Oi Joao,
Salve, estava devendo falar alguma coisa aqui.
Olha, a experiência aqui na UFBA (e eu me lembro que mesmo antes disso
cheguei a fazer coisas do tipo quando dava aula pra faculdades
particulares, coisa de 25 anos atrás, afffe como o tempo passa hehe),
É a seguinte:
Temos no primeiro semestre dois cursos chamados de Fundamentos, Fundamentos
I é um pré-cálculo (revisao de funcoes) mas também faz lógica proposicional
(e aqui que vai ser a experiência),
E Fundamentos II é geometria axiomática (esse que eu ministro mais).
E nesse curso de Fundamentos II se supoe que os alunos comecem a ver
demonstracoes pela primeira vez na vida (e eu digo a vocês, é um trauma pra
eles, principalmente porque é disciplina pra calouros, o choque é táo
grande que o colegiado do curso aqui já está decidindo colocar essa
disciplina no segunda semestre).
Pois bem, como eu uso principalmente as tautologias que eles vêem em
Fundamentos I para aprender a fazer demonstracoes em Fundamentos II ?
Como tautologias "sempre sao verdade", a gente vende com "verdades lógicas"
ou "regras" que os alunos podem seguir na hora de fazer demonstracoes.
Exemplos:
(1) Se o aluno tem que fazer uma demonstracao do tipo "A ou B" (ou, o que
essencialmente é a mesma coisa, mostrar que um conjunto X está contido numa
uniao Y unido Z), a gente lembra pra eles que
"p ou q" é tautologicamente equivalente a "(nao p) implica q"
(tentando dar exemplos que justifiquem intuitivamente isso também...)
logo, se o aluno quer mostrar "A ou B" ele pode usar a estratégia de
mostrar "(nao A) implica B"
(o que na prática matemática normalmente se redige assim: Se ocorre A,
ótimo, entao para efeito
de argumento vamos supor que nao ocorre A e mostrar que ocorre B...)
ou para mostrar que X está contido na uniao de Y e Z, fazemos "tome x em X,
se x está em Y ótimo,
entao para efeito de argumento vamos supor que x nao está em Y e mostrar
que está em Z"
Esse tipo de coisa, usar uma tautologia pra justificar uma técnica de
demonstracao, é algo que eu pelo
menos sempre fiz, e acho que funciona (ou que pelo menos ajuda).
Claro que está dentro do "uso mais ou menos relaxado de Lógica" ao qual
você se referiu na sua mensagem inicial.
Isso de "assumir que o primeiro é falso para provar o segundo", é uma idéia
mais ou menos sofisticada para
o aluno ingressante de matemática, entao é algo que a gente, professor, tem
que efetivamente mostrar pra ele que é assim que normalmente se faz, e a
existência da tautologia entra pra ajudar na justificativa e até mesmo para
o efeito mnemônico ("lembre-se sempre da tautologia 'p ou q equivalente a
(nao p) implica q' ...").
(2) Mais ou menos com mesmas idéias do meu exemplo anterior, a equivalencia
entre a implicacao e sua contrapositiva na tabela de verdade ajuda a
introduzir a técnica indireta de prova por contraposicao.
(3) As equivalências relativas às Leis de De Morgan ajudam a ensinar o
aluno a negar proposicoes com "ou" e com "e". Normalmente os alunos chegam
sem saber negar esse tipo de frase.
(4) Distributividade do "ou" com relacao ao "e", distributividade do "e"
com relacao ao "ou"...
... Entao é isso, gostaria de dar meu depoimento que sim, o uso de tabelas
de verdade acaba ajudando a ensinar técnicas de demonstracao pros alunos,
de modo relaxado e mnemônico possivelmente, mais é isso.
Atés
[]s Samuel
PS: Bom, pra justificar/introduzir provas por absurdo pelo menos eu sou
mais "chique" e falo em "terceiro excluído" e "náo contradicao", já é um
pouquinho melhor, hehe...
