Resolvi escrever imediatamente aqueles que me vieram a cabeça, pois provavelmente são os que mais me tocaram. Não olhei ainda as outras opiniões da lista, para não ser influenciado.
1) A prova de que toda sequencia de numero reais contem uma subsequencia monotonica. 2)A famosa e linda prova de Euclides de que o conjunto dos numeros primos eh infinito. 3) A prova de Cantor, baseada em expansoes decimais, de que o conjunto dos reais naum eh numeravel. 4)A elegante prova da desigualdade das medias aritmetica e geometrica baseada na propriedade da funcao exponencial segundo a qual e^x >= 1+ x para todo real x (acho que eh acessivel ao nivel medio). 5)A prova de que, se n e p sao inteiros positivos e a= n^(1/p) nao eh inteiro, entao a eh irracional 6) A simples e muito engenhosa prova de Cantor de que nenhum conjunto eh equivalente ao conjunto de suas partes, a qual tem como corolario a conclusao de que o conjunto das partes de N (os naturais) nao eh numeravel. 7) A surpreendentemente simples prova de que os racionais sao numeraveis 8) A prova de que entre dois reais distintos hah uma infinidade de racionais e de irracionais. 8)O lindo teorema de Dandelin, das conicas 9) A prova de que as medianas de um triangulo encontram-se em um mesmo ponto, o baricentro, o qual, sobre cada mediana, estah a 2/3 do vertice eh a 1/3 da base. 10) E este, muito simples, caiu no vestibular interno do antigo curso Vetor, em 1969: Em um triangulo ABC, o circulo inscrito c tangencia AB e AC nos pontos M e N. A partir de um ponto O sobre o arco MN, de c, distinto de M e de N, traca-se a tangente a c, que intersecta Ab e AC nos pontos P e Q. Mostre que o perimetro do triangulo APQ independe da escolha do ponto O. Indo soh um pouquinho alem do nivel medio (desculpe-me, Claudio, se estou extrapolando!), cito ainda a prova de alguns teoremas que acho lindos de morrer: Se a funcao real f eh monotonica em um intervalo I, entao o conjunto dos pontos de descontinuidade de f em I eh numeravel. No conjunto dos reais, derivadas apresentam a propriedade do valor intermediario Se A eh compacto e B eh um subconjunto infinto de A, entao B tem um ponto de acumulacao em A. Se f eh continua em um conjunto compacto, entao f eh uniformemente continua neste conjunto. Subconjuntos perfeitos de espacos metricos compactos nao sao numeraveis. Aproveito a oportunidade para perguntar: Existe alguma conclusao da matematica que vc considere contraria aa intuicao? Eu, por exemplo, acho um tanto contra intuitivo que o fato de f ser diferenciavel em R e apresentar limite no infinito nao implique que f' apresente limite zero no infinito. Algumas pessoas acham contra intuitivo que a serie harmonica seja divergente. Artur
<<attachment: winmail.dat>>