Olá Claudio!

Estou com algumas dúvidas na sua resolução.

On 4/25/07, claudio.buffara <[EMAIL PROTECTED]> wrote:

O enunciado implica que:
N == 56 (mod 100) ==> N == 56 (mod 4*25)
N == 0 (mod 56) ==> N == 0 (mod 8*7)
N == 56 (mod 9) ==> N == 2 (mod 9)


N == 56 (mod 9) está errado né, seria apenas N == 2 (mod 9), pois um número
natural (mod 9) resulta em um natural entre 0 e 8.

Ou seja:
N == 6 (mod 25)
N == 0 (mod 8)
N == 0 (mod 7)


Nessas passagens você considera as seguintes igualdades:

A = B.q1 + r1
B = C.D
A = C.q2 + r2
r1 = C.q3 + r3
r2 = r3 (???)

Onde A = N, B = 100, r1 = 56, C = 25, D = 4, r2 = r3 = 6

Gostaria de saber como pode ser demonstrado que o resto da divisão do resto
da divisão de N por 100, que é 56, por 25 é igual ao resto da divisão de N
por 25.

n == 6 (mod 25) ==>
N = 6 + 25*a == 2 (mod 9) ==>


Por que a = 2 (mod 9) ???

a == 2 (mod 9) ==>
a = 2 + 9*b ==>
N = 56 + 225*b == 0 (mod 8) ==>
b == 0 (mod 8) ==>
b = 8c ==>
N = 56 + 1800*c == 0 (mod 7) ==>
c == 0 (mod 7) ==>
c = 7d ==>
N = 56 + 12600*d

Agora, resta achar d de modo que a soma dos algarismos de N seja 56, ou
equivalentemente, que a soma dos algarismos de 126*d seja 45.

Um pouco de reflexão mostra que d não deve ser muito pequeno, pois se o
algarismo médio é 4,5 (=(0+1+2+...+9)/10), então 126*d deve ter cerca de
45/4,5 = 10 algarismos (é claro que tem que ter, no mínimo, 6 algarismos,
pois o maior número de 5 (ou menos) algarismos com soma 45 é 99.999, que
não é múltiplo de 126).

Mas, por sorte, 88.888*126 = 11.199.888, cuja soma dos algarismos é 45.
O N correspondente é 1.119.988.856.
Falta provar que este é, de fato, o menor N que satisfaz ao enunciado.

Por enquanto, estou sem idéias.

[]s,
Claudio.





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Henrique

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