Também sempre observo que "a Lógica que estamos usado é a Lógica Clássica,
existem outras Lógicas"... (mas isso só como comentário mesmo, pra calouros
nao dá pra imaginar falar muito mais, eu pelo
menos acho isso).
Em sexta-feira, 29 de dezembro de 2023 às 01:29:36 UTC+1, carniell escreveu:
> Oi João:
>
> Vou tentar esclarecer melhor.
> Acho que esse esforço por parte dos professores tinha a ver com o
> movimento da chamada "Matemática Moderna", que era basicamente o apoio
> de tudo na teoria elementar de conjuntos.
> Vou tentar esclarecer o que se fazia, na direção do que você apontou como
> (1).
>
> Muitos enunciados em geometria, que era o que mais tínhamos de
> "matemática", são do tipo:
> "Para todo coiso em um certo conjunto, se o coiso tem uma
> propriedade X, então ele tem uma propriedade Y."
>
> A partir desse entendimento, que não envolve apenas tabelas-verdade
> mas também quantificação mínima, uma prova seria:
>
> Suponha que x seja um coiso particular, mas genérico, que tem a
> propriedade X. Então basta mostrar que o elemento tem também a
> propriedade Y.
> Por exemplo:
> Provar que, para todo triângulo (coiso que está em um certo
> conjunto), se ele for isósceles, então tem dois ângulos iguais.
>
> A(o) estudante aprende a fazer um desenho como um recurso heurístico
> que mostra um triângulo genérico, nota que "isósceles" significa ter
> dois lados iguais, e
> pode usar a propriedade LAL para verificar que o triângulo isósceles
> é semelhante a si mesmo "virado", e daí deduz que há de fato dois
> ângulos iguais.
>
> Não é uma demonstração que figuraria num tratado de geometria, mas
> treina o raciocínio do(a) estudante.
>
> Outra coisa que ele(a) aprende rapidamente é que basta achar um
> contraexemplo, e que aí a coisa não funciona mais, porque se aprende
> alguma relação entre "qualquer" e "existe".
>
> Do ponto de vista de tabelas de verdade propriamente, aprende-se que
> os rudimentos da Lei da Explosão são "Falso deduz qualquer coisa", e
> que por isso os axiomas da Geometria
> devem ser bem escolhidos, críveis, os tais "postulados".
>
> Entender a tabela verdade também ajuda muito a compreender a diferença
> entre "X implica Y" e "X é equivalente a Y".
>
> Por exemplo, evitava um erro comum em demonstrações de
> trigonometria, onde se começa de um lado e às vezes se chega na
> mesma coisa- alguns tinham dificuldade em enteder que isso náo é
> uma demonstação.
>
> A Professora Ausenda Fratini, uma espécie de Emmy Noether nacional
> (até bem parecida), adorava mostrar demonstrações simples em
> geometria, à la Euclides.
>
> Para mim, esses usos simples e intuitivos foram bem educativos.
> Abs,
>
> Walter
>
>
>
>
>
>
>
>
>
> Em qui., 28 de dez. de 2023 às 19:25, Joao Marcos <boto...@gmail.com>
> escreveu:
> >
> > Muito obrigado pela resposta, Walter!
> >
> > Do que você nos conta sou levado a concluir que o uso relaxado da
> > Lógica para justificar certas passagens argumentativas é mais ou menos
> > _tradicional_ entre os professores de matemática brasileiros, e há
> > bastante tempo. Talvez o ponto (1) que você levantou ajude a explicar
> > a razão pela qual isto ocorre.
> >
> > %%%
> >
> > Sobre o seu ponto (2), que me parece estar relacionado ao que escrevi
> > na minha resposta ao Adolfo, confesso que não compreendo bem como os
> > "procedimentos de prova" usuais da matemática seriam justificados
> > "baseado na tabela da implicação". Talvez seja isto justamente uma
> > das coisas que mais me incomoda... Esta conexão entre tabelas de
> > verdade e estratégias de demonstração, digamos, via raciocínio
> > hipotético, contraposição, ou redução ao absurdo, me parece ser,
> > quando muito, _obscura_. Exemplifico a minha perplexidade a este
> > respeito com o teorema citado no item (B2) da minha mensagem original
> > neste fio:
> > "Seja C um coiso com as propriedades A e B.
