Oi, Artur: De fato, a continuidade da função cosseno é essencial (pelo menos na demonstração que eu obtive).
Acho que dá pra provar o seguinte: Seja X contido em R tal que X contém todos os inteiros positivos. Seja f: R -> R uma função contínua, par (f(-x) = f(x)) e periódica com período irracional. Então, a sequência (f(n)) tem subsequências que convergem para qualquer ponto de f(R). Seja p = período de f. Como p é irracional, A = {r + s*p; r,s: inteiros} é denso em R e tal que, para cada inteiro positivo n, existem inteiros r(n) e s(n) tais que: 0 < | r(n) + s(n)*p | < 1/n. Tomemos b em f(R). Seja a em R tal que f(a) = b. Para cada n, tomamos um ponto z(n) do conjunto: A inter ( a -1/n , a + 1/n ) (o qual é sempre não-vazio já que A é denso em R). Obtemos assim uma sequencia z(n) de pontos de A que converge para a. Seja z(n) = r(n) + s(n)*p, onde r(n) e s(n) são inteiros. Temos que f(z(n)) = f(r(n) + s(n)*p) = f(r(n)) = f(|r(n)|). Como z(n) -> a e f é contínua, temos que f(z(n)) = f(|r(n)|) -> f(a) = b. Agora, basta tomar uma subsequência não-decrescente |r(n_i)| da sequência |r(n)|. |r(n_i)| também será uma subsequencia não-decrescente da sequência y(n) = n ==> f(|r(n_i)|) será uma subsequência de (f(n)) que converge para b. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================