Cláudio, Muito obrigado pela explicação. Gostaria ainda de perguntar se você conhece algum teorema sobre uma função ter ou não a sua função inversa em termos de funções elementares. Afinal, isso seria de grande utilidade para funções não polinomiais: por exemplo, já sabemos que uma equação de quinto grau só pode ser resolvida em "casos particulares", e não de forma geral, como provaram Abel e Galois. Já sobre o seu "desafio", vamos lá. Tomando y = f(x) = x^3 + 3x, o conjunto-verdade é {0 ; i*sqrt(3) ; -i*sqrt(3)}. Claramente, após a construção gráfica, observa-se que a função é bijetora, portanto, a sua função inversa existe. Como obtê-la? Simples: y = x^3 + 3x <=> x^3 + 3x - y = 0, que já é uma equação reduzida do terceiro grau. Para resolvê-la, cada um usa o método que preferir, convier ou souber. Creio que o método de Tartaglia é o que melhor se aplique, sem o uso de qualquer variação.
Assim, dada uma equação do tipo x^3 + px = q, temos p = 3 e q = y. Uma das soluções é obtida diretamente por x = cbrt(q/2 + sqrt((q/2)^2 + (p/3)^3)) + cbrt(q/2 - sqrt((q/2)^2 + (p/3)^3)) = cbrt(y/2 + sqrt((y/2)^2+1)) + cbrt(y/2 - sqrt((y/2)^2+1)). Permutando as variáveis, a função inversa de f(x) é dada por y = cbrt(x/2 + sqrt((x/2)^2+1)) + cbrt(x/2 - sqrt((x/2)^2+1)). Talvez, a expressão ainda possa ser simplificada, mas não creio que seja essa a intenção. De todo modo, fiquei com uma dúvida: a função inversa de f(x) = x^3 + 3x é única se considerarmos f: R -> R, certo? E se considerássemos f: C -> C? Se não estou errado, teríamos um "gráfico de 4 dimensões" e estudar a função não me parece fácil definitivamente. E o que me pergunto é exatamente: o conceito de bijeção vale, de forma semelhante, para C? No caso de ser válido, faz sentido (e é útil) considerar que a função f: C -> C tenha mais do que uma função inversa? Ficarei grato se você puder esclarecer, Cláudio, embora imaginar tais "4 dimensões" já me pareça um tanto difícil... Abraços, Rafael de A. Sampaio ----- Original Message ----- From: "Claudio Buffara" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Thursday, February 12, 2004 9:54 AM Subject: Re: [obm-l] Funções inversas > Infelizmente nao ha nada a se fazer. Ha certas funcoes que nao podem ser > expressas como combinacao de funcoes elementares, mas que no entanto existem > e podem ateh ser bijetoras, tais com as inversas das funcoes acima (imagino > que voce queira dizer que a segunda eh uma bijecao entre o conjunto dos > reais positivos e o conjunto dos reais). A mesma coisa ocorre ateh com > algumas funcoes polinomiais. Por exemplo, qual a inversa de h:R -> R dada > por h(x) = x^5 + 6x + 3? Por outro lado, eh possivel achar uma expressao > para a inversa de k:R _> R dada por k(x) = x^3 + 3x. Voce consegue? > > Um abraco, > Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================