on 17.09.03 22:14, Artur Costa Steiner at [EMAIL PROTECTED] wrote: > Boa noite a todos os amigos. > Um fato que me parece relevante eh que a funcao cosseno eh periodica e > continua em R e seu periodo minimo, 2PI, eh irracioinal. Oi, Artur: Eu tambem achava isso, mas a funcao real f(x) = cos(x^2) nao eh periodica e eu tenho a sensacao (mas nao a demonstracao) de que o conjunto de valores de aderencia da sequencia y(n) = cos(n^2) tambem eh [-1,1].
>Pelo que jah > vimos, o conjunto A= {(2PI)a*n +m | m, n inteiros} eh denso em R. O > conjunto imagem do cosseno eh [-1, 1]. Para qualquer r neste intervalo, > existe, face aa continuidade da funcao cosseno, x em [-1, 1] (hah, eh > claro, uma infinidade) tal que cos(x) = r. Nesse caso acho que o que eh importante nao eh a continuidade mas o fato de cos ser uma sobrejecao de R em [-1,1]. Por exemplo, a funcao f definida acima eh descontinua em todo x inteiro. Mais um exemplo: Seja f:R -> R dada por: f(x) = cos(x^2) se x eh racional f(x) = -cos(x^2) se x eh irracional. f eh nao-periodica e descontinua em quase todo ponto e eu apostaria que o conjunto de valores de aderencia de z(n) = f(n) eh [-1,1]. Claro, tudo o que eu falei eh soh conjectural. Eu adoraria ver as demonstracoes ou contra-exemplos. Um abraco, Claudio. > Em virtude novamente da > continuidade do cosseno e do fato de que A eh denso em R, podemos, para > todo eps>0, achar inteiros n e m tais que |cos(2PI*n +m) -r|<eps --> > |cos(m) -r|<eps (usando agora a periodicidade do cosseno). Logo, o > conjunto imagem da sequencia ((cos(n)) eh denso em [-1,1], o que > equivale a dizer que [-1, 1] eh o conjunto dos seus pontos de aderencia. > > Podemos generalizar: > Teorema: Se f eh periodica e continua em R e seu periodo minimo p eh > irracional, entao o conjunto dos pontos de aderencia da sequencia (f(n)) > eh o intervalo fechado [-m, M], onde m e M sao os valores minimo e > maximo que f assume em [0, p]. > Prova: Exatamente os mesmos argumentos que apresentei, generlaizados > agora para f, p e [-m , M]. > > Um grande abraco a todos > Artur > >> Oi, Salvador: >> >> Em essência eu acho que é isso, apesar de você ter omitido alguns > passos >> facilmente formalizáveis. >> >> Uma pergunta que me ocorre é: que propriedade de f(x) = cos(x) você > usou? >> Apenas que f é uma sobrejeção de [0,2Pi] em [-1,1]? >> Será que o fato de que f é contínua também é relevante? >> Que tal cos(m + n*2Pi) = cos(|m|) com m, n inteiros? >> >> Mais geralmente, a minha pergunta é a seguinte: >> Dado um conjunto X contido em R e uma função f: X -> R, se A é um >> subconjunto qualquer de X tal que A é denso em X, qual a condição > (sobre X >> e >> f) para que f(A) seja denso em f(X)? >> >> Um abraço, >> Claudio. >> > ======================================================================= > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================