Entendi. Muito obrigado! On 9/30/07, Carlos Nehab <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > > Oi, Rennó, > > Não entendi muito bem o que você não entendeu, mas vou tentar... > > Você conhece a relação entre os coeficientes de um polinômio e suas raízes? > Por exemplo: se a, b e c são raízes do polinômio > x^3 + px^2 + qx + r = 0 então > - a soma das raízes, sto é, a+b+c vale -p; > - a soma dos produtos das raízes duas a duas, isto é, ab + bc + ca = q; > - o produto das raízes, isto é a.b.c vale -r. > > Pois bem, foi isto que foi usado. Com as informações do enunciado ou seja: > a+b+c = 1, > a^2+b^2+c^2 = 3 e > a^3+b^3+c^3 = 7 > foram determinados os valors de ab+bc+ca e abc, pois a+b+c já foi dado de > graça. > > Ajudou? > > Abraços, > Nehab > > > Henrique Rennó escreveu: > Eu havia solucionado apenas com produtos notáveis. Como conclui-se que > a, b, c são raízes do polinômio x^3 - x^2 - x - 1 = 0 ? Como se chega > nesse polinômio? > > On 6/21/07, Nicolau C. Saldanha <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > > > On Thu, Nov 01, 2001 at 02:02:41AM -0300, Pedro Costa wrote: > > > Amigos da lista, me dê uma idéia resolver esta questão: > > Se a, b e c são números complexos tais que a+b+c = 1, a^2+b^2+c^2 = 3 e > a^3+b^3+c^3 = 7, determine o valor de a^21+b^21+c^21. > > Sejam X = ab+ac+bc, Y = a^2b + ab^2 + a^2c + ac^2 + b^2c + bc^2, Z = abc. > Temos > (a+b+c)^2 = (a^2+b^2+c^2) + 2(ab+ac+bc) > 1 = 3 + 2X > X = -1 > > (ab+ac+bc)(a+b+c) = (a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2) + 3abc > -1 = Y + 3Z > > (a+b+c)^3 = (a^3+b^3+c^3) + > 3(a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2) + 6abc > -1 = 7 + 3Y + 6Z > > Y = -4, Z = 1 > > Assim a, b, c são as raízes de x^3 - x^2 - x - 1 = 0. > Podemos observar que a seqüência p_n = a^n+b^n+c^n satisfaz > p_(n+3) = p_(n+2) + p_(n+1) + p_n donde obtemos os valores abaixo para p_n: > > p_1 = 1 > p_2 = 3 > p_3 = 7 > p_4 = 11 > p_5 = 21 > p_6 = 39 > p_7 = 71 > p_8 = 131 > p_9 = 241 > p_10 = 443 > p_11 = 815 > p_12 = 1499 > p_13 = 2757 > p_14 = 5071 > p_15 = 9327 > p_16 = 17155 > p_17 = 31553 > p_18 = 58035 > p_19 = 106743 > p_20 = 196331 > p_21 = 361109 > > Assim a^21+b^21+c^21=p_21=361109. > > Alternativamente, depois de encontrar o polinômio de raízes a,b,c > podemos considerar a matriz N = [[0,0,1],[1,0,1],[0,1,1]] > cujos autovalores são a,b,c. > > [0 0 1] > N = [1 0 1] > [0 1 1] > > Temos > > [0 1 1] > N^2 = [0 1 2] > [1 1 2] > > [1 2 4] > N^4 = [2 3 6] > [2 4 7] > > [2 4 7] > N^5 = [3 6 11] > [4 7 13] > > [44 81 149] > N^10 = [68 125 230] > [81 149 274] > > [19513 35890 66012] > N^20 = [30122 55403 101902] > [35890 66012 121415] > > [35890 66012 121415] > N^21 = [55403 101902 187427] > [66012 121415 223317] > > Observe que cada matriz pode ser calculada como um produto de duas das > matrizes anteriores. > > Finalmente temos a^21+b^21+c^21=traço(N^21)=361109 > (e chegamos na mesma resposta). > > []s, N. > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= > > > > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > =========================================================================
-- Henrique ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================