Pra quem curte beleza matematica,veja o livro Proofs from THE BOOK.E so o melhor compilado da perfeiçao!!! Quer uma ai?
A demo do Erdös sobre o postulado de Bertrand. Ou essa,tambem do Erdös:mostre que em uma sequencia de mn+1 termos ha uma subsequencia monotona de m termos ou de n+1 termos. Eu nao acho essa demo de Medias muito elegante.Mas a do log e mais legal...Vejam a Eureka! 5. Na Eureka!6 ha um exercicio de demonstrar que se tg(x*pi)=4/5 entao x e irracional. Tambem tem o teorema de Dehn-Hilbert,que mostra que um cubo e um tetraedro nao sao equidecomponiveis.E a versao 2-dimensoes disso.... Ah,essa demo da propriedade do baricentro:pegue uma reta paralela a um dos lados,prolongue tudo e use semelhança sem medir as consequencias. Problemas de geometria de IMO tambem estao na lista!Veja so o tres da ultima IMO! A demo do teorema de Ptolomeu,e a demo de prostaferese a partir de Ptolomeu. A prova de Euclides de que ha infinitos primos nao e a que se encontra por ai mas e equivalente: "2 e primo. Dado o conjunto p1,p2,p3,p4,...,pn de primos,considere o numero 1+p1*p2*...*pn. Se este cara for primo,produzimos mais um primo.Caso contrario basta fatorarmos e ver que mos primos que aparecem sao novos.E fim!" Outra da infinitude dos primos:pegue o conjunto dos numeros de Fermat,e mostre que nas fatoraçoes os caras sao diferentes. A prova de que uma raiz enesima de um inteiro ou e inteira ou e irracional e bem curta se voce usar o fato de que as raizes de x^n-a sao multiplas de algum fator primo de a. --- Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > Resolvi escrever imediatamente aqueles que me > vieram a cabeça, pois > provavelmente são os que mais me tocaram. Não > olhei ainda as outras opiniões > da lista, para não ser influenciado. > > 1) A prova de que toda sequencia de numero > reais contem uma subsequencia > monotonica. > > 2)A famosa e linda prova de Euclides de que o > conjunto dos numeros primos eh > infinito. > > 3) A prova de Cantor, baseada em expansoes > decimais, de que o conjunto dos > reais naum eh numeravel. > > 4)A elegante prova da desigualdade das medias > aritmetica e geometrica > baseada na propriedade da funcao exponencial > segundo a qual e^x >= 1+ x para > todo real x (acho que eh acessivel ao nivel > medio). > > 5)A prova de que, se n e p sao inteiros > positivos e a= n^(1/p) nao eh > inteiro, entao a eh irracional > > 6) A simples e muito engenhosa prova de Cantor > de que nenhum conjunto eh > equivalente ao conjunto de suas partes, a qual > tem como corolario a > conclusao de que o conjunto das partes de N (os > naturais) nao eh numeravel. > > 7) A surpreendentemente simples prova de que os > racionais sao numeraveis > > 8) A prova de que entre dois reais distintos > hah uma infinidade de racionais > e de irracionais. > > 8)O lindo teorema de Dandelin, das conicas > > 9) A prova de que as medianas de um triangulo > encontram-se em um mesmo > ponto, o baricentro, o qual, sobre cada > mediana, estah a 2/3 do vertice eh a > 1/3 da base. > > 10) E este, muito simples, caiu no vestibular > interno do antigo curso Vetor, > em 1969: Em um triangulo ABC, o circulo > inscrito c tangencia AB e AC nos > pontos M e N. A partir de um ponto O sobre o > arco MN, de c, distinto de M e > de N, traca-se a tangente a c, que intersecta > Ab e AC nos pontos P e Q. > Mostre que o perimetro do triangulo APQ > independe da escolha do ponto O. > > Indo soh um pouquinho alem do nivel medio > (desculpe-me, Claudio, se estou > extrapolando!), cito ainda a prova de alguns > teoremas que acho lindos de > morrer: > > Se a funcao real f eh monotonica em um > intervalo I, entao o conjunto dos > pontos de descontinuidade de f em I eh > numeravel. > > No conjunto dos reais, derivadas apresentam a > propriedade do valor > intermediario > > Se A eh compacto e B eh um subconjunto infinto > de A, entao B tem um ponto de > acumulacao em A. Se f eh continua em um > conjunto compacto, entao f eh > uniformemente continua neste conjunto. > > Subconjuntos perfeitos de espacos metricos > compactos nao sao numeraveis. > > Aproveito a oportunidade para perguntar: Existe > alguma conclusao da > matematica que vc considere contraria aa > intuicao? Eu, por exemplo, acho um > tanto contra intuitivo que o fato de f ser > diferenciavel em R e apresentar > limite no infinito nao implique que f' > apresente limite zero no infinito. > Algumas pessoas acham contra intuitivo que a > serie harmonica seja > divergente. > Artur > > ATTACHMENT part 2 application/ms-tnef name=winmail.dat _______________________________________________________________________ Conheça o novo Cadê? - Mais rápido, mais fácil e mais preciso. Toda a web, 42 milhões de páginas brasileiras e nova busca por imagens! http://www.cade.com.br ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
