Gostaria de poder participar com mais tranquilidade, como fazia antes, mas podes crer que o meu dia precisaria ter cerca 48 horas para que eu pudesse atender bem tantas coisas ...
Eu continuo achando que e evidente que a serie converge devido as particularidades Xn = sen(N) e considero que o que eu vejo e muito semelhante a convergencia uniforme que se usa, dentre outros lugares, na Analise de Fourier. Vou tentar falar um pouco mais sobre isso.
Nos sabemos que os r(N) sao definidos pela equacao :
(1/N)*{ [ (2 + sen(N) / 3 ]^N } = 1/( N^r(N) ) => r(N) > 1 para todo N
A serie : 1 + 1/( 2^r(2) ) + ... + 1/( N^r(N) ) + ... evidentemente que converge pois r(N) > 1 e tomando r=MIN { r(1), r(2), ... } claramente que 1/N^r converge e 1/N^r >= 1/N^r(N). Tudo isso parace com a convergencia uniforme ( devido a particularidade de Xn = sen(N) )
Eu deveria ter detalhado mais aqui para que meu raciocinio ficasse mais claro ...
Seja r um real em (-1,1). Tome um E (epsilon) suficientemente pequeno. Entao (r-E,r+E) sera suficientemente pequeno e claramente ainda teremos I=(r-E,r+E) contido em (-1,1). Pois bem :
Se o natural N1 e tal que sen(N1) esta em I entao o proximo natural N2 ( da sequencia Xn=sen(N) ) que cair em I sera tal que :
1 < r(N1) < r(N2)
reiterando, teriamos : r(N1) < r(N2) < ... < r(Ni) < ou seja, a subsequencia que cai dentro de I e linitada superiomente por 1/( N1 ^r(N1) ). Como claramente somatorio de 1/N^r(N1) converge entao
evidentemente a serie correspondente converge.
O QUE ME PARECE EVIDENTE e que e possivel decompor (-1,1) numa quantidade finita de intervalos suficientemente pequenos de forma que todos os termos da serie que caem dentro de um intervalo especifico da decomposicao vao atender o detalhe que expliquei acima. Como todas as series vao convergir e sao em numero finito ( pois os intervalos sao em numero finito ) entao toda a serie vai convergir...
Assim, a convergencia me pareceu evidente por causa desta evidente particularidade de Xn = sen(N)
Observe que poderemos usar UM MESMO E( epsilon ) suficientemente pequeno para todos os intervalos e, por esta razao, eu achei uma certa semelhanca com a convergencia uniforme. Por isso eu disse : vejo uma semelhanca com a convergencia uniforme usada em analise de fourier.
Se a minha sensibilidade estiver errada, e no pressuposto expresso neste ultimo paragrafo. Mas eu nao sinto isso ...
Esta a ideia que me ocorreu numa analise rapida. E claramente necessario provar alguns passos elementares para transformar a ideia numa demonstracao, mas voce vai concordar comigo que visualizar estas coisas e muito facil.
Um Abraco a Todos Um abraco especial ao Duda e ao Claudio Paulo Santa Rita 6,1040,241003
From: Claudio Buffara <[EMAIL PROTECTED]>
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Subject: Re: [obm-l] SOMA(n>=1) (1/n)*((2+sen(n))/3)^n
Date: Thu, 23 Oct 2003 20:02:02 -0200
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Oi, Paulo:
Mesmo assim eu nao estou convencido. O que esse r(n) (relativo a equacao do Duda) tem de especial que faz a serie convergir? O meu exemplo anterior mostra que o simples fato de termos r(n) > 1 para todo n nao eh suficiente.
Tudo bem. Concordo que -1 < sen(n) < 1 implica 1/3 < (2+sen(n))/3 < 1 e que,
portanto, o n-esimo termo da serie eh menor do que 1/n, mas dai a concluir
que ela eh convergente...
Mas talvez eu tenha entendido mal: a que particularidade de sen(n) voce se refere?
Uma duvida mais basica: A sequencia x(n) = ((2+sen(n))/3)^n converge?
Um abraco, Claudio.
on 23.10.03 16:08, Paulo Santa Rita at [EMAIL PROTECTED] wrote:
> Oi Claudio,
>
> Infelizmente, sua observacao nao e consistente.
>
> Voce se ateve a uma frase ( que destacou pra refutar ) e nao ao corpo da
> mensagem. Esta claro, devido a tudo que escrevi, que eu me refiri aos r(N)
> que resultam da equacao ( perdao se nao fui suficientemente claro ! ) :
>
> (1/N)*[ (2+sen(N) / 3)]^N = 1/[ N^r(N) ] , r(N) > 1 para qualquer N >= 1. A
> sequencia Xn=sen(N) varia entre -1 e 1, isto e, -1 < sen(N) < 1.
>
> NESTE CASO, volto a afirmar : a serie converge DEVIDO A PARTICULARIDADE DO
> sen(N) que estou destacando nesta mensagem. E necessario desenvolver mais
> este ponto ...
>
> Um abraco a todos
> Paulo Santa Rita
> 5,1609,231003
>
>> From: "Cláudio \(Prática\)" <[EMAIL PROTECTED]>
>> Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
>> To: <[EMAIL PROTECTED]>
>> Subject: Re: [obm-l] SOMA(n>=1) (1/n)*((2+sen(n))/3)^n
>> Date: Thu, 23 Oct 2003 15:29:02 -0200
>>
>>>
>>> S = somatorio(1 ate +INF) de i^[ - r(i) ] , r( i ) > 1, converge ? Para
>> mim,
>>> e evidente que sim.
>>
>> Oi, Paulo:
>>
>> Infelizmente isso não é verdade.
>> Por exemplo, para cada n >= 3, tome r(n) = 1 + ln(ln(n))/ln(n) > 1.
>> Isso resulta em n^r(n) = n*ln(n) ==>
>> SOMA(n>=3) n^(-r(n)) = SOMA(n >=3) 1/(n*ln(n)), que diverge, pelo teste da
>> integral.
>>
>> *****
>>
>> O problema do Duda parece ser bem mais complicado.
>> Por exemplo, um bom começo seria determinar se a sequência x(n) = sen(n)^n
>> é
>> convergente ou não.
>>
>> Um abraço,
>> Claudio.
>>
>>
>>
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