Oi, Thyago: Vou te confessar uma coisa: usando a identidade 1 - cis(a) = -2isen(a/2)cis(a/2) e mais esse problema do IME, que alias eh uma propriedade classica (e, como voce mostrou, util!) das raizes n-esimas da unidade, voce chegou a uma solucao mais curta e elegante do que a que eu tinha em mente. Parabens!
A minha ideia era separar os casos n par e n impar e fatorar x^n - 1 de duas maneiras diferentes: Primeiro: x^(2m) - 1 = (x^2 - 1)*(x^(2m-2) + x^(2m-4) + ... + x^4 + x^2 + 1) x^(2m+1) - 1 = (x - 1)*(x^(2m) + x^(2m-1) + ... + x^2 + x + 1) Depois: x^(2m) - 1 = (x^2 - 1)*PRODUTO(1<=k<=m-1)(x^2 - 2xcos(kpi/m)x + 1) x^(2m+1) - 1 = (x - 1)*PRODUTO(1<=k<=m)(x^2 - 2xcos(2kpi/(2m+1)) + 1) E depois, fazer x = 1 e igualar as expressoes obtidas, mas a sua solucao eh mais simples e, portanto, melhor. O passo que faltou na sua solucao foi mostrar explicitamente que (-i)^(m-1)*cis(pi/n)*cis(2pi/n)*...*cis((n-1)pi/n) = 1 mas isso eh bem facil (apesar de nao ser evidente). Um abraco, Claudio. PS: Se essa sua solucao nao eh "pratica", entao eu nao sei o que eh. Repare: voce tem um produto de senos de numeros em PA. Como voce propoe calcula-los? Puramento por meio de identidades trigonometricas, sem usar complexos? Boa sorte... on 12.08.03 00:45, Thyago at [EMAIL PROTECTED] wrote: > Olá Cláudio, > > Obrigado pelas dicas :-) > > Mas a resolução que eu fiz não foi nada prática não. > Eu já utilizei todas estas propriedades e não consegui chegar em nada. > Bom, só para esclarecer um pouco mais... vou colocar o exercício que gerou > tal questão: > > > (IME) Sejam 1, X2, X3, ..., Xn as raízes de x^n=1. Calcule: P = (1 - > x2)(1-x3)...(1-xn). > > Fazendo uso de Briot-Rufini e fatoração de polinômios, conseguimos chegar > facilmente na resposta P = n. > Mas, utilizando o tratamento vetorial de números complexos com a fórmula > 1-cis(a) = -2isen(a/2)cis(a/2) chegamos em > > P = 2^(n-1) . S > > Onde S = sen(pi/n) . sen(2pi/n) . sen(3pi/n) . ... . sen[(n-1)pi/n] > > Daí, utilizando a resposta da primeira resolução com a resposta da segunda > resolução temos que S = n/[2^(n-1) ] > Dá para ver que esta demonstração para S não é nada prática. > > Você citou uma "solução padrão" para este tipo de problema. Qual seria? > > Aguardo resposta > > Atenciosamente > ¡Thyago! > > ----- Original Message ----- > From: Cláudio (Prática) <[EMAIL PROTECTED]> > To: <[EMAIL PROTECTED]> > Sent: Monday, August 11, 2003 2:19 PM > Subject: Re: [obm-l] Ajuda > > >> Oi, Thyago: >> >> A solução "padrão" pra esse tipo de problema realmente envolve complexos e >> polinômios. >> >> Tentando resolver outros problemas similares, você vai perceber que >> complexos e polinômios são uma forma de resolução bastante natural. >> >> Os resultados básicos são os seguintes: >> 1) Todo número complexo pode ser representado na forma R*(cos(a) + >> i*sen(a)), onde "R" é um real não negativo e "a" é um real qualquer (mas >> normalmente limitado ao intervalo [0, 2pi) ou então (-pi,pi]); >> 2) e^(i*a) = cos(a) + i*sen(a): essa é a definição da função exponencial >> complexa, que permite, por exemplo, que você transforme sequências de > senos >> e cossenos de números reais em PA em sequências de complexos em PG, que as >> vezes são mais fáceis de manipular; >> 3) Um polinômio com coeficientes reais pode ser expresso como o produto de >> binômios da forma (x - b) e/ou trinômios da forma (x^2 - 2*R*cos(a)*x + >> R^2), onde a e b são números reais quaisquer e R é um real positivo. >> >> Um abraço, >> Claudio. >> >> >> ----- Original Message ----- >> From: "dex" <[EMAIL PROTECTED]> >> To: <[EMAIL PROTECTED]> >> Sent: Monday, August 11, 2003 11:05 AM >> Subject: [obm-l] Ajuda >> >> >>> Olá pessoal >>> >>> Gostaria de saber uma boa demonstração para o exercício abaixo >>> >>> P = sen(pi/n) . sen(2pi/n) . sen(3pi/n) . ... . sen[(n-1)pi/n] >>> com n Inteiro positivo >>> >>> A resposta é P = n/[2^(n-1)], mas cheguei até este resultado de uma >> maneira >>> muito pouco prática, nada natural para uma questão de matemática (de >>> vestibular). Consegui prová-la utilizando o resultado de uma outra >> questão, >>> que versava sobre polinômios e complexos. Ou seja, se eu não tivesse > visto >>> esta outra questão não conseguiria provar nada! >>> >>> Atneciosamente >>> ¡Thyago! >>> >> >> ========================================================================= >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >> ========================================================================= >> > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================