on 25.10.03 04:01, Douglas Ribeiro Silva at [EMAIL PROTECTED] wrote: > Esse problema me foi passado há algum tempo mas não consegui uma solução > sucinta para ele. Não sei se o problema já foi discutido na lista, mas > lá vai... > > Seja um quadrado ABCD de lado a. Inscreve-se no quadrado uma > circunferencia. Traça-se um arco de circunferência de A para C com > centro em B. Este arco intercepta a circunferência inscrita em 2 pontos. > Qual a área dessa figura em forma de "Lua"? > > Não me lembro bem mas acho que alguém me disse certa vez que esse > problema poderia ser feito de 2 maneiras, uma por geometria plana, outra > por integral. Se possível gostaria de saber os 2 métodos. > > Abraços, Douglas. > Caro Douglas:
Aqui vao apenas algumas dicas, pois as contas sao um pouco chatinhas. Por geometria plana, chame de O o centro do quadrado e de P e Q os pontos de interseccao da circunferencia com o arco (P proximo de A e Q proximo de C). Seja 2a o comprimento do lado do quadrado. Entao, OP = a, PB = 2a, OB = a*raiz(2). Com isso voce resolve os triangulos OBP e OBQ (que sao iguais), descobre os angulos PBQ e POQ e determina as areas dos setores circulares POQ e PBQ. A area da sua lua sai por soma/diferenca de areas entre estes setores e os triangulos correspondentes. ***** Por integral, coloque a origem das coordenadas em B, de modo que os demais vertices tenham por coordenadas: A = (-a*raiz(2),a*raiz(2)); C = (a*raiz(2),a*raiz(2)); D = (0,2a*raiz(2)) O arco centrado em B tem equacao: y1 = raiz(4a^2 - x^2) O arco relevante da circunferencia inscrita eh: y2 = a*raiz(2) + raiz(2a^2 - x^2) Agora voce acha as abscissas dos dois pontos de interseccao (-b e b, digamos) e calcula a area da lua, dada por INTEGRAL(-b..b) (y2 - y1)*dx. Um abraco, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================