> > Então C tem a propriedade D."
> > [o que segue é o que eu chamaria de "demonstração típica",
> > estruturada, por contraposição]
> > ENUNCIADO FORMAL:
> > Seja C um objeto de tipo D com a propriedade A.
> > Demonstre que C tem a propriedade B.
> > DEMONSTRAÇÃO:
> > > Declaração: Considere um objeto C arbitrário de tipo D.
> > % Objetivo: Queremos demonstrar que A(C) implica em B(C).
> > >> Para tal efeito, suponhamos <por contraposição> que não-B(C) é o caso.
> > %% Novo objetivo: Queremos concluir não-A(C).
> > [preencha o argumento com detalhes específicos, de acordo com os
> > detalhes concretos dos conceitos usados no enunciado]
> > Note-se que não há nenhum papel para tabelas de verdade, acima, na
> > argumentação "típica" apresentada.
> >
> > %%%
> >
> > Acrescento, por fim, que não vejo porque discordar das suas críticas
> > sobre o "Ensino Colegial", mas reitero a minha questão inicial: será
> > que o estudo de tabelas de verdade (que, no meu entendimento, não
> > ajudam nada ou quase nada no quesito "métodos de demonstração") não
> > teriam melhor lugar, de fato, no estudo pré-universitário?
> >
> > Abraços,
> > Joao Marcos
> >
> > On Wed, Dec 27, 2023 at 1:00 PM Walter Carnielli <walt...@unicamp.br>
> wrote:
> > >
> > > Olá João e. outra(o)s interessados:
> > >
> > > Dou aqui minha contribuição sobre a questão. Estudei matemática de
> > > forma profissional na Unicamp por 7 anos, bacharelado, mestrado e
> > > doutorado,e depois pós-doutorado na Universidade de Califórnia e em
> > > Münster, na Alemanha. Nunca. ninguém usou coisas elementares de
> > > lógica em disciplinas e matemática, nem no IMPA, na Unicamp, USP,
> > > Berkeley, , Münster, etc, Mas todos tinham. por trás a. premissa
> > > que os estudantes sabiam essas coisas. através do ensino médio.
> > > (chamado "colegial". na. época, muito. melhor. nome).
> > >
> > > E de fato durante meus 7 anos de "ginásio" e. "colégio"no Culto à
> > > Ciência os professores de matemática, com formação em Rio Claro e na
> > > PUC na época, tinham uma boa noção de lógica, pelo menos intuitiva.
> > > Não citavam a questão da completude, ou compacidade, mas
> > > enfatizavam o seguinte:
> > >
> > > 1) "Similaridade " (isomorfismo) ) entre as operações lógicas e as
> > > operações conjuntistas (no fundo, uma versão intuitiva do Teorema de
> > > Representação de Stone.).
> > > 2) Falavam dos procedimentos ds. prova. por redução ao absurdo,
> > > baseado na. tabela da . implicação, em especial usos de equivalência
> > > em demonstrações elementares de trigonometria
> > > 3) Mencionavam sempre as tabelas usuais da conjunção, disjunção,
> > > implicação, negação para. guiar o raciocínio
> > > 4) Sempre se mencionavam rudimentos de. lógica quantificada
> > > (existencial, universal, etc)
> > > 5) Esclarecem o papel dos axiomas principalmente em geometria
> > > 6) Mostravam métodos heurísticos de solução de e problemas com régua
> > > e compassos (como o método de e Pappus de Alexandria, em "supor um
> > > problema resolvido para tentar a solução" )
> > > etc.
> > >
> > > Tudo isso a gente já sabia quando entrava em um curso de matemática,
> > > física, engenharia e computação. Nao se vê mais nada disso, Os
> > > professores de ensino médio não têm a menor ideia.
> > > Mas de fato, alguns expositores no YouTube, da velha escola, mencionam
> > > coisas assim.
