Obrigado Nicolau. Eu pediria que vc esclarecesse uma duvida. Eu julgava que, para provar que uma união enumerável de conjuntos enumeráveis é enumerável, nao precisavamos do axioma da escolha. Suponhamos que A_1...A_n..seja os conjuntos da colecao e que, a principio, sejam disjuntos 2 a 2. Podemos dispor os elementos dos conjuntos da colecao em uma "matriz de dimensoes infinitas" a_1_1 a_1_2....a_1_n... . . a_m_1 a_m_2....a_m_n... . . Como a colecao eh disjunta 2 a 2, a cada elemento de A =Uniao(A_n) corresponde 1 e somente 1 par ordenado (m,n) de N^2, N os inteiros positivos. Hah assim uma bijecao entre A e N^2, e como N^2 eh enumeravel, A tambem eh. Nao consegui ver onde usamos o axioma da escolha aqui. Para provar que N^2 eh enumeravel nao precisamos de axioma da escolha, certo? Podemos estabelecer uma bijecao entre os pares (m,n) e os valores da funcao f(m,n) = 2^m*3^n, uma das provas classicas.
Se a colecao {A_n} nao for disjunta, podemos obter uma colecao {B_n}, disjunta 2 a 2, definindo B_1 = A_1 e B_n = A_n - Uniao(k=1,n-1) A_k. Entao Uniao B_n = Uniao de A_n e Uniao(B_n) eh enumeravel. Na realidade, ateh me parece que o primeiro argumento pode ser diretamente aplicado mesmo se os conjuntos da colecao nao forem disjuntos 2 a 2. Artur --------- Mensagem Original -------- De: obm-l@mat.puc-rio.br Para: "obm-l@mat.puc-rio.br" <obm-l@mat.puc-rio.br> Assunto: Re: [obm-l] Cardinalidade Data: 06/01/05 21:39 On Thu, Jan 06, 2005 at 04:09:00PM -0200, Artur Costa Steiner wrote: > Se X e Y são infinitos, então |X U Y| = max(|X|,|Y|). > Eu conheco este teorema, ma nunca vi a demonstracao, gostaria de ve_la. Uma > vez tentei mas me enrolei. Aceito o axioma da escolha sim (alias, sem ele > todos aqueles teoremas sobre compaticidade em espacos topologicos > arbitrarios seriam derrubados, certo? O axioma da escolha é necessário até para provar os seguintes fatos. (1) Uma união enumerável de conjuntos enumeráveis é enumerável. (2) A relação de ordem entre cardinais é uma ordem total. Ou seja, sim, o mundo sem o axioma da escolha é muito estranho. Mas voltando a sua pergunta. Suponha sem perda de generalidade suponha que |X| <= |Y|. Podemos ainda supor que |X| = |Y| e que X e Y são disjuntos. É uma conseqüência do axioma da escolha que todo conjunto admite uma boa ordem. Vamos portanto supor X e Y bem ordenados. Podemos sem perda de generalidade supor que todo segmento inicial próprio tem cardinalidade menor que a de X, ou seja, podemos escrever X = {x0, x1, ..., xa, ...}, Y = {y0, y1, ..., ya, ...}, a < |X| (a é um ordinal). Temos X U Y = {x0, y0, x1, y1, ..., xa, ya, ...}. Também em XUY todo segmento inicial tem cardinalidade < |X| e portanto a boa ordem define a bijeção. []s, N. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html ========================================================================= ________________________________________________ OPEN Internet e Informática @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================