on 14.02.04 01:46, Rafael at [EMAIL PROTECTED] wrote: > Cláudio, > > Muito obrigado pela explicação. Gostaria ainda de perguntar se você conhece > algum teorema sobre uma função ter ou não a sua função inversa em termos de > funções elementares. Nao conheco, mas sei que existe um algoritmo que testa se a integral indefinida de alguma funcao pode ser expressa como combinacao de funcoes elementares. Jah houve inclusive mensagens a respeito na lista.
> Afinal, isso seria de grande utilidade para funções não > polinomiais: por exemplo, já sabemos que uma equação de quinto grau só pode > ser resolvida em "casos particulares", e não de forma geral, como provaram > Abel e Galois. > Já sobre o seu "desafio", vamos lá. Tomando y = f(x) = x^3 + 3x, o > conjunto-verdade é {0 ; i*sqrt(3) ; -i*sqrt(3)}. Claramente, após a > construção gráfica, observa-se que a função é bijetora, portanto, a sua > função inversa existe. Um argumento que apela pra construcao grafica nao eh muito rigoroso. Talvez seja mais facil observar que f eh ilimitada e a derivada f'(x) = 3x^2 + 3 eh sempre positiva. Ou entao, voce pode provar no braco que para todo y em R, existe x em R tal que x^3 + 3x = y (que foi o que voce fez mais abixo) e que x^3 + 3x = y^3 + 3y (x e y reais) implica y = x (uma fatoracao facil). > Como obtê-la? Simples: y = x^3 + 3x <=> x^3 + 3x - y = 0, que já é uma > equação reduzida do terceiro grau. Para resolvê-la, cada um usa o método que > preferir, convier ou souber. Creio que o método de Tartaglia é o que melhor > se aplique, sem o uso de qualquer variação. > > Assim, dada uma equação do tipo x^3 + px = q, temos p = 3 e q = y. Uma das > soluções é obtida diretamente por x = cbrt(q/2 + sqrt((q/2)^2 + (p/3)^3)) + > cbrt(q/2 - sqrt((q/2)^2 + (p/3)^3)) = cbrt(y/2 + sqrt((y/2)^2+1)) + > cbrt(y/2 - sqrt((y/2)^2+1)). Permutando as variáveis, a função inversa de > f(x) é dada por y = cbrt(x/2 + sqrt((x/2)^2+1)) + cbrt(x/2 - > sqrt((x/2)^2+1)). Talvez, a expressão ainda possa ser simplificada, mas não > creio que seja essa a intenção. A ideia eh essa mesmo. > De todo modo, fiquei com uma dúvida: a função inversa de f(x) = x^3 + 3x é > única se considerarmos f: R -> R, certo? E se considerássemos f: C -> C? Tambem seria. A inversa de uma funcao, se existir, eh unica. Soh que f: C -> C dada por f(x) = x^3 + 3x nao eh injetora. Por exemplo, f(0) = f(i*raiz(3)) = f(-i*raiz(3)) = 0. Logo, f nao possui inversa. > Se não estou errado, teríamos um "gráfico de 4 dimensões" e estudar a função > não me parece fácil definitivamente. E o que me pergunto é exatamente: o > conceito de bijeção vale, de forma semelhante, para C? O conceito de bijecao vale pra qualquer conjunto (mesmo nao numerico), assim como sempre vale o fato de que f tem uma inversa se e somente se f eh uma bijecao. > No caso de ser > válido, faz sentido (e é útil) considerar que a função f: C -> C tenha mais > do que uma função inversa? Nao. Veja acima. > Ficarei grato se você puder esclarecer, Cláudio, embora imaginar tais "4 > dimensões" já me pareça um tanto difícil... A dificuldade de visualizacao nao tem nada a ver com a existencia de inversas. Eh mais uma limitacao da mente humana. No mais, voce nao precisa de graficos. Voce pode sempre trabalhar algebricamente (e, portanto, tratar o R^4 ou o C^2 como um conjunto de quadruplas ordenadas de numeros reais). Um abraco, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================