on 03.05.04 15:07, Eduardo Cabral at [EMAIL PROTECTED] wrote: > > Provar: Se f:U --> R possui derivadas parciais, com modulo( df(x)/dxi)<= M > (para i=1,...,m) em todos os pontos do aberto convexo U c R^m entao > modulo(f(x)-f(y))<=M*norma da soma(x-y) para quaisquer x,y pertencentes a U. > > Agradeço a todos pelas tão prestativas ajudas num e-mail que mandei outro > dia. > > Muito obrigado > Sejam x = (x_1,x_2,...,x_m) e y = (y_1,y_2,...,y_m) pertencentes a U.
Entao, o teorema do valor medio diz que existe c = (c_1,c_2,...,c_m) pertencente ao segmento de reta que une x e y tal que: f(y) - f(x) = <grad(f)(c),y - x> = SOMA(1<=i<=m) f_i(c)*(y_i - x_i). onde: grad(f)(c) = gradiente de f avaliado no ponto c; f_i(c) = derivada parcial df/dx_i avaliada no ponto c. Como U eh convexo, c pertence a U. Logo, |f_i(c)| <= M. Assim, teremos: |f(y) - f(x)| = |SOMA(1<=i<=m) f_i(c)*(y_i - x_i)| <= SOMA(1<=i<=m) |f_i(c)|*|y_i - x_i| <= SOMA(1<=i<=m) M*|y_i - x_i| = M*SOMA(1<=i<=m) |y_i - x_i| = M*norma da soma de (x - y) []s, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================