Oi Duda, Claudio e demais colegas desta lista ... OBM-L,
Quando o Duda colocou a questao, a nossa lista estava sendo agredida por maluco qualquer e pensei que ele, corretamente, desejando reafirmar a inegavel qualidade de nossas discussoes e colocar o maluco onde deveria ficar, isto e, no ostracismo, apresentava um daqueles exemplos em que e impossivel concluir sobre a convergencia usando os testes convencionais diretos mais conhecidos, tais como o teste da razao e da raiz.
Eu mesmo procedi assim, resolvendo algumas questoes elementares sobre grupos que algum membro havia proposto. Sem pensar muito, vou dizer o que vejo. Os colegas, por favor, corrijam os erros e completem as lacunas
Numa primeira analise, claramente que para qualquer N temos que 1/3 < [( 2 + sen(N) )/3] < 1 e dai segue que [ ( 2 + sen(N) )/3 ]^N < 1 => (1/N)*[ ( 2 + sen(N) )/3 ]^N < 1/N, isto e, para todo natural N positivo existe um real r(N) > 1 tal que :
(1/N)*[ ( 2 + sen(N) )/3 ]^N = 1 / ( N^r(N) )
Agora :
S = somatorio(1 ate +INF) de i^[ - r(i) ] , r( i ) > 1, converge ? Para mim, e evidente que sim, e eu ficaria satisfeito em chegar aqui, pois, para N suficientemente grande, tomando r=MIN{ r(1), ...,r(N) }, teriamos r > 1 e a serie de termo geral 1/N^r converge, alem de que 1/N^r >= 1/[ N^r(N) ]. Mas claramente e possivel colocar mais rigor aqui ...
Finalmente, observo aqui uma semelhanca com as series de Fourier, na qual para tratarmos de continuidade e diferenciabilidade de serie de funcoes, precisamos considerar o conceito de convergencia uniforme para dar maior rigor as nossas conclusoes ...
Um Abraco a Todos Paulo Santa Rita 5,1040,231003
From: Claudio Buffara <[EMAIL PROTECTED]>
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To: <[EMAIL PROTECTED]>
Subject: [obm-l] SOMA(n>=1) (1/n)*((2+sen(n))/3)^n Date: Thu, 23 Oct 2003 08:13:02 -0200
MIME-Version: 1.0
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Bom, por um lado eh verdade que 1/3 < (2+sen(n))/3 < 1, para todo n natural e que, portanto, o termo geral tende a zero.
Alem disso, a primeira vista, o n-esimo termo seria majorado por algo da
forma a^n/n, com 1/3 < a < 1, o que implicaria em convergencia. Soh que isso
nao eh verdade. Aquela nossa discussao sobre densidade e equidistribuicao
mostrou que a sequencia cujo termo geral eh (2+sen(n))/3 tem uma
subsequencia convergindo pra 1 (apesar de (2+sen(n))/3 nao ser UD em [1/2,1]
- acho que o Gugu mandou uma mensagem mostrando isso ou algo muito similar).
Isso significa que nao existe a em (1/3,1) tal que a majoracao mencionada
acima ocorre para todo n.
Claro, o problema estah no expoente n (sem ele, cada termo teria 1/(3n) como
cota inferior e a serie seria divergente por comparacao com a serie
harmonica).
A serie SOMA(n>=1) ((2+sen(n))/3)^n tambem me parece problematica, pois nao pode ser majorada por nenhuma serie geometrica com razao < 1. Nesse caso, nao tenho nem certeza sobre se o termo geral tende a zero.
Talvez seja interessante considerar a serie SOMA(n>=1) x(n)^n, onde x(n) eh uma sequencia UD em [0,1]. Uma duvida que eu tenho eh se o expoente n puxa os termos da serie pra baixo o suficiente pra que ele convirja. Serah que, pelo menos, lim x(n)^n = 0 ?
Espero que alguem com mais conhecimentos entre na discussao e tire essas duvidas.
Um abraco, Claudio.
on 23.10.03 00:57, Eduardo Casagrande Stabel at [EMAIL PROTECTED] wrote:
> Oi Cláudio!
>
> Não sei a resposta. Eu deveria ter dito mais sobre o problema quando fiz a
> pergunta. Pelo que ouvi dizer, este é um problema que um professor copiou
> mal de um livro e propôs a seus alunos. (o problema original era trivial)
> Ele tentou e não conseguiu resolver o problema. O problema já passou por
> muita gente, segundo me contaram até numa das edições da revista AMM, e
> ainda não encontraram a solução.
>
> A mim, parece que a série converge. Eu propus na lista por que sei que você,
> e outros, iriam se interessar, já que ela parece ter tudo a ver com a
> questão de seqüências equidistribuídas.
>
> Ele não me parece tão difícil, o que você acha?
>
> Abraço, Duda.
>
>
> From: "Claudio Buffara" <[EMAIL PROTECTED]>
>> on 20.10.03 01:36, Eduardo Casagrande Stabel at [EMAIL PROTECTED]
> wrote:
>>
>>> Oi Pessoal!
>>>
>>> E quanto à SOMA{ (1/n)*[(2 + sen(n))/3]^n , n=1, 2, ... } ?
>>>
>>> Abraço, Duda.
>>>
>> Oi, Duda:
>>
>> Interessante esse problema. Voce sabe a resposta?
>>
>> Um abraco,
>> Claudio.
>>
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