> > > Por tudo isso acho fundamental voltar a ensinar essas coisas aos
> > > nossos estudantes universitários,
> > >
> > > Abs
> > >
> > > Walter
> > >
> > > Em ter., 26 de dez. de 2023 às 12:46, Joao Marcos <boto...@gmail.com>
> escreveu:
> > > >
> > > > PessoALL:
> > > >
> > > > Uma conversa com um colega estes dias me motivou a escrever a
> presente
> > > > mensagem, que tem tanto um componente sociológico quanto um
> componente
> > > > mais propriamente lógico (bem como um interesse de fundo pedagógico).
> > > >
> > > > %%%
> > > >
> > > > (A)
> > > >
> > > > Segundo meu colega, é bem comum nas aulas, nos vídeos e nos livros de
> > > > Matemática pelo Brasil (talvez fora do Brasil também?) um uso mais ou
> > > > menos relaxado[§] da Lógica para justificar certas passagens
> > > > argumentativas. Em particular, muitos professores de Matemática
> > > > presumivelmente acenariam para a possibilidade de justificar
> > > > estratégias de demonstração (digamos, o raciocínio por contraposição)
> > > > usando *tabelas de verdade*, o que também explicaria a razão pela
> qual
> > > > vários livros de "matemática elementar" ---usados a nível de
> > > > graduação, vejam bem---, bem como vários vídeos no YouTube também
> > > > falariam de tabelas de verdade como um procedimento matematicamente
> > > > relevante para esclarecer ou fundamentar a lógica subjacente a um
> > > > determinado argumento matemático.
> > > >
> > > > [§] O adjetivo "relaxado", acima, aponta para usos absolutamente
> > > > informais de tautologias como justificativas para certas passagens,
> > > > através de rabiscos feitos ao lado da demonstração principal, no
> > > > quadro, supostamente para "explicar por que a coisa funciona".
> > > > Note-se, em particular, que em tais usos nunca há qualquer menção a
> > > > resultados de completude, digamos, conectando tabelas e demonstrações
> > > > formais (ou semi-formais).
> > > >
> > > > As primeiras perguntas que me vêm à mente sobre aquilo que foi
> relatado acima:
> > > > (A1) Quais as opiniões de vocês ---seja como discentes, seja como
> > > > docentes--- acerca das situações suprarreferidas, a partir de suas
> > > > experiências em sala de aula?
> > > > (A2) Quais destes procedimentos ---tabelas de verdade? argumentos
> > > > dedutivos? estratégias de demonstração?--- poderiam (ou deveriam) ser
> > > > trazidos para mais cedo, para o ensino pré-universitário, com alguma
> > > > vantagem para os alunos?
> > > >
> > > > (A minha impressão inicial sobre A2 seria de que não há nada no
> > > > procedimento das tabelas de verdade, em particular, possivelmente
> > > > usadas para ensinar "raciocínio lógico" ---resolver charadas, por
> > > > exemplo---, que precise ou deva esperar até além do Ensino Médio. Mas
> > > > também não estou seguro de o quanto isto tudo ajudaria quando a
> > > > "matemática de verdade" ---vejam o item B, abaixo--- chega, no Ensino
> > > > Superior.)
> > > >
> > > > %%%
> > > >
> > > > (B)
> > > >
> > > > Esta segunda parte é talvez mais opiniosa (opiniática?), da minha
> parte.
> > > >
> > > > Mesmo ciente de que muitos livros de "matemática elementar" têm seus
> > > > capítulos sobre lógica proposicional, incluindo tabelas de verdade, e
> > > > mesmo ciente de que vários colegas gastam boas aulas sobre este
> > > > assunto (e não estou falando de aulas sobre Circuitos Lógicos), por
> > > > exemplo, em um curso inicial de Matemática Discreta, de Topologia, ou
> > > > de Análise, parece-me algo surpreendente que as *tabelas de verdade*
> > > > tenham um papel muito relevante para justificar argumentações
> > > > matemáticas mais sofisticadas. Com efeito, se é fácil imaginar como
> > > > usar tabelas de verdade para procedimentos _refutativos_, por
> exemplo,
> > > > usar a tabela de verdade da implicação para justificar porque a
> > > > sentença A-implica-B é falsa quando A é verdadeira e B falsa, ou como
> > > > usar a tabela de verdade da disjunção para justificar a falsidade de
> > > > uma sentença da forma A-ou-B dada a falsidade de ambos e B, parece-me
> > > > no mínimo desafiante usar diretamente as tabelas da implicação ou da
> > > > disjunção para justificar, digamos, uma demonstração por _raciocínio
> > > > hipotético_ ou uma demonstração por _raciocínio por casos_ (e eu
> > > > provavelmente estenderia a minha perplexidade de modo a cobrir
> > > > praticamente qualquer outra estratégia matemática clássica de
> > > > argumentação).
> > > >
> > > > As primeiras perguntas que me vêm à mente, neste caso, são:
> > > >
> > > > (B1) Será mesmo o caso que é útil recorrer a tabelas de verdade (ou
> > > > lógica proposicional) para justificar estratégias matemáticas mais
> > > > sofisticadas (e absolutamente comuns)? Se pensamos em um curso de
> > > > Análise Real, por exemplo, os passos argumentativos de mais
> interesse,
> > > > logo nas primeiras aulas, envolvem quantificadores aninhados. Se
> > > > pensamos em um curso de Matemática Discreta, conceitos como
> > > > divisibilidade, congruência-módulo, supremos e ínfimos pressupõem que
> > > > entendemos como lidar com expressões quantificadas. As equivalências
> > > > lógicas que poderiam "facilitar a vida", nestes casos, geralmente
> > > > envolvem mais do que conectivos proposicionais --- e quer me parecer
> > > > que nem mesmo os fragmentos proposicionais das ditas equivalências,
> no
> > > > fundo, _precisam_ ser justificados via tabelas de verdade.
> > > >
> > > > (B2) Consideremos um teorema "típico" de livro-texto, em Matemática:
> > > > "Seja C um coiso com as propriedades A e B.
> > > > Então C tem a propriedade D."
> > > > Poderíamos traduzir isto assim, digamos:
> > > > (\forall C:coiso)((A(C)\land B(C))\to D(C))
> > > > (Para ficar mais interessante a pergunta que segue abaixo, sugiro
> > > > assumirmos que existe um coiso C que nem tem a propriedade D nem
> falha
> > > > a propriedade A&B.)
> > > > Bem, baseado na parte A, acima, um uso que consigo imaginar para
> > > > tabela de verdade, aqui, seria para justificar, digamos, a
> > > > curryficação ---como é usual fazer em Computação ou em
> > > > Linguística/Semântica Formal--- da sub-expressão (A(C)\land B(C))\to
> > > > D(C) para uma expressão da forma A(C)\to (B(C)\to D(C)). O restante
> > > > do raciocínio, numa demonstração direta do "teorema típico",
> > > > tipicamente seria conduzido "identificando contextos, criando e
> > > > descarregando hipóteses", como fazemos, por exemplo, através do
> > > > formalismo da Dedução Natural. Vocês acham que haveria outros usos
> > > > interessantes para tabelas de verdade, neste tipo de argumentação
> > > > através de "raciocínio direto"? Seria justificável, para tais usos,
> > > > que gastássemos muito tempo das aulas de Matemática a nível superior
> > > > ensinando os estudantes a fazerem tabelas de verdade?
> > > >
> > > > (Subjacentes às minhas perguntas, claramente, está a opinião
> > > > ---enviesada?--- de que tabelas de verdade são bem menos úteis do
> que,
> > > > digamos, um "filósofo tradicional" poderia imaginar, no que diz
> > > > respeito ao trabalho diário do "matemático praticante".)
> > > >
> > > > %%%
> > > >
> > > > Agradeço desde já aos colegas desta lista por compartilharem seus
> > > > sentimentos acerca destes assuntos.
> > > >
> > > > []s, Joao Marcos
> > > >
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