xx=-1e-2:1e-6:1e-2;Eu nao conheco o Matlab. Isso quer dizer que voce criou uma "amostra" de 20001 vetores (xx,sen(xx)) com xx variando de -1/100 a 1/100 em intervalos de 1/10^6?
Perfeito, isso mesmo.
Ao fazer a aproximacao de sen(x) por um polinomio de grau m no intervalo [-a,a] (a > 0) via minimos quadrados, a partir de uma amostra de n pontos igualmente espacados, o que eu acho que acontece eh o seguinte: quando n -> infinito, os coeficientes do polinomio tendem aos coeficientes correspondentes dos termos de grau <= m da serie de Taylor de sen(x) em torno de x = 0. Alias, acho que isso vale pra qualquer funcao infinitamente diferenciavel e nao apenas sen(x).
Concordo contigo!
Por outro lado, para todo n finito, acho que os coeficientes do polinomio soh serao exatamente iguais aos da serie de Taylor da funcao se esta for uma funcao polinomial, apesar de se aproximarem destes a medida que n cresce.
Eu acho que o que acontece é o seguinte: conforme eu aperto o "a" da tua definição, os coeficientes chegam mais e mais perto do Taylor, até que quando o o "a" tende a zero, o polinômio, mesmo de grau finito, tende aos primeiros termos do Taylor, e isso parece indiferente se a função original é polinomial ou não.
Pra mostrar isso fiz um programinha no matlab que começa com a=100 e vai apertando o resultado. Tracei o gráfico dos polinômios resultantes, compare as aproximações em azul ao polinômio de Taylor truncado, em vermelho. Todos os polinômios são finitos e de grau 5:
a=100; for i=1:6, x=-a:a*1e-3:a; y=sin(x); a=a*0.5; p=polyfit (x,y,5), hold on; t=-1000:1e-2:1000; plot (t,polyval(p,t)); end; plot (t,polyval([1/120 0 -1/3 0 1 0],t),'red');
O lance é que eu lembro de ter feito isso analiticamente, mas já faz tempo tempo que tive aquela aula, que já não lembro mais os detalhes.
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