:31:11PM +0300, Alexey Pechnikov wrote: > > On Tuesday 17 November 2009 12:58:18 Stanislav Maslovski wrote: > > > Причем тут обобщенное евклидово пространство? Я пытаюсь до тебя > > > донести, что стандартное определение производной в матанализе не > > > является, как ты утвердаешь, односторонним или асимметричным. > > > > Все заново объяснять?.. > > Какие объяснения? Пока наблюдается лишь стандартный набор из > общих мест, подмен понятий, отсылок к авторитетам и пр., на фоне > вопиющей безграмотности и неспособности осознать разницу между: а) > бесконечно малыми и конечными величинами б) производной и ее > конечно-разностным приближением в) расширенным множеством > вещественных чисел и Гильбертовым пространством и т.д., и т.п. > > > Утверждается, что если существуют и равны односторонние > > производные, то существует полная и равна им. > > Это верно. > > > Таким образом, любой дифур можно > > расписать через односторонние производные или через полные, результат должен > > быть идентичным. > > Неверно. Решения полученных таким образом дифуров будут совпадать лишь > в классе непрерывно дифференцируемых (в обычном смысле) функций.
Если вы используете полную производную в точках разрыва, это ваши личные проблемы, а математически такая запись лишена смысла. Записанное в полных производных уравнение эквивалентно двум уравнениям - с левосторонними и правосторонними производными. Разве что вам захотелось заменить односторонние производные на полные, но это опять же бессмыслица. > > > Но это не так, например, разностная схема будет иметь разную > > сходимость в этих случаях. > > После замены производных конечными разностями диффур исчезает, и > появляется принципиально новый объект - уравнение в _конечных_ > разностях. Решения этого уравнения лишь при определенных > условиях переходят в решения исходного дифура. Речь идет о сохранении формы выражения. Изменение области определения на форму не влияет. Причем существуют способы проверить, является ли полученное решение разностной схемы (или уравнения в конечных разностях, если вам нравятся длинные названия) решением исходного уравнения. > > Проблема очевидна - численное дифференцирование > > рассматривает приращение dx как реальную величину, а не предел сходящейся к > > нулю последовательности. В обобщенном же евклидовом пространстве математики > > могут и оперируют бесконечно малыми (неархимедовыми) значениями, что > > совпадает > > с потребностями физики и информатики. > > Наглая ложь! Я, _как физик_, прекрасно знаю, что я оперирую > _конечными_ величинами. Эти величины не имеют _ничего_ общего с теми > фиктивными бесконечно малыми и бесконечно большими величинами, > которыми множество вещественных чисел дополняется в нестандартном > анализе. По большому счету, мне, как _физику_, совершенно наплевать на > _логические_ предпосылки, которые _вынуждают_ _математиков_ выделять > бесконечно малые и бесконечно большие величины в отдельный класс > объектов. Причина проста: как я уже писал, физики сплошь и рядом > используют нестрогую аргументацию, так как у них есть свои способы > проверки правильности результата. Э, нет. Оперируете вы бесконечно малыми, а вот _подразумеваете_ конечные величины. Пишите определение скорости как dx/dt, полагая dx и dt конечными, но тут же оперируете дифуром, где они уже рассматриваются как пределы сходящихся к нулю последовательностей, что есть явный нонсенс с точки зрения физики. Раз у вас dx/dt это уравнение в конечных разностях, как вы подчеркивали выше, вы не можете определить ускорение как вторую производную. И попробуйте в конечных разностях сделать dx/dt - у вас появятся дополнительные члены разложения, которыми нельзя пренебречь, потому что они не бесконечно малые! Как пример, рассмотрим квадратичную функцию координаты: x=t*t. В момент t+dt координата равна (t+dt)*(t+dt)=t*t+2*t*dt+dt*dt, а отношение приращений составит dx/dt=2*t+dt И это совсем не похоже на производную функции t*t, которая равна 2*t. И что же? Ради сохранения формы выражения вы игнорируете его смысл, выкидывая из вашего уравнения в конечных разностях величину dt потому, что она, якобы, бесконечно мала! Притом упорно твердите, что мол, это все корректно, поскольку о превильности полученных выражений вы знаете из "более других" источников! Best regards, Alexey Pechnikov. http://pechnikov.tel/
