Rodrigo independente das minhas dúvidas obrigado.Não entendi Ef(x)= f(x+1),
entao podemos escrever D f(x)= Ef(x)-f(x) , você pode explica com números?
descupe-me minha ignorância.
----- Original Message -----
From: "Rodrigo Renji" <[EMAIL PROTECTED]>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Sunday, February 24, 2008 8:19 PM
Subject: Re: [obm-l] Diferença finita ( de novo)
a fórmula você pode deduzir assim,
vou chamar o operador delta, de D (nao confundir com derivada), o
operador delta faz Df(x)=f(x+1)-f(x), seja o operador E que faz
Ef(x)= f(x+1), entao podemos escrever D f(x)= Ef(x)-f(x) (é possivel
definir operaçãoes analogas a soma, produto , potenciação, com esses
operadores e mostrar que formam um anel , sendo valida tb uma
propriedade similar ao binomio de newton, vou usar ela pra deduzir as
formulas das PA),
podemos escrever D f(x)= (E-1) f(x)
as diferenças de ordem superior são definidas assim
D^0 f(x)=f(x)
D^(k+1) f(x)= D^k f(x+1) - D^kf(x) para k>0 , k natural
definindo tb E^k f(x)= f(x+k)
é válido fazer o seguinte
primeiro
D^n f(x)= (E-1)^n f(x) expandindo esse segundo termo por teoremade
binomio de newton
vou escrever o coeficiente binomial como c(n,k)= n!/k!(n-k)!, temos
D^nf(x)= somatorio [k=0 ate n] de c(n,k) E^(n-k) .(-1)^k f(x)
assim voce tem as diferenças escritas em função de valores sucessivos da
função
mas da relação D=E-1, temos D+1=E, tomando potencias n em cada temos
(D+1)^n =E^n, aplicando numa função f(x) temos
E^n f(x)= (D+1)^n f(x) expande por teorema binomial
E^n f(x)= somatorio [k=0 até n] c(n,k) D^k f(x)
f(x+n)= somatorio [k=0 até n] c(n,k) D^k f(x)
se voce fizer x=0 tem
f(n)= somatorio [k=0 até n] c(n,k) D^k f(0)
se fizer x=1 e n=p-1 temos
f(p-1+1)=f(p)= somatorio [k=0 até p-1] c(p-1,k) D^k f(1)
que é a formula que se quer
Em 31/10/01, Pedro<[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
Essa sequecncia foi resolvida Pelo Professor Luís lopes (em 2003)de
maneira
brilhante, muito mais eficaz do que diferença finita.
Pergunto ao Professor ou os demais da lista.Como demonstrar as fórmulas
que
estão em negritos a abaixo.
1)Seja a PA de ordem 3
1,3,19,61,141,271,... a_i
Vamos gerar outras PAs fazendo a_{i+1} - a_i:
2,16,42,80,130 Delta a_i
14,26,38,50 Delta^2 a_i
12,12,12 Delta^3 a_i
a_i = a_1 + Delta a_1 binom(i-1,1) + Delta^2 a_1
binom(i-1,2) + Delta^3 a_1 binom(i-1,3)
a_i = 1 + 2(i-1) + 14(i-1)(i-2)/2 + 12(i-1)(i-2)(i-3)/6
a_i = 2i^3 - 5i^2 + 3i + 1
S_n = a_1 binom(n,1) + Delta a_1 binom(n,2) +
Delta^2 a_1 binom(n,3) + Delta^3 binom(n,4)
S_n = n[3n^3 - 4n^2 - 3n + 10] / 6
2) Posso reslver da mesma forma a seguinte questão (arrumando)
Determine o termo geral da sequência { 3, 0, 5, 34 , 135,
452........} e calcule em seguida a soma dos n primeiros termos.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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