on 14.09.03 20:37, Henrique Patrício Sant'Anna Branco at [EMAIL PROTECTED] wrote:
> Prove as seguintes afirmações: > a) Se a é um inteiro ímpar, então 24 divide a*(a^2 - 1) > b) Se a e b são inteiros impares, entao 8 divide a^2 - b^2 > No caso do item b) pensei em considerar a = 4k-1 e b = 4k+1. Eu perco a > generalidade se fizer algo assim? > Infelizmente voce perde, pois poderia ser a = 4k+1, por exemplo. a) a impar ==> a = 2k+1 para algum inteiro k ==> a(a^2-1) = (2k+1)(4k^2+4k) = 4k(k+1)(2k+1) Agora voce raciocina assim: k e k+1 sao inteiros consecutivos ==> um deles eh par ==> 2 divide k(k+1) ==> 8 divide 4k(k+1)(2k+1) (*) Se 3 divide k ou 3 divide k+1, entao 3 divide 4k(k+1)(2k+1) ==> juntamente com (*) isso implica que 24 (=8*3) divide 4k(k+1)(2k+1) Se 3 nao divide k nem k+1, entao k = 3m+1, para algum inteiro m ==> 2k+1 = 6m+3 ==> 3 divide 2k+1 ==> 3 divide 4k(k+1)(2k+1) ==> juntamente com (*) isso implica que 24 divide 4k(k+1)(2k+1) ***** b) Na verdade, isso eh decorrencia do fato de que se a eh impar entao 8 divide a^2 - 1, pois a = 2m + 1 ==> a^2 - 1 = 4m^2 + 4m + 1 - 1 = 4m(m+1) Mas, como visto acima, 2 divide m(m+1) ==> 8 divide 4m(m+1) = a^2 - 1. Um abraco, Claudio. a^2 - b^2 = 4m^2 + 4m - 4n^2 - 4n = 4[m(m+1) - n(n+1)] ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================