Claúdio
Na sua resolução vc fez uso do teorema do valor médio, portanto vc supos que a restriçao da função ao intervalo fechado cujos extremos são x e y é contínua. No entanto, a existência de todas as derivadas parciais num ponto não implica a continuidade da função nesse ponto (por exemplo f(x,y)=xy/(x^2 + y^2) se (x^2 + y^2) <ou> que 0 e f(0,0)=0.). A conclusão a que o exercício quer te levar é justamente essa: Se f possui derivadas parciais limitadas num aberto qualquer ela é contínua(não necessáriamente uniformemente).
PS: esse é um exercício do elon igual ao que o Fabio Dourado mandou, que por sinal também não sei fazer.
De qualquer forma agradeço pela ajuda.
Eduardo
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> Provar: Se f:U --> R possui derivadas parciais, com modulo( df(x)/dxi)<= M
> (para i=1,...,m) em todos os pontos do aberto convexo U c R^m entao
> modulo(f(x)-f(y))<=M*norma da soma(x-y) para quaisquer x,y pertencentes a U.
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> Agradeço a todos pelas tão prestativas ajudas num e-mail que mandei outro
> dia.
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> Muito obrigado
>
Sejam x = (x_1,x_2,...,x_m) e y = (y_1,y_2,...,y_m) pertencentes a U.
Entao, o teorema do valor medio diz que existe c = (c_1,c_2,...,c_m) pertencente ao segmento de reta que une x e y tal que: f(y) - f(x) = <grad(f)(c),y - x> = SOMA(1<=i<=m) f_i(c)*(y_i - x_i). onde: grad(f)(c) = gradiente de f avaliado no ponto c; f_i(c) = derivada parcial df/dx_i avaliada no ponto c.
Como U eh convexo, c pertence a U. Logo, |f_i(c)| <= M.
Assim, teremos: |f(y) - f(x)| = |SOMA(1<=i<=m) f_i(c)*(y_i - x_i)| <= SOMA(1<=i<=m) |f_i(c)|*|y_i - x_i| <= SOMA(1<=i<=m) M*|y_i - x_i| = M*SOMA(1<=i<=m) |y_i - x_i| = M*norma da soma de (x - y)
[]s, Claudio.
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