Você pode passar alguma fonte que trate esse assunto com detalhes? Todas
essas deduções seriam como uma teoria complexa de conjuntos?
On 4/27/07, Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
O objetivo deste problema insere-se em um outro, qual seja, mostrar que,
se um conjunto A de R^n tem medida de Lebesgue positiva, entao A - A = { a1
- a2 | a1 e a2 estao em A} contem uma bola centrada na origem. Eu conheco
uma demonstracao para isso que ateh apresentei aqui a pedido de alguem. Mas
estava tentando uma demosnstracao alternativa que me parece mais simples:
Como todo conjunto de medida positiva contem um subconjunto de medida
positiva finita, basta considerar este ultimo caso. Defininamos f:R^n --> R
por f(x) = m(A inter A + x). Suponhamos provado (o que nao fiz....) que f
eh continua. Como f(0) = m(A inter A) = m(A) >0, existe uma bola aberta B
centrada em 0 (origem) na qual f eh estritamente positiva. Se x esta em B,
f(x) >0, o que implica que A e A +x se intersectam (o vazio tem medida
nula), existindo assim a1 tal que a1 esta em A e em A + x. Desta ultima
pertinencia, segue-se que existe a2 em A tal que a1 = a2 + x. Logo, x =a1 -
a2 com a1 e a2 em A, o que significa que x esta em A - A. Logo, B estah
contida em A - A, completando a prova.
Parece bem mais simples que a outra prova que conheco, supondo-se, eh
claro, demonstrado que f eh continua. Um top dog americano nao provou isso
pra mim, mas disse Oh, that's trivial. Mas como o que eh trivial para um
pode ser completamente obscuro para outro....
Artur
-----Mensagem original-----
*De:* [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
nome de *Henrique Rennó
*Enviada em:* quinta-feira, 26 de abril de 2007 22:46
*Para:* obm-l@mat.puc-rio.br
*Assunto:* Re: [obm-l] Mostra que f eh continua
Olá Artur!
Não tenho conhecimento do assunto relacionado a esse problema. Daria muito
trabalho se você tentasse explicar com um pouco de detalhes qual a lógica de
resolução da questão. O que é uma medida de Lebesgue? Como é feita essa
translação de conjunto por elemento (A por x)?
Seja A um subconjunto de R^n com m(A) < oo, onde m eh a medida de
> Lebesgue. Para x em R^n, seja A + x = {a + x | a estah em a} a translacao
> de A por x e seja f(x) = m(A inter (A + x)). Estou querendo mostrar
> que f eh continua m R^n. Ainda nao consegui, alguem pode dar uma sugestao?
> (a conclusao eh sabidamente verdaeira)
>
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Henrique
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Henrique
