Uma correcao: eu disse abaixo que por U ser convexo, o hipercubo K cujos vertices antipodas (eh assim que se chama?) sao x e y estah contido em U. Isso nao eh verdade. Mas como U eh aberto, podemos achar uma sequencia de pontos a_1 = x, a_2, a_3, ..., a_r = y, no segmento [x,y] tais que o hipercubo cujos vertices antipodas sao a_i e a_(i+1) estah contido em U.
Dai eh soh aplicar a solucao abaixo a cada um desses hipercubinhos e somar as desigualdades resultantes. []s, Claudio. ---------- From: Claudio Buffara <[EMAIL PROTECTED]> Date: Tue, 04 May 2004 13:16:08 -0300 To: <[EMAIL PROTECTED]> Subject: Re: [obm-l] derivadas parciais on 04.05.04 11:26, Eduardo Cabral at [EMAIL PROTECTED] wrote: > > Claúdio > > Na sua resolução vc fez uso do teorema do valor médio, portanto vc supos que > a restriçao da função ao intervalo fechado cujos extremos são x e y é > contínua. No entanto, a existência de todas as derivadas parciais num ponto > não implica a continuidade da função nesse ponto (por exemplo f(x,y)=xy/(x^2 > + y^2) se (x^2 + y^2) <ou> que 0 e f(0,0)=0.). Claro! (f(h,0) - f(0,0))/h = 0 ==> f_x(0,0) = 0 mas f_x(x,y) = (y^3 - x^2y)/(x^2 + y^2)^2 eh ilimitada em toda vizinhanca de (0,0). Obrigado pela correcao. *** Aqui vai uma ideia: E se tratarmos de uma variavel de cada vez? Por exemplo, dados x e y em U, seja K o hipercubo com arestas paralelas aos eixos que tem x e y como vertices opostos (isto eh, o mais distante possivel um do outro). Como U eh convexo, K estah contido em U. Agora, escolha uma sequencia de n arestas adjacentes ligando x a y. Como cada aresta eh paralela a um dos eixos, podemos tratar a restricao de f aquela aresta como uma funcao real de 1 variavel real. Assim, em cada aresta, aplique o teorema do valor medio para funcoes de 1 variavel. Ou seja, na aresta paralela ao eixo-i, cujas extremidades sao: a = (y_1,...y_(i-1),x_i,x_(i+1),...,x_n) e b = (y_1,...,y_(i-1),y_i,x_(i+1),...,x_n) vai existir um ponto c = a + t*(b - a) = (y_1,...,x_i+t*(y_i-x_i),...,x_n) (0 <= t <= 1) tal que: f(b) - f(a) = f_i(c)*(b - a) ==> |f(b) - f(a)| = |f_i(c)|*|b - a| <= M*|y_i - x_i|. Somando as n desigualdades correspondentes a cada aresta, obteremos: |f(y) - f(x)| <= M * norma da soma de (y - x). Que tal lhe parece isso? []s, Claudio. > A conclusão a que o exercício > quer te levar é justamente essa: Se f possui derivadas parciais limitadas > num aberto qualquer ela é contínua(não necessáriamente uniformemente). > > PS: esse é um exercício do elon igual ao que o Fabio Dourado mandou, que por > sinal também não sei fazer. > > De qualquer forma agradeço pela ajuda. > > Eduardo > > > >> >>> >>> Provar: Se f:U --> R possui derivadas parciais, com modulo( df(x)/dxi)<= >> M >>> (para i=1,...,m) em todos os pontos do aberto convexo U c R^m entao >>> modulo(f(x)-f(y))<=M*norma da soma(x-y) para quaisquer x,y pertencentes >> a U. >>> >>> Agradeço a todos pelas tão prestativas ajudas num e-mail que mandei >> outro >>> dia. >>> >>> Muito obrigado >>> >> Sejam x = (x_1,x_2,...,x_m) e y = (y_1,y_2,...,y_m) pertencentes a U. >> >> Entao, o teorema do valor medio diz que existe c = (c_1,c_2,...,c_m) >> pertencente ao segmento de reta que une x e y tal que: >> f(y) - f(x) = <grad(f)(c),y - x> = SOMA(1<=i<=m) f_i(c)*(y_i - x_i). >> onde: >> grad(f)(c) = gradiente de f avaliado no ponto c; >> f_i(c) = derivada parcial df/dx_i avaliada no ponto c. >> >> Como U eh convexo, c pertence a U. >> Logo, |f_i(c)| <= M. >> >> Assim, teremos: >> |f(y) - f(x)| = >> |SOMA(1<=i<=m) f_i(c)*(y_i - x_i)| <= >> SOMA(1<=i<=m) |f_i(c)|*|y_i - x_i| <= >> SOMA(1<=i<=m) M*|y_i - x_i| = >> M*SOMA(1<=i<=m) |y_i - x_i| = >> M*norma da soma de (x - y) >> >> >> []s, >> Claudio. >> >> >> ========================================================================= >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >> ========================================================================= > > _________________________________________________________________ > MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================