Olá Artur!
Realmente estou um pouco atônito! 8-O
On 4/27/07, Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
OI Henrique. Obrigado pelo interesse.
Eu teria o maximo prazer em compartilhar o que conheco disso, mas o
assunto eh um tanto extenso para explicar aqui. Exige os fundamentos da
teoria de medidas. Eh necessario que se estude em um livro.
Basicamente, eh o seguinte. Se A eh um conjunto qualquer, dizemos que uma
colecao de M de conjuntos de A eh uma sigma-algebra definida em A se:
Essa coleção M seria de conjuntos de A mesmo ou subconjuntos de A???
1) A e o conjunto vazio estao em M.
2) Se C esta em M, entao o complementar de C tambem estah
C seria um subconjunto de M ou seria um conjunto qualquer??? O complementar
de C seria em relação a M???
3) A uniao de qualquer colecao enumeravel de membros de M esta em M (pelas
Leis de De Morgan, 2 e 3 isto implicam que o mesmo se verifique para
interseccoes enumeraveis)
Coleção enumerável de membros de M seria um subconjunto da coleção M (isso
não seria recursivo)??? As leis de De Morgan seriam c(A U B) = c(A) inter
c(B) e c(A inter B) = c(A) U c(B), qual a ligação com as coleções
enumeráveis???
Dizemos que uma funcao m, definida em M e com valores em [0, oo] isto eh, os
reais nao negativos expandidos, eh uma medida em M se m satisfizer a
1) m(A) >= 0 para todo A de M (o que jah se deduz do contradominio de m)
2) Para todo colecao enumeravel A_n de conjuntos disjuntos 2 a 2 de M,
m(Uniao A_n) = Soma m(A_n) (propriedade conhecida por sigma-aditividade)
A medida de Lebesgue, valida para os espacos vetorias Euclidianos,
incluindo os complexos, eh definida da seguinte forma:
Para cada cobertura enumeravel, (C_n), de A, composta por
celulas (intervalos, retangulos, paralelelpipedos...dependendo de n) abertas
de R^n, seja I = Soma (L(C_n), onde L(C-n) eh o comprimeto de C_n n no caso
da reta real, a area no caso de R^2, o volume no caso de R^3, etc. A
medida exterior de Lebesgue de A, m(A), eh definida por infimo {I}, onde o
infimo eh computado sobre a colecao de todas as coberturas C_n. Quando o
conjunto A satisfaz a algumas condicoes especiais, diz-se que eh mensuravel
e e sua medida entao confunde-se com sua medida exterior.
Bem, só me confundi nessa parte!
Acho que nao deu pra clarear nao. O assunto nao se explica em 10 minutos e
exige reflexao.
Abracos
Artur.
[Artur Costa Steiner]
-----Mensagem original-----
*De:* [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
nome de *Henrique Rennó
*Enviada em:* quinta-feira, 26 de abril de 2007 22:46
*Para:* obm-l@mat.puc-rio.br
*Assunto:* Re: [obm-l] Mostra que f eh continua
Olá Artur!
Não tenho conhecimento do assunto relacionado a esse problema. Daria muito
trabalho se você tentasse explicar com um pouco de detalhes qual a lógica de
resolução da questão. O que é uma medida de Lebesgue? Como é feita essa
translação de conjunto por elemento (A por x)?
Seja A um subconjunto de R^n com m(A) < oo, onde m eh a medida de
> Lebesgue. Para x em R^n, seja A + x = {a + x | a estah em a} a translacao
> de A por x e seja f(x) = m(A inter (A + x)). Estou querendo mostrar
> que f eh continua m R^n. Ainda nao consegui, alguem pode dar uma sugestao?
> (a conclusao eh sabidamente verdaeira)
>
--
Henrique
--
Henrique
