>Meu caro Ronaldo, >acho que seu argumento que f é uma contração na bola >B(0,1) não está correta, pois não por enquanto não >temos uma constante 0 <= k < 1 tal que ||f(x) - f(y)|| ><= k.||x - y||. Apesar de mesmo aceitando esse >hipótese, também não fiquei convensido que ela >injetiva e não adimite inversa diferenciável!! >Sem mais.
Acho que você como matemático está certo em julgamento. De fato, matemáticos querem sempre coisas precisas. A intuição ajuda muito mas não convence :) Deixa-me tentar novamente: Acredito que a constante k pode ser obtida pela desigualdade triangular. ||f(x) + (- f(y))|| <= ||f(x)|| + ||-f(y)|| = ||<x,x>x|| + ||<y,y>y|| = ||x||^2.||x|| + ||y||^2.||y|| = ||x||^3 + ||y||^3 como ||x||<1 e ||y|| < 1, então ||x||^3+||y||^3 < ||x||+||y|| <||x|| - ||y|| (pois a norma é sempre positiva). então qualquer 0 <= k < 1 satisfaz a desigualdade. Está certo? Falta tempo para eu examinar melhor as idéias (e talvez também competência minha, para firmá-las). []s e saudações. --- Ronaldo Luiz Alonso <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > --------------------- > 2) Seja f: R^n --> R^n dada por f(x) = <x,x>.x. > Mostre que f é de classe C infinito e que leva a > bola unitária B(0;1) sobre si mesma injetivamente. > Mostre que, entretanto, a aplicação inversa não é > diferenciável na origem. > > Neste caso se x \in B(0;1) então <x,x> = ||x|| e > 0<||x|| < 1. Logo a aplicação é uma contração de > x. > A contração é diferenciável e de classe > C^{\infty}. > É mais ou menos intuitivo que neste caso a apliação > seja > injetiva. Por exemplo: Vetores próximos da > fronteira > tem norma 1 e portanto serão "pouco contraídos". > Assim a demonstração de injetividade usa esse > fato, > isto é, se tomarmos um ponto x próximo próximo da > fronteira, podemos sempre escolher um f^{-1}(x) tal > que f composto com f^{-1}(x) = x e vice versa. > Como ||x|| é sempre menor que 1 > esses pontos tem que ser diferentes. > Para entender por que a aplicação não é > diferenciável > na origem basta notar que "quanto mais perto o vetor > estiver da origem mais contraído será" na aplicação > direta. > (reciprocamente na aplicação inversa mais > expandido > será). A origem é uma espécie de "buraco > negro ao contrário" logo não pode ter derivada > lá. Argumentos do teorema de função implícita podem > ajudar. > Novamente sem rigor... apenas com idéias. > > []s Ronaldo L. Alonso > Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! http://br.acesso.yahoo.com/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================