O Marcio Cohen propos, no ultimo domingo, um problema interessante, provar que x = arccos[((sqrt(5)-1)/2]/pi eh irracional. Eu achei que isto poderia ter solucao por fracoes continuas ou com base na divisao aurea. Mas por aih nao cheguei a nada.
Depois eu notei que (sqrt(5)-1))/2 eh uma das dua raizes da equacao do segundo grau, de coeficientes inteiros, 2x^2 + x -1 =0, de modo que (sqrt(5)-1))/2 eh algebrico. Observamos ainda que cos(pi*x) =(sqrt(5)-1))/2, o que implica em que a parte real de e^(pi*x) seja Re[^(pi*x)] = sqrt(5)-1))/2. Neste ponto eu me lembrei que parece que hah um teorema (mao estou abolutamente certo) o qual diz que, com excecao de -1, 0 e 1, as partes reais das raizes inteiras da unidade sao transcendentes. Se alguem se lembrar deste teorema, caso efetivamente exista, e puder apresentar ou mesmo rascunhar uma prova, eu gostaria. Bom, assumindo-se que o citado teorema efetivamente exista, concluimos que Re[e^(pi*x)] ek algebrico e que, desta forma, e^(pi*x*i) nao eh raiz da unidade. Se x for racional, entao existem inteiros p>0 e q<>0 tais que x =p/q. Logo pi*x*i = pi* p/q *i e e^(pi*x*i)= cos(p*pi/q) + i * sen(p*pi/q). Logo, [e^(pi*x*i]*q = cos(p*pi) + i * sen(p*pi). Mas eh sempre possivel escolhermos p/q = x de modo que p seja par e que, consequentemente, cos(p*pi) = 1 e sen(p*pi) =0. Isto nos mostra que existe q inteiro tal que [e^(pi*x*i]*q =1 . A conclusao eh que se x eh racional entao e^(pi*x*i) eh raiz da unidade para algum inteiro p. dado que, no caso prooposto, e^(pi*x*i) nao eh raiz da unidade, segue-se que x eh iracional. Supondo-se, eh claro, que o teorema que citei existe...Vou tentar demonstra-lo, se possivel. Artur ________________________________________________ OPEN Internet @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================