Oi, gente (e Claudio),
Eu achei este problema um pouquinho pesado para o Nivel 1 (OlimpÃada
de Maio de 2003, acho) e até comentei isto com o Nicolau (em off) há
algum tempo.
Eis uma solução mais "com cabeça" de Nivel 1 (eu acho) e com um
pouquinho de força bruta... Embora eu a tenha feito, o Nicolau a completou.
O número termina em 56 e 5+6 = 11; logo, como a soma de seus
algarismos é 56 a soma dos demais é 45. Então ele tem que ter no
mÃnimo 5 algarismos (pois 5 x 9 = 45). Além disso é divisÃvel por
8 (e 7 pois é divisÃvel por 56). Então os três últimos algarismos
formam um número divisÃvel por 8... Logo, devem ser 256, 456, 656 ou
856. Então nosso N = M56, onde M é tal que:
- a soma dos algarismos deve ser 45 (portanto no mÃnimo 5 algarismos);
- o último algarismo deve ser 2, 4, 6 ou 8 (então tem que ter mais do
que 5 algarismos)
- deve ser divisÃvel por 7
- deve ser o menor possÃvel.
Tentemos M's:
O menor possÃvel, soma dos algarimos igual a 45, último algarismo
8,6,4,ou 2 e divisÃvel por 7...:
6 algarismos (do menor pro maior)
199998 - não é divisÃvel por 7
289998 - não é divisÃvel por 7
298998 - é divisÃvel por 7 (é o cara!)
Logo o N procurado é 29899856
Nehab
At 16:21 25/4/2007, you wrote:
O enunciado implica que:
N == 56 (mod 100) ==> N == 56 (mod 4*25)
N == 0 (mod 56) ==> N == 0 (mod 8*7)
N == 56 (mod 9) ==> N == 2 (mod 9)
Ou seja:
N == 6 (mod 25)
N == 0 (mod 8)
N == 0 (mod 7)
N == 2 (mod 9)
n == 6 (mod 25) ==>
N = 6 + 25*a == 2 (mod 9) ==>
a == 2 (mod 9) ==>
a = 2 + 9*b ==>
N = 56 + 225*b == 0 (mod 8) ==>
b == 0 (mod 8) ==>
b = 8c ==>
N = 56 + 1800*c == 0 (mod 7) ==>
c == 0 (mod 7) ==>
c = 7d ==>
N = 56 + 12600*d
Agora, resta achar d de modo que a soma dos algarismos de N seja 56,
ou equivalentemente, que a soma dos algarismos de 126*d seja 45.
Um pouco de reflexão mostra que d não deve ser muito pequeno, pois
se o algarismo médio é 4,5 (=(0+1+2+...+9)/10), então 126*d deve ter
cerca de 45/4,5 = 10 algarismos (é claro que tem que ter, no mÃnimo,
6 algarismos, pois o maior número de 5 (ou menos) algarismos com
soma 45 é 99.999, que não é múltiplo de 126).
Mas, por sorte, 88.888*126 = 11.199.888, cuja soma dos algarismos é 45.
O N correspondente é 1.119.988.856.
Falta provar que este é, de fato, o menor N que satisfaz ao enunciado.
Por enquanto, estou sem idéias.
[]s,
Claudio.
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data: Mon, 23 Apr 2007 16:46:56 -0300
Assunto: [obm-l] Teoria dos números
>
> Amigos, ajude-me nessas questões:
>
> 1) Ache o menor número natural terminado em 56, divisÃvel por 56,
e com a soma dos seus algarismos igual a 56.
>
> 2) Quantas soluções inteiras tem a equação x^1995 + y^1996 = z^